冷原子基本知识

贡献者： addis

　　研究冷原子主要是两方面（其中后者更重要）：原子的内部结构，和原子原子之间的相互作用。

　　首先研究原子内部结构，我们可以先写出单原子的 Hamiltonian,

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} {\hat{H}}_{a t} = & - \sum_{i} (\frac{ℏ^{2} \nabla_{i}^{2}}{2 μ_{i}} + V_{e i} (r)) + \sum_{i < j} V_{e e} (r_{i} - r_{j}) \\ + \sum_{i} [α_{f} S_{i} \cdot L_{i} + α_{h f} (S_{i} + L_{i}) \cdot I_{i}] . \end{aligned} \end{matrix}

　　如果只考虑第一项，也就是说每个电子之间是没有相互作用的，得到的是很经典的能级，我们中学就学过。第二项的作用是给了一个修正，当然一般的表达式并不容易写出来，但是我们知道能量的修正可以写成如下形式

\begin{matrix} (2) & E = - \frac{μ α^{2}}{2 ℏ^{2} (n + Δ)^{2}}, Δ = Δ (n, l), α = \frac{e^{2}}{4 π ε_{0}} . \end{matrix}

　　除此之外，第二项还能提供一个我们所知的 Hund 规则，单重态 $ψ_{1} (r_{1}) ψ_{2} (r_{2}) - ψ_{1} (r_{2}) ψ_{2} (r_{1})$ 在离的很近的时候波函数是基本没有的，也就是提供了一个 repulsive 的能量；这也就是说三重态相比单重态能量更低。

　　第三项，正如他的名字所暗示的，包含着精细结构（fine）和超精细结构（hyperfine）

　　原子物理里面，一个很基本的概念就是 Zeeman 效应，这是实验上观测到，并在后来基于量子理论建立了正确的描述；很通俗而且愚蠢的 Zeeman 项（系数）的解释是：相对的，原子核（带电）绕电子转圈，引发磁场，与电子的自旋相互作用。

\begin{matrix} (3) & E \propto - μ_{s} \cdot B_{eff} = \frac{Z e^{2} μ_{0}}{8 π m_{0}^{2} r^{3}} (S \cdot L) . \end{matrix}

　　这一项相比与之前大概是 $10^{- 3}$ 的量级；而电子整体的角动量与核自旋的相互作用是超精细结构，相比精细结构是 $10^{- 3}$ 的量级。

　　物理学对原子进行分类，主要有三类（实际上有很多更精细的分化，但在冷原子范畴内我们并不关心原子形成的晶体的结构：我们希望在极低温度的情况下，原子仍然能保证不会结晶而是气态；这也是冷原子的密度极低，十分稀薄从而少体散射就适用的一个原因）：

　　碱金属：锂钠钾铷铯钫。 $^{2 S + 1} L_{J}$ 表示的话，这些原子的基态都是 $^{2} S_{1 / 2}$ ，价电子都是 $n s^{1}$ ，区别主要体现在核自旋上（不同的同位素）。 $^{87} Rb,^{23} Na$ 是最常见最爱研究的玻色气体，而 $^{40} K,^{6} Li$ 则是最常见的费米气体。Fermion or Boson 主要看核自旋是整数还是半整数。

　　作为例子看一个问题：

　　 $^{87} Rb,^{6} Li$ 在磁场 $B = B \hat{z}$ 中，Hamiltonian 可以写成

\begin{matrix} (4) & \hat{H} = B (μ_{B} J_{z} + μ_{N} I_{z}) + α (J \cdot I) . \end{matrix}

这个的处理方法实际上和传统的

L S

耦合基本一样：引入一个新的参数

F = J + I

，从而保证

\begin{matrix} (5) & J \cdot I = \frac{1}{2} (F^{2} - J^{2} - I^{2}) = \frac{1}{2} (F (F + 1) - J (J + 1) - I (I + 1)), \end{matrix}

从而能谱就是

\begin{matrix} (6) & E = B (μ_{B} J_{z} + μ_{N} I_{z}) + \frac{α}{2} (F (F + 1) - J (J + 1) - I (I + 1)) . \end{matrix}

　　除此之外，我们还可以看到另外的东西。这个 Hamiltonian 不好解，但是我们可以用 $| F, m_{F} ⟩$ 来展开，并且把超精细结构的项作为 perturbation 来处理。 $^{87} Rb : I = \frac{3}{2};^{6} Li : I = 1; J = \frac{1}{2}$

