浙江大学 2012 年 考研 量子力学

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1. 第一题（35 分）简答题

1. 证明厄米算符的本征值为实数。
2. 对于 $\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \alpha \hat{l}_z$（$\alpha$ 为常数），下列力学量中哪些是守恒量？ \[ \hat{H}, \hat{p}_x, \hat{p}_y, \hat{p}_z, \hat{p}^2, \hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z, \hat{L}^2~ \]
3. 原子的受激辐射和自发辐射区别在哪里？
4. 你知道哪些纯粹量子效应？
5. 写出泡利矩阵： \[ \sigma^x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma^y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma^z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}~ \] 满足的对易关系。

2. 第二题（30 分）

　　 电子被束缚在简谐振子势场 $V = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ 中，若引入

　　 \[ \hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{x}{x_0} + \frac{i \hat{p}}{x_0 m \omega} \right), \quad \hat{a}^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{x}{x_0} - \frac{i \hat{p}}{x_0 m \omega} \right), \quad x_0 = \sqrt{\hbar/m \omega}~ \]

　　 则有

　　 \[ H = \hbar \omega \left( \hat{a}^+ \hat{a} + \frac{1}{2} \right)~ \]

　　 并有关系

　　 \[ \hat{a}^+ |n\rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle, \quad \hat{a} |n\rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle~ \]

　　 显然基态满足 $\hat{a} |0\rangle = 0$

1. 试求基态波函数。
2. 进一步求第一激发态的波函数。
3. 如果势阱中有两个电子(忽略它们间的相互作用)，它们整体的基态波函数是什么?(提示:电子为自旋 1/2 的全同粒子)。
4. 如果加入均匀磁场 $B$，问当 $B$ 很强，超过某临界 $B_c$ 时，(3)中所述基态还会是基态吗?试具体求 $B_c$.

3. 第三题（30 分）

　　 有一个质量为 $m$ 的粒子处在如下势阱中：

　　 \[ V(x) = \begin{cases} \infty, & x < 0 \\ -V_0, & 0 < x < a \\ V_0, & a < x < a + b \\ 0, & a + b < x \end{cases} \quad \text{（这里 } V_0 > 0\text{）}~ \]

1. 试求其能级与波函数。
2. 问通过调节势阱宽度 $a$，能否让阱中的粒子有一定的几率穿透出来。

4. 第四题（20 分）

　　 将质子看作是半径为 $R$ 的带电球壳，

　　 \[ V(r) = \begin{cases} \frac{e}{R}, & r < R \\ \frac{e}{r}, & r > R \end{cases} \quad \text{（其中 } e \text{ 为基本电荷值，} a_0 \text{ 为玻尔半径，} R \ll a_0\text{）}~ \]

　　 计算由于质子（即氢原子核）的非点性引起氢原子基态能级的一阶修正。

5. 第五题（20 分）

　　 求哈密顿算符

　　 \[ H = \sigma_1^x \sigma_2^x + \sigma_1^y \sigma_2^y + \alpha \sigma_1^z \sigma_2^z~ \]

　　 的本征值和本征矢量，试分析 $\alpha = 1$ 时有何特点。提示：[泡利矩阵的下标 1, 2 表示第一个粒子和第二个粒子。因此可以用张量积来理解，即 $ \sigma_1^x \sigma_2^x = \sigma_1^x \otimes \sigma_2^x$ 等等]。

6. 第六题（15 分）

　　 有一个量子系统，假如你已知基态和激发态的波函数分别是 $\psi_0, \psi_1, \psi_2, \cdots$，其对应于 $E_0< E_1< E_2< E_3, \cdots$，把两个全同粒子（不考虑它们之间的相互作用）放到该系统：

1. 对于自旋为零的粒子，写出基态与第一激发态的波函数。
2. 对于自旋为 $1/2$ 的粒子，写出基态波函数。