贡献者： int256
1. 庞加莱群
庞加莱群是一个极大的对称性。具体的，将一个粒子 Lorentz 变换后平移，即：
\begin{equation}
x^\mu \rightarrow (x')^\mu = \Lambda_{\nu}^\mu x^\nu + a^\mu ~.
\end{equation}
也可以理解为整体是一个
非齐次 Lorentz 变换。其中 $\Lambda_{\nu}^\mu$ 是齐次部分，平移 $a^\mu$ 造成非齐次。熟知的，要求 $\Lambda_{\nu}^\mu$ 保度规，即：
\begin{equation}
\Lambda_{\sigma}^\mu \Lambda_{\rho}^\nu \eta^{\sigma \rho} = \eta^{\mu \nu} ~.
\end{equation}
对于 $\Lambda$ 对应的 Lorentz 变换构成 Lorentz 群。保度规直接要求 $\det \Lambda = \pm 1$，同时再根据 $\Lambda^0_0$ 的符号可以对
Lorentz 群进行分类（并不是庞加莱群）。
2. 庞加莱代数
下面考虑 Lie 代数，也就是无穷小变换以及矩阵表示相关。关注一个无穷小变换：
\begin{equation}
\Lambda_\nu^\mu = \delta_\nu^\mu + \omega_\nu^\mu , ~ a^\mu = \varepsilon^\mu ~,
\end{equation}
其中 $\omega^\mu_\nu$ 和 $\varepsilon^\mu$ 都是小量。带入对度规的变换的要求会得到
\begin{equation}
\eta_{\rho\sigma} = \eta_{\mu\nu}(\delta^\mu_\rho + \omega^\mu_\rho) (\delta^\nu_\sigma + \omega^\nu_\sigma) = \eta_{\rho\sigma} + \omega_{\sigma\rho} + \omega_{\rho\sigma} + \mathcal O(\omega^2) ~.
\end{equation}
可以发现必须要求 $\omega_{\rho \sigma}$ 是
反对称的，也就是 $\omega_{\rho \sigma} = -\omega_{\sigma \rho}$。
考虑庞加莱对称性诱导的变换算符 $\Psi \to \Psi' = U(\Lambda, a) \Psi$1，并满足 $U(\Lambda', a') U(\Lambda, a) = U(\Lambda' \Lambda, \Lambda' a + a')$。变换算符可以根据对称性进行展开：
\begin{equation}
U(1+\omega, \varepsilon) = 1 + \frac{1}{2} \mathbf{i} \omega_{\rho \sigma} J^{\rho \sigma} - \mathbf{i} \varepsilon_\rho P^\rho + \cdots ~~
\end{equation}
为了让其是幺正的，必须要求 $J$ 和 $P$ 都是 Hermit 的
2。同时由于 $\omega$ 的反对称性，$J$ 也应当是反对称的。
考虑对 $U(1+\omega, \varepsilon)$ 进行庞加莱变换：3
\begin{equation}
U(\Lambda, a) U(1+\omega, \varepsilon) U^{-1}(\Lambda, a) ~,
\end{equation}
代入可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
U(\Lambda, a) J^{\rho \sigma} U^{-1}(\Lambda, a) &= \Lambda_{\mu}^\rho \Lambda_\nu ^\sigma(J^{\mu\nu} - a^\mu P^\nu + a^\nu P^\mu) \\
U(\Lambda, a) P^\mu U^{-1}(\Lambda, a) &= \Lambda_{\nu}^\mu P^\nu ~~
\end{aligned}~~
\end{equation}
若令这一步的庞加莱变换（实际上是 Lorentz 变换）也成为一个无穷小变换就得到了庞加莱代数：4
\begin{equation}
[P^\mu, P^\nu] = 0 ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\mathbf{i} [P^\mu, J^{\rho \sigma}] = \eta^{\mu \rho} P^\sigma - \eta^{\mu \sigma} P^\rho ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\mathbf{i} [J^{\mu\nu}, J^{\rho \sigma}] = \eta^{\nu \rho} J^{\mu \sigma} + \eta^{\sigma \nu} J^{\rho \mu} - \eta^{\mu \rho} J^{\nu \sigma} - \eta^{\sigma \mu} J^{\rho \nu} ~.