　　对于 $^{87} Rb$ 来说，能够得到的 $F = 2, 1$ 。其本征态有两系列 $F = 2 : | 2, 0 ⟩, | 2, \pm 1 ⟩, | 2, \pm 2 ⟩,$ $F = 1 : | 1, 0 ⟩, | 1, \pm 1 ⟩ .$

　　但是我们知道， $| F, m_{F} ⟩$ 必须利用 $C G$ 系数知道它实际上是如何被组合成的，才能用我们的 Hamiltonian 计算。

\begin{aligned} (7) & | 2, 2 ⟩ = | \frac{3}{2}, \frac{3}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩, \\ (8) & | 2, 1 ⟩ = \frac{1}{2} | \frac{3}{2}, \frac{3}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ + \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{3}{2}, \frac{1}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩, \\ (9) & | 2, 0 ⟩ = \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{3}{2}, \frac{1}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ + \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩, \\ (10) & | 2, - 1 ⟩ = \frac{1}{2} | \frac{3}{2}, - \frac{3}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩ + \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩, \\ (11) & | 2, - 2 ⟩ = | \frac{3}{2}, - \frac{3}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩, \\ (12) & | 1, 1 ⟩ = \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{3}{2}, \frac{3}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ - \frac{1}{2} | \frac{3}{2}, \frac{1}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩, \\ (13) & | 1, 0 ⟩ = \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{3}{2}, \frac{1}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ - \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩, \\ (14) & | 1, - 1 ⟩ = - \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{3}{2}, - \frac{3}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩ + \frac{1}{2} | \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ . \end{aligned}

　　这样写出来的 Hamiltonian 是一个 $8 \times 8$ 的矩阵，当然大部分矩阵元都是 0，但是对角项和一些部分也不是 $0$ 。利用一些技巧，我们知道只有拥有同样的 $m_{F}$ 的两个态之间才有矩阵元，凭借惊人的毅力，我们把这个矩阵写出来，如图 1 （本人的计算功底很差…如果算错了不要打我¹）：

图 1：算错的矩阵

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} A_{1} \equiv \frac{3}{4} α = \frac{α}{2} (2 \times 3 - \frac{3}{2} \times \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}), \\ A_{2} \equiv - \frac{5}{4} α = \frac{α}{2} (1 \times 2 - \frac{3}{2} \times \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　发现，只有在 $| 2, 1 ⟩, | 1, 1 ⟩$ 和 $| 2, - 1 ⟩, | 1, - 1 ⟩$ 之间存在 off-diagonal 成分。相当于我们需要对角化如下两个 $2 \times$ 矩阵：

\begin{matrix} (16) & \begin{array}{r} (\begin{array}{c} (\frac{3}{4} μ_{B} + \frac{1}{4} μ_{N}) B + A_{1} & \frac{\sqrt{3}}{4} (μ_{B} - μ_{N}) B \\ \frac{\sqrt{3}}{4} (μ_{B} - μ_{N}) B & (\frac{3}{4} μ_{B} + \frac{1}{4} μ_{N}) B + A_{2} \end{array}), \\ (\begin{array}{c} - (\frac{3}{4} μ_{B} + \frac{1}{4} μ_{N}) B + A_{1} & \frac{\sqrt{3}}{4} (μ_{B} - μ_{N}) B \\ \frac{\sqrt{3}}{4} (μ_{B} - μ_{N}) B & - (\frac{3}{4} μ_{B} + \frac{1}{4} μ_{N}) B + A_{2} \end{array}) . \end{array} \end{matrix}

　　得到这两部分的本征值分别应该为

\begin{matrix} (17) & λ_{1, 2 / 1} = - (\frac{3}{4} μ_{B} - \frac{1}{4} μ_{N}) B + \frac{A_{1} + A_{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} (A_{1} - A_{2})^{2} + \frac{3}{4} (μ_{B} - μ_{N})^{2} B^{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (18) & λ_{- 1, 2 / 1} = (\frac{3}{4} μ_{B} + \frac{1}{4} μ_{N}) B + \frac{A_{1} + A_{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} (A_{1} - A_{2})^{2} + \frac{3}{4} (μ_{B} - μ_{N})^{2} B^{2}} . \end{matrix}

