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(1) 一维问题的能级的最大简并度最大是多少？
(2) 什么是量子力学中的守恒量，它们有什么性质。
(3) 什么是受激辐射？什么是光电效应？
(4) 试写出非简并微扰论的能级修正公式（到二阶）。
(5) 由正则对易关系 $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ 导出角动量的三个分量
\[L_x = i \hbar \left( y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y} \right)~\]
\[L_y = i \hbar \left( z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z} \right)~\]
\[L_z = i \hbar \left( x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x} \right)~\]
的对易关系。
原子序数较大的原子的最外层电子感受到的原子核和内层电子的总位势可以表示为 \[V(r) = -\frac{e^2}{r} - \lambda \frac{e^2}{r^2}, \quad \lambda = 1~\] 试求其基态能量。
设电子以给定的能量 $E = \frac{h^2 k^2}{2m}$ 自左入射，遇到一个方势阱 \[V(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, x > a \\\\-V_0, & 0 \leq x \leq a \end{cases}~\]
试求屏蔽库仑场 $V(r) = \frac{Q}{r}e^{-r/a}$ 的微分散射截面。
提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式 \[\sigma(\theta) = \frac{4m^2}{\hbar^4} \left| \int_0^\infty \frac{r \sin\left(Kr\right) }{K} V(r) dr \right|^2, \quad \text{其中 } K = 2k \sin\frac{\theta}{2}.~\]
许多物理问题可以化成两能级系统，如 $\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}' = \begin{pmatrix} A + a & b \\ b & B + a \end{pmatrix}$，其中 $a$, $b$ 为实数，并且远小于 $A - B$，
当前冷原子物理研究非常活跃。在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为 \[\hat{H}_0 = \frac{\hat{P}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{r}^2~\] 假如粒子间有相互作用 $H' = J \hat{S}_1 \cdot \hat{S}_2$，其中 $\hat{S}_1$, $\hat{S}_2$ 分别代表粒子 1 和粒子 2 的自旋，参数 $J > 0$。
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