\end{equation}
熟知的物理意义，$P^0$ 是能量（哈密顿量），$P^{1}, P^2, P^3$ 是动量，角动量分别是 $J^{23}, J^{31}, J^{12}$，以及推促（boost）对应 $J^{01}, J^{02}, J^{03}$。
3. 粒子是庞加莱群的表示
所谓群的表示，下面予以简单介绍。
定义 1 群的表示
设 $G$ 是一个群，$V$ 是一个矢量空间，$\rho: G \to V$ 使得 $\forall g \in G$, $\rho(g)$ 是 $V$ 上的一个线性变换；同时 $\rho$ 保群乘法，即 $\forall g_1, g_2 \in G, \rho(g_1 g_2) = \rho(g_1) \rho(g_2)$。可以理解为 $\rho$ 将群元表示为矩阵。
若考虑一个粒子有态 $\Phi_{\sigma}$，$\sigma$ 是描述粒子状态的所有指标，可以是 $p^\mu$、$J^\mu$、旋量指标等等。若对这个态进行庞加莱变换，物理过程上考虑、这个粒子应当还是原来的粒子，而且仅是对各个不同态进行叠加：
\begin{equation}
U(\Lambda, a) \Phi_\sigma = \sum_{\rho }\mathcal M_{\sigma \rho} \Phi_{\rho} ~.
\end{equation}
此处就将群元 $U(\Lambda, a)$ 表示为了一个矩阵 $\mathcal M_{\sigma \rho}$，故说粒子是庞加莱群的一个表示。
回顾不可约表示是将矩阵拆成分块矩阵，仅在对角线上有元素，显然粒子应该是一个不可约表示，才能 “自己” 变成 “自己”，而不产生 “杂化”。
同时物理上很容易想到粒子应该是一个幺正的表示，故说：
粒子是庞加莱群的幺正不可约表示
4. 对粒子分类
对粒子进行分类，就需要找出来一组庞加莱群的幺正不可约表示。为此就需要找到一组好的基来进行分解，同时让抽象的 $\Phi_\mu$ 有实际意义。从物理上，不妨尝试用动量 $P^\mu$ 先来标记粒子。考虑一组动量的本征态
\begin{equation}
P^\mu \Phi_{p, \sigma} = p^\mu \Phi_{p, \sigma} ~,
\end{equation}
此处 $p^\mu$ 就是粒子真实的 $4$-动量。将庞加莱群的变换分开看，分别考虑平移和 Lorentz 变换。先看平移：
5
\begin{equation}
U(1, a) \Phi_{p, \sigma} = e^{-\mathbf{i} p \cdot a} \Phi_{p, \sigma} ~,
\end{equation}
然后是一个齐次的 Lorentz 变换 $U(\Lambda) = U(\Lambda, 0)$，给出一个 $\Lambda p$ 的本征矢：
\begin{equation}
P^\mu U(\Lambda) \Phi_{p, \sigma} = U(\Lambda) [U^{-1}(\Lambda) P^\mu U(\Lambda)] \Phi_{p, \sigma} ~,
\end{equation}
其中可以进行代换中括号内为 $(\Lambda^{-1})^\mu_{\nu} P^\nu$，也就是给出
\begin{equation}
P^\mu U(\Lambda) \Phi_{p, \sigma} = \Lambda_\nu^\mu p^\nu U(\Lambda) \Phi_{p, \sigma} ~,
\end{equation}
从而 $U(\Lambda) \Phi_{p, \sigma}$ 必须是 $\Phi_{\Lambda p, \sigma'}$ 的线性组合才可以，即
\begin{equation}
U(\Lambda) \Phi_{p, \sigma} = \sum_{\rho} C_{\rho \sigma} \Phi_{\Lambda p, \rho} ~.
\end{equation}
现在考虑选取合适的基 $\Phi_{p, \sigma}$ 使得表示矩阵 $C_{\rho \sigma}$ 分块对角化，也就形成了一个不可约表示。
熟知的，有质量粒子和无质量粒子之间是无法通过 Lorentz 变换得到的，为此选取两个代表的动量6
\begin{equation}
k_1^\mu = (0, 0, 0, M); ~ k_2^\mu = (0, 0, \kappa, \kappa) ~.