　　这两个本征值的行为在 $B$ 非常小和相对大一点的时候有着截然不同的表现。在很小的时候，也就是说 $B ≪ | A_{1} - A_{2} | / \sqrt{3} (μ_{B} - μ_{N})$ ，我们可以把根号内进行展开，得到

\begin{matrix} (19) & \sqrt{\frac{1}{4} (A_{1} - A_{2})^{2} + \frac{3}{4} (μ_{B} - μ_{N})^{2} B^{2}} \approx \frac{1}{2} | A_{1} - A_{2} | (1 + \frac{3}{2} \frac{(μ_{B} - μ_{N})^{2}}{(A_{1} - A_{2})^{2}} B^{2}) . \end{matrix}

　　得到了一个 Zeeman \text{eff}ect 的二次 shift。而大的磁场下超精细结构 $A_{1}, A_{2}$ 很小，几乎忽略，主要修正项都是 $\frac{\sqrt{3}}{2} Δ μ B$ ，是线性的 Zeeman shift。

　　当然这只是一个关于二次 Zeeman shift 的例子， $^{6} Li$ 同理，有兴趣的同学可以进行练习。

　　碱金属原子的另一个特点就是明显的第一激发态的劈裂。第一激发态本身应该是 $L = 1$ ，也就是 $^{2} P$ 。但是如果有了 $L S$ 耦合，不同的 $J$ 会有不同的精细结构劈裂。最简单的就是大家都实验过的 $N a$ 黄光双线。当然如果考虑超精细结构还会更进一步分裂，但是那个效应太小不容易观察到。

　　要注意，在基态和这两个激发态之间的光跃迁是实验上对（冷）原子进行捕捉和操作的基本手段。冷的目的是他们基本没有很大的动能，这样就少去了很多的复杂因素（反冲能量损失、多普勒效应等）。

　　最后一类有趣的原子就是高自旋原子。不过我并不对这个感兴趣，就先不写简介了。

　　接下来讨论一下上面提到的光跃迁过程——说白了就是一个原子在偶极作用下的行为。

　　光引入的附加 Hamiltonian 是：

\begin{matrix} (20) & {\hat{H}}_{d} = d \cdot E = d_{j} E_{j}^{0} \cos (ω t - ϕ_{j}), \end{matrix}

其中

d = \sum_{α} (- e r_{α})

，代表原子的偶极矩。

　　比如，我们研究碱金属的问题。相对的，我们研究的是从 $^{2} S_{1 / 2}$ 到 $^{2} P_{3 / 2},^{2} P_{1 / 2}$ 的跃迁。两个激发态可以用 $D_{1}, D_{2}$ 表示，能级差是有精细机构带来的；一个数量级上的能量估计是： $Δ_{s p} ≫ Δ_{f} ≫ Δ_{h f}$ 。显然，这里我们可以忽略掉超精细结构。

　　我们定义投影算符，把态投影到基态或者激发态上。显然这里可以使用

\begin{matrix} (21) & P_{g} = \frac{L^{2}}{2 ℏ}, P_{e} = 1 - P_{g} . \end{matrix}

而体系的 Hamiltonian 在无外场的时候则是

\begin{matrix} (22) & \hat{H} = {\hat{H}}_{a t} + {\hat{H}}_{d} . \end{matrix}

我们前面分析了，无外场

\begin{matrix} (23) & {\hat{H}}_{a t} = E_{e} P_{e} + \frac{A_{f}}{ℏ^{2}} L \cdot S . \end{matrix}

　　这个解释就是：我们把基态能量扔了，而且不去管那些关于主量子数 $n$ 的细节；在我们需要考虑的范围内，Hamiltonian 就可以写成你在激发态上的成分乘以激发态的能量 $E_{e}$ 。显然，这个 Hamiltonian 并不包含在基态和激发态之间的任何 coupling。

　　我们定义一个算符

\begin{matrix} (24) & U_{r o t} (t) = e^{- i ω t P_{e}} = P_{g} + P_{e} e^{- i ω t} . \end{matrix}

这算符相当于做一个 unitary 的变换²，我们现在看外场怎样变换

\begin{matrix} (25) & {\hat{H}}_{d}^{'} = U_{r o t}^{†} (t) {\hat{H}}_{d} U_{r o t}, \end{matrix}

显然的，我们知道无论基态还是激发态都没有特殊的极化方向，

⟨ d_{j} ⟩ = 0

，即

\begin{matrix} (26) & P_{g} d_{j} P_{g} = P_{e} d_{j} P_{e} = 0 . \end{matrix}

　　而另一方面， $E_{j}$ 又是外场，不与投影算符 $P$ 有对易关系。因此，我们很容易的可以进行一步化简：

\begin{matrix} (27) & {\hat{H}}_{d}^{'} = E_{j}^{0} \cos (ϕ_{j} - ω t) (P_{g} d_{j} P_{e} e^{- i ω t} + P_{e} e^{i ω t} d_{j} P_{g}), \end{matrix}

