中国科学院大学 2014 年 考研 量子力学

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1. 一

　　 若已知算符 $\hat{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& C-1\end{array}\right)$ 和算符 $\hat{B}=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$，其中 $C$ 为实常数，当 $C=C_0$ 有共同的本征函数。

　　 1. 求 $C_0$ 的值。

　　 2. 求当 $C=C_0$ 时算符 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 的共同本征函数。

　　 3. 求当 $C\ne C_0$，求由 $\hat{A}$ 表像到 $\hat{B}$ 表像的变换矩阵。

2. 二

　　 两个质量均为 $\mu$ 的非全同粒子被禁锢在 $0\le x\le L$ 的无限深势阱中。

　　 1. 忽略两个粒子间的相互作用，求系统的三个最低能量及相应的归一化波函数。

　　 2. 假设粒子间的相互作用是为 $v=\lambda \delta (x_1-x_2)$ 的微弱相互作用，求系统的三个最低能量（$\lambda$ 的一级近似）及相应的归一化波函数。

3. 三

　　 一个质量为 $\mu$ 电荷为 $q$ 自旋为 $0$ 的粒子被限制在 $x-y$ 平面内半径为 $a$ 的圆周上运动。

　　 1. 求该粒子的哈密顿量 $\hat{H}$ 及自旋算符的第二分量 ${\hat{L}}_z$ 的本征值及相应的归一化本征函数。

　　 2. 若在 $Z$ 方向上加一磁场 $\overrightarrow{B}$，求系统的哈密顿量 $\hat{H}$ 的本征值及相应的归一化本征函数，并讨论加入磁场后能级及简并度的变化。（提示取矢势 $A=\frac{1}{2}(\hat{B}x\hat{r})$）

4. 四

　　 一个质量为 $\mu$ 电荷为 $q$ 的谐振子在外电场 $\epsilon$ 的作用下的哈密顿量为 $$\hat{H}=\frac{P^2}{2\mu }+\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{x}^2-q\epsilon x$$

　　 1. 若已知 $\widehat{H_0}=\frac{P^2}{2\mu }+\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{x}^2$ 的本征能量为 $E_n$，相应的本征函数为 $|n⟩$，求 $\hat{H}$ 的本征能量 ${\tilde{E}}_n$ 及相应的本征函数为 $|\tilde{n}⟩$。

　　 2. 若 $t=0$ 时刻处于系统 $\widehat{H_0}$ 的初态 $|0⟩$，$t>0$ 时任意处在 $\widehat{H_0}$ 的初态 $|0⟩$ 的几率 $P_0$。

5. 五

　　 三个电子做一维运动，相互之间的作用可以忽略。单粒子的能量本征值为 ${ϵ}_n$，相应的归一化波函数数为 $\psi {}_n\sigma$，${ϵ}_0<{ϵ}_1<{ϵ}_2<\cdots$，取 $0,1,2,\cdots$。其中 $\sigma$ 为单粒子的第三分量 $\widehat{s_z}$ 的本征态。

　　 1. 求该全同体系的基态能量及相应的归一化本征函数。

　　 2. 求系统总自旋的 $\widehat{s_z}=\widehat{s_{1z}}+\widehat{s_{2z}}+\widehat{s_{3z}}$ 在基态的平均值。