\end{equation}
然而现在并不能区分 “两个自由粒子”（比如两个粒子的质心系）和单粒子态（含束缚态）。为此考虑按住粒子的动量不变，考虑 $\sigma$ 指标的变化。
具体过程，先找一个 “标准动量” $k^\mu$，例如 $k^\mu = (0, 0, 0, M)$，然后考虑使得 $k^\mu$ 不变的变换：$k^\mu = W^\mu_\nu k^\nu$，是Wigner 的 “小群”（保这一个标准动量不变，也正是所谓 “迷向子群”）。
对于一个粒子，例如刚才的 $k^\mu$，小群就成为 $\text{SO}(3)$，可以约化为 “自旋” $j$ 的标记；而例如对于两个粒子，体现为 $\sigma$ 连续，要先约化到每个粒子的动量 $p$ 再按 $\sigma$ 展开。
最后给出分类结果：7
表1：小群分类结果
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| | 标准 $k^\mu$ | 小群
|
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(a) | $p^2 = -M^2 < 0, p^0 > 0$ | $(0, 0, 0, M)$ | $\text{SO}(3)$
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(b) | $p^2 = -M^2 < 0, p^0 < 0$ | $(0, 0, 0, -M)$ | $\text{SO}(3)$
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(c) | $p^2 = 0, p^0>0$ | $(0, 0, \kappa, \kappa)$ | $\text{ISO}(2)$
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(d) | $p^2 = 0, p^0<0$ | $(0, 0, \kappa, -\kappa)$ | $\text{ISO}(2)$
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(e) | $p^2 = N^2 > 0$ | $(0, 0, N, 0)$ | $\text{SO}(2, 1)$
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(f) | $p^\mu = 0$ | $(0, 0, 0, 0)$ | $\text{SO}(3, 1)$
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8显然对于任意一个该类下的粒子的动量，可以通过该类的标准动量经过某个线性变换得到：$p^\mu = L^\mu_\nu k^\nu$。
5. 分类结果分析
显然对于任意一个粒子的态 $\Phi_{p, \sigma}$，可以通过 $L(p)$ 将标准动量的态 $\Phi_{k, \sigma}$ 变换到 $\Phi_{p, \sigma} = U[L(p)] \Phi_{k,\sigma}$（未归一化）。
另外若考虑一般动量态的 Lorentz 变换与标准动量的小群变换的关系：
\begin{equation}
U(\Lambda) \Phi_{p, \sigma} = U[L(\Lambda p)] (U[L^{-1} (\Lambda p) \Lambda L(p)] \Phi_{k, \sigma}) ~~
\end{equation}
令 $w^\mu_\sigma(\Lambda, p) = [L^{-1}(p)]^\mu_\nu \Lambda^\nu_\rho L(p)^\rho_\sigma$
9，则：
\begin{equation}
U(w) \Phi_{k, \sigma} = \sum_{\sigma'} D_{\sigma' \sigma}(w) \Phi_{k, \sigma'} ~.
\end{equation}
这是 by definition 的，显然应当是个线性变换。现在，通过 $w$，可以通过 Wigner 转动将 $\Lambda p$ 与 $p$ 联系：
10
\begin{equation}
\begin{aligned}
U(\Lambda) \Phi_{p, \sigma}
&= U[\Lambda L(p)] \Phi_{k, \sigma} \\
&= U[L(\Lambda p)] (U[L^{-1}(\Lambda p) \Lambda L(p)] \Phi_{k, \sigma}) \\
&= U[L(\Lambda p)] (U[w(\Lambda, p)] \Phi_{k, \sigma}) \\
&= U[L(\Lambda p)] \sum_{\sigma '} D_{\sigma ' \sigma}[w(\Lambda, p)] \Phi_{k, \sigma'} \\
&= \sum_{\sigma'} D_{\sigma' \sigma} D\left(w(\Lambda, p)\right) \Phi_{\Lambda p, \sigma'} ~.
\end{aligned} ~~
\end{equation}
6. 正质量粒子
在正质量粒子前提下，小群是 $\text{SO}(3)$，$D^{(j)}_{\sigma' \sigma}$ 是三维转动群的自旋为 $j$ 的不可约表示11：
对于无穷小转动 $R_{ik} = \delta_{ik} + \Theta_{ik}$12，有：
\begin{equation}
D_{\sigma' \sigma}^{(j)} (1+\Theta) = \delta_{\sigma' \sigma} + \frac{\mathbf{i}}{2} \Theta_{ik} \left(J_{ik}^{(j)}\right)_{\sigma' \sigma} ~.
\end{equation}
其中 $J^{(j)}$ 满足
13：
\begin{equation}
\left(J^{(j)}_{23} \pm \mathbf{i} J_{31}^{(j)}\right)_{\sigma' \sigma} = \left(J_1^{(j)} \pm \mathbf{i} J_2^{(j)}\right) = \delta_{\sigma', \sigma \pm 1} \sqrt{(j \mp \sigma)(j \pm \sigma + 1)} ~.
\end{equation}
，以及第三方向上
\begin{equation}
\left(J_{12}^{(j)}\right)_{\sigma' \sigma} = \left(J^{(j)}_3\right)_{\sigma' \sigma} = \sigma \delta_{\sigma' \sigma} ~.