而

\begin{matrix} (28) & \cos (ϕ_{j} - ω t) = \frac{e^{i (ϕ_{j} - ω t)} + e^{- i (ϕ_{j} - ω t)}}{2} . \end{matrix}

　　定义 ${\tilde{E}}_{j} = E_{j}^{0} e^{i ϕ_{j}}$ ，我们得到

\begin{matrix} (29) & {\hat{H}}_{d}^{'} = \frac{1}{2} ({\tilde{E}}_{j} e^{- i ω t} + {\tilde{E}}_{j}^{*} e^{i ω t}) (P_{g} d_{j} P_{e} e^{- i ω t} + P_{e} e^{i ω t} d_{j} P_{g}) . \end{matrix}

　　在近似共振的时候 $ω \sim ω_{e} = E_{e} / ℏ$ ，某种程度上可以忽略到以 $\pm 2 i ω t$ 做震荡的成分（被称为 Rotating Wave Approximation RWA³），于是我们得到

\begin{matrix} (30) & {\hat{H}}_{d}^{'} \approx \frac{1}{2} ({\tilde{E}}_{j} P_{e} d_{j} P_{g} + {\tilde{E}}_{j}^{*} P_{g} d_{j} P_{e}) . \end{matrix}

　　因为包含精细结构 $A_{f} L \cdot S / ℏ^{2}$ 的项已经很小了，其在这个 Unitary 变换下的变化可以忽略。而另一方面，一个 unitary 的变换，如果是含时的，则会带来一个变化，是由于要保证 Hamiltonian 的定义正确⁴

\begin{matrix} (31) & | ψ ⟩ \to U (t) | ψ ⟩ = | ψ^{'} ⟩, \end{matrix}

\begin{matrix} (32) & H^{'} | ψ^{'} ⟩ = i ℏ \frac{d}{d t} | ψ^{'} ⟩ = i ℏ \frac{d U (t)}{d t} | ψ ⟩ + i ℏ U (t) \frac{d}{d t} | ψ ⟩ . \end{matrix}

　　而 $| ψ ⟩ = U^{†} (t) | ψ^{'} ⟩$ ，故

\begin{matrix} (33) & H^{'} | ψ ⟩ = (i ℏ \frac{d U (t)}{d t} U^{†} (t) + U (t) H U^{†} (t)) | ψ^{'} ⟩ . \end{matrix}

从而

\begin{matrix} (34) & H^{'} = i ℏ \frac{d U (t)}{d t} U^{†} (t) + U (t) H U^{†} (t), \end{matrix}

\begin{matrix} (35) & {\hat{H}}_{a t}^{'} = E_{e} P_{e} - ℏ ω P_{e} + \frac{A_{f}}{ℏ^{2}} L \cdot S . \end{matrix}

　　我们研究对基态的二阶微扰。微扰理论的基本知识可以参考 Prof Fa, Wang 的讲义，见 Fa Wang⁵。

　　能量的修正应该是

\begin{matrix} (36) & Δ E = ⟨ g | H_{d}^{'} | g ⟩ + \frac{⟨ g | H_{d}^{'} | e ⟩ ⟨ e | H_{d}^{'} | g ⟩}{0 - E_{e}^{'}} . \end{matrix}

　　可以一目了然的看出来， $H_{d}^{'}$ 这种左边右边有不同的投影算符 $P$ 的，第一项为 0；而第二项可以简化成

\begin{matrix} (37) & Δ E = - ⟨ g | H_{d}^{'} | e ⟩ H_{a t}^{' - 1} ⟨ e | H_{d}^{'} | g ⟩ . \end{matrix}

　　因为这里我们实际上扔了一个算符进去，并不应该写成这样子，而应该写成一个仅对基态有用的有效 Hamiltonian：

\begin{matrix} (38) & H_{eff} = - P_{g} H_{d}^{'} P_{e} H_{a t}^{' - 1} P_{e} H_{d}^{'} P_{g} \sim - P_{g} H_{d}^{'} H_{a t}^{' - 1} H_{d}^{'} P_{g}, \end{matrix}

