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若已知算符 $\hat{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & C - 1 \end{pmatrix}$ 和算符 $\hat{B} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$，其中 $C$ 为实常数，当 $C = C_0$ 有共同的本征函数。
1. 求 $C_0$ 的值。
2. 求当 $C = C_0$ 时算符 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 的共同本征函数。
3. 求当 $C \neq C_0$，求由 $\hat{A}$ 表像到 $\hat{B}$ 表像的变换矩阵。
两个质量均为 $\mu$ 的非全同粒子被禁锢在 $0 \le x \le L$ 的无限深势阱中。
1. 忽略两个粒子间的相互作用，求系统的三个最低能量及相应的归一化波函数。
2. 假设粒子间的相互作用是为 $v = \lambda \delta (x_1 - x_2)$ 的微弱相互作用，求系统的三个最低能量（$\lambda$ 的一级近似）及相应的归一化波函数。
一个质量为 $\mu$ 电荷为 $q$ 自旋为 $0$ 的粒子被限制在 $x-y$ 平面内半径为 $a$ 的圆周上运动。
1. 求该粒子的哈密顿量 $\hat H$ 及自旋算符的第二分量 $\hat{L}_z$ 的本征值及相应的归一化本征函数。
2. 若在 $Z$ 方向上加一磁场 $\vec{B}$，求系统的哈密顿量 $\hat{H}$ 的本征值及相应的归一化本征函数，并讨论加入磁场后能级及简并度的变化。（提示取矢势 $A=\frac{1}{2}(\hat{B} x\hat{r})$）
一个质量为 $\mu$ 电荷为 $q$ 的谐振子在外电场 $\varepsilon$ 的作用下的哈密顿量为 $$\hat{H} = \frac{P^2}{2\mu} + \frac{1}{2}\mu \omega^2 x^2 - q \varepsilon x~$$
1. 若已知 $\hat{H_0} = \frac{P^2}{2\mu} + \frac{1}{2}\mu \omega^2 x^2$ 的本征能量为 $E_n$，相应的本征函数为 $|n\rangle$，求 $\hat{H}$ 的本征能量 $\tilde {E}_n$ 及相应的本征函数为 $|\tilde n\rangle$。
2. 若 $t=0$ 时刻处于系统 $\hat{H_0}$ 的初态 $|0\rangle$，$t>0$ 时任意处在 $\hat{H_0}$ 的初态 $|0\rangle$ 的几率 $P_0$。
三个电子做一维运动，相互之间的作用可以忽略。单粒子的能量本征值为 $\epsilon_n$，相应的归一化波函数数为 $\psi{_n\sigma}$，$\epsilon_0 < \epsilon_1 < \epsilon_2 < \cdots$，取 $0, 1, 2, \cdots$。其中 $\sigma$ 为单粒子的第三分量 $\hat{s_z}$ 的本征态。
1. 求该全同体系的基态能量及相应的归一化本征函数。
2. 求系统总自旋的 $\hat{s_z} = \hat{s_{1z}} + \hat{s_{2z}} +\hat{s_{3z}}$ 在基态的平均值。
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