\end{equation}
7. 无质量粒子
这会麻烦一些，要找到让标准动量 $(0, 0, \kappa, \kappa)$ 不变的小群是无穷小变换的哪些组合。
首先，显然可以沿 $z$ 轴转 $\theta$ 角，$U(w) - 1$ 就可以包含 $\mathbf{i} \theta J_3$15。
其次，若可以沿 $x$ 或 $y$ 转 $\alpha$ 角，当 $\alpha$ 是无穷小转动时，不妨取 $\kappa = 1$，$(0, 0, 1, 1)$ 变为 $(\alpha, 0, 1, 1)$；而若这时候再在 $x$ 方向 boost：$(0, 0, 1, 1)$ 变为 $(-\alpha, 0, 1, 1)$，组合恰好抵消。就可令 $A = J_2 + \mathbf{i} K_1$，保标准动量。
类似的，令 $B = -J_1 + K_2$，也保标准动量。故可写（无穷小变换形式下）$U(w(\theta, \alpha, \beta)) = 1 + \mathbf{i} \alpha A + \mathbf{i} \beta B + \mathbf{i} \theta J_3$。由 $J$ 和 $K$ 的 Lie 代数可以写出：$[J_3, A] = iB$，$[J_3, B] = -iA$，$[A, B] = 0$。
现在考虑 $D_{\sigma' \sigma}$，由于 $A$ 与 $B$ 对易，可以同时对角化 $A$ 和 $B$；取他们的共同本征态：$A \Phi_{k, a, b, \sigma} = a \Phi_{k, a, b, \sigma}$ 且 $B \Phi_{k, a, b, \sigma} = b \Phi_{k, a, b, \sigma}$。然而实验上未发现任何 $a \neq 0$ 或 $b \neq 0$ 的粒子16
现在设 $a=b=0$，并用 $J_3$ 的本征态标记粒子：$J_3 \Phi_{k, \sigma} = \sigma \Phi_{k, \sigma}$17。立刻可以写：
\begin{equation}
U(w) \Phi_{k, \sigma} = e^{\mathbf{i} \theta \sigma} \Phi_{k, \sigma} ~.
\end{equation}
此时 $D_{\sigma' \sigma} = \exp\left(\mathbf{i} \theta \sigma\right) \delta_{\sigma' \sigma}$。
一些例子：$\sigma = \pm 1$ 可以由空间反演联系为同一粒子，是光子；$\sigma = \pm 2$ 将会是引力子；$\sigma = \pm 1/2$ 是在 Higgs 机制前无质量的费米子。此外，拓扑考虑下，$\sigma$ 仅能取整数或半整数。
1. ^ 可以考虑为，$U(?)$ 是作用到希尔伯特空间上的。
2. ^ 即 $J^{\rho \sigma \dagger} = J^{\rho \sigma}, P^{\rho \dagger} = P^\rho$
3. ^ $U^{-1}(\Lambda, a) = U(\Lambda^{-1}, -\Lambda^{-1}a)$
4. ^ 值得一提，笔者的推导是在东海岸度规下进行的。
5. ^ 这里直接运用了 Lie 群是对应 Lie 代数的指数映射关系。
6. ^ 沿用 Weinberg 的记号，时间维在最后。
7. ^ 其中 $\text{ISO}(2)$ 是 $2$ 维欧氏空间的等距变换群，由两个平动和一个转动生成元给出。
8. ^ 其中结果只有 (a)、(c)、(f) 是物理的，(f) 是真空。
9. ^ 其中，$L(p)$ 将 $k$ 变为 $p$，$\Lambda$ 将 $p$ 变为 $\Lambda p$，$L(\Lambda p)$ 将 $k$ 变为 $\Lambda p$，故这个 $w$（即 Wigner 转动）将 $k$ 沿 $k \to p \to \Lambda p \to k$ 的路径 “转动一圈”，是一个小群变换（即在小群内的）。
10. ^ 仍未归一化。
11. ^ 熟知三维转动群有不等价的不可约表示，用自旋区分。
12. ^ 其中 $\Theta$ 反对称。
13. ^ 取沿着第三方向的转轴
14. ^ 这即是上升下降算符乘以归一化因子
15. ^ $J_3$ 是沿 $z$ 轴转动的转动生成元
16. ^ 若有不等于 $0$ 的，沿这方向的转动会有多余自由度。有相关研究，比如 1302.1198，以及相关文章。
17. ^ 这就是螺旋度 helicity，是角动量在动量方向上的投影
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