其中近似是由于：我们只希望得到二阶的修正，所以

H_{a t}^{'}

基本只作用在激发态上，两个对激发态的投影算符可以忽略了。

　　来咱们继续，虽然发生了很多令人伤心的事情但是冷原子的学习还是要继续的。

　　我们定义一个二阶矩阵（算符）：

\begin{matrix} (39) & D_{i j} = P_{g} d_{i} {\hat{H}}_{a t}^{- 1} d_{j} P_{g} . \end{matrix}

　　这样的话，考虑到

\begin{matrix} (40) & \begin{aligned} {\hat{H}}_{eff} & = - P_{g} {\hat{H}}_{d}^{'} {\hat{H}}_{a t}^{' - 1} {\hat{H}}_{d}^{'} P_{g} \\ = - \frac{1}{4} P_{g} ({\tilde{E}}_{j} P_{e} d_{j} P_{g} + {\tilde{E}}_{j}^{*} P_{g} d_{j} P_{e}) {\hat{H^{'}}}_{a t}^{- 1} ({\tilde{E}}_{i} P_{e} d_{i} P_{g} + {\tilde{E}}_{i}^{*} P_{g} d_{i} P_{e}) P_{g} . \end{aligned} \end{matrix}

　　显然，红色的两项包含诸如 $P_{e} P_{g}, P_{g} P_{e}$ 这种（ $\tilde{E}$ 这种外场在这时候和他们都没有对易关系）的，显然 $= 0$ ，所以最后我们有对基态的等效 Hamiltonian

\begin{matrix} (41) & {\hat{H}}_{eff} = - \frac{1}{4} P_{g} \sum_{j} {\tilde{E}}_{j}^{*} P_{g} d_{j} P_{e} {\hat{H^{'}}}_{a t}^{- 1} \sum_{i} {\tilde{E}}_{i} P_{e} d_{i} P_{g} P_{g} . \end{matrix}

　　或者，利用我们刚刚定义的二阶矩阵，我们有

\begin{matrix} (42) & {\hat{H}}_{eff} = - \frac{1}{4} \sum_{i, j} {\tilde{E}}_{i}^{*} D_{i j} {\tilde{E}}_{j} . \end{matrix}

　　可以把这个 $D_{i j}$ 拆成三个部分：表示 trace 的各项同性矩阵 $D_{i j}^{0} = \frac{1}{3} T r (D) δ_{i j}$ ，全反对称的 $D_{i j}^{1} = \frac{1}{2} (D_{i j} - D_{j i})$ ，和全对称无 trace 的 $D_{i j}^{2} = \frac{1}{2} (D_{i j} + D_{j i}) - D_{i j}^{0}$ ，于是

\begin{matrix} (43) & D_{i j} = D_{i j}^{0} + D_{i j}^{1} + D_{i j}^{2} . \end{matrix}

　　我们接下来分析一下这种效应带来的 splitting，作为我们对于原子—光相互作用的结束。

　　 $1$ . 极端情况下，可以忽略精细结构，也就是说 $A_{f} = 0$ 。这时候 $D_{i j}$ 就不再是一个很复杂的算符，而是简单地

\begin{matrix} (44) & D_{i j} = \frac{1}{Δ_{e}} P_{g} d_{i} d_{j} P_{g} . \end{matrix}

　　主要到这里两个到基态的投影算符使得中间的位置算符 $d_{j}$ 并没有明显的极化效应，所以 $D_{i j} \propto δ_{i j}$ ， $D_{i j}^{1} = D_{i j}^{2} = 0$ 。

　　而

\begin{matrix} (45) & D_{i j}^{0} = \frac{1}{3 Δ_{e}} P_{g} d_{j} P_{e} P_{e} d_{j} P_{g} δ_{i j} = \frac{1}{3 Δ_{e}} | P_{g} d_{j} P_{e} |^{2} δ_{i j} \overset{d e f}{\equiv} - 4 u_{s} δ_{i j}, \end{matrix}

其中，很显然的可以得到

\begin{matrix} (46) & u_{s} = - \frac{1}{12 Δ_{e}} | ⟨ l = 0 | d | l = 1 ⟩ |^{2} . \end{matrix}

因此，有效 Hamiltonian 为

\begin{matrix} (47) & {\hat{H}}_{eff} = u_{s} E^{2} . \end{matrix}

　　这说明什么呢？这说明没有精细结构的话，光是没有办法改变电子的自旋的（Hamiltonian 里面没有包含自旋与其他参数耦合的项）；而且，这种作用并不依赖光的偏振，而仅仅和光的强度有关（ $E^{2}$ ）；利用这点可以很好的进行实验上的光陷阱，从而捕捉原子；而 $Δ_{e}$ 实际上与原子的速度有关（Doppler 效应），于是说给激光制冷提供了一个实验的理论指导。

　　 { $2$ . }考虑精细结构（当然很小的精细结构）的时候的能级分裂

　　注意到，

\begin{matrix} (48) & {\hat{H}}^{- 1} \equiv ({\hat{H}}_{0} + \hat{V})^{- 1} = {\hat{H}}_{0}^{- 1} - {\hat{H}}_{0}^{- 1} \hat{V} {\hat{H}}^{- 1}, \end{matrix}

⁶我们可以得到

\begin{matrix} (49) & {\hat{H}}_{a t} = \frac{1}{Δ_{e}} P_{e} - \frac{1}{Δ_{e}} \frac{A_{f}}{ℏ^{2}} L \cdot S {\hat{H}}_{a t}^{- 1} . \end{matrix}

　　从而，我们可以分出来和之前一样的 $D_{i j}$ 部分，和精细结构带来的效应

\begin{matrix} (50) & D_{i j} = P_{g} d_{i} \frac{1}{Δ_{e}} d_{j} P_{g} - α P_{g} d_{i} L \cdot S d_{j} P_{g}, α \equiv A_{f} / (ℏ^{2} Δ_{e}) . \end{matrix}

　　角动量算符和位置算符有着明显的对易关系：

\begin{matrix} (51) & [L_{i}, d_{j}] = i ℏ ϵ_{i j k} d_{k}, \end{matrix}

因此

\begin{matrix} (52) & d_{i} L \cdot S d_{j} = L \cdot S d_{i} d_{j} + [L \cdot S, d_{i}] d_{j} . \end{matrix}

　　第一项很显然等于 0，因为这是作用在基态上的，而基态的话 $L = 0, j = s, L \cdot S = j (j + 1) - s (s + 1) = 0$ ，因此我们有

\begin{matrix} (53) & D_{i j} = - 4 u_{s} δ_{i j} - i α ℏ ϵ_{i l m} S_{l} D_{m j} . \end{matrix}

　　做一级近似，也就是把上面式子的第二项中 $D_{m j} \sim - 4 u_{s} δ_{i j}$ ，于是

\begin{matrix} (54) & D_{i j} = - 4 u_{s} δ_{i j} - 4 i u_{s} α ℏ ϵ_{i j l} S_{l} . \end{matrix}

　　注意到，这里面，第一项对能量的贡献是量级 $1 / Δ_{e}$ 的，而第二项是 $1 / Δ_{e}^{2}$ 。热效应同样也是 $1 / Δ_{e}^{2}$ ，于是没办法在保持这种相互作用的程度而减小热效应。

　　化简可以得到

\begin{matrix} (55) & {\hat{H}}_{eff} = u_{s} | E |^{2} + i α ℏ u_{s} (E^{*} \times E) \cdot S . \end{matrix}

可以注意到，这样的光会使得自旋的极化。例如，圆偏振，

E = E_{0} (e_{x} + i e_{y})

，我们会发现

\begin{matrix} (56) & E^{*} \times E = 2 i E_{0}^{2} e_{z} . \end{matrix}

不难想象，这在我们将来操作冷原子的时候有很好的应用潜力。

1. ^ 注意：确实发现算错了，但是懒得改，领会精神 orz
2. ^ 实际上这就类似相互作用绘景里面常用的样子给反过来而已

\begin{matrix} (57) & U_{I} = e^{i {\hat{H}}_{0} t / ℏ} = e^{i ω_{e} t P_{e}} . \end{matrix}

3. ^ 适用条件：

场几乎共振，能级差 $E_{e} \sim ℏ ω$
场很弱，具体的话要满足 $E_{j} d ≪ ℏ ω$

　　
4. ^ 注意：这里我的这个 note 写的比较乱，但是我觉得可以阅读；我也懒得改了。
5. ^ Fa Wang, Summary of Lecture 6: perturbation theory, laserroger: Site Part C, 2nd-order perturbation
6. ^ 这里可以通过这种办法检验：

\begin{matrix} (58) & ({\hat{H}}_{0}^{- 1} - {\hat{H}}_{0}^{- 1} \hat{V} {\hat{H}}^{- 1}) \hat{H} = 1 + {\hat{H}}_{0}^{- 1} \hat{V} - {\hat{H}}_{0}^{- 1} \hat{V} = 1 . \end{matrix}

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