弦理论（综述）

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　　 在物理学中，弦理论是一种理论框架，其中粒子物理学中的点状粒子被称为弦的一维物体所取代。弦理论描述了这些弦如何在空间中传播并相互作用。在大于弦尺度的距离范围内，弦表现得像一个粒子，其质量、电荷和其他属性由弦的振动状态决定。在弦理论中，弦的众多振动状态之一对应于引力子，一种携带引力的量子力学粒子。因此，弦理论是一种量子引力理论。

　　 弦理论是一个广泛而多样的学科，试图解决许多深刻的基础物理学问题。弦理论为数学物理学做出了诸多贡献，这些贡献已应用于黑洞物理学、早期宇宙宇宙学、核物理学和凝聚态物理学的各种问题，并激发了纯数学领域的一些重大进展。由于弦理论可能提供一个统一的引力和粒子物理学的描述，它成为了万物理论的候选者，即一个自洽的数学模型，能够描述所有基本力和物质形式。尽管在这些问题上进行了大量研究，但目前尚不清楚弦理论在多大程度上描述了真实世界，或者该理论在选择细节时允许多少自由度。

　　 弦理论最早在 1960 年代末期作为强核力的理论进行研究，但随后由于量子色动力学的兴起而被放弃。随后，人们意识到，正是使弦理论不适合作为核物理学理论的那些特性，使其成为量子引力理论的一个有前景的候选者。弦理论的最早版本是玻色子弦理论，它只包含了被称为玻色子的粒子类别。后来，它发展成了超弦理论，超弦理论假设玻色子和称为费米子的粒子类别之间存在一种叫做超对称的联系。在 1990 年代中期，人们推测出，超弦理论的五个一致版本其实是一个十一维的单一理论的不同极限情形，这个理论被称为 M 理论。1997 年底，理论物理学家发现了一个重要的关系，叫做反德西特/共形场论对偶性（AdS/CFT 对偶性），它将弦理论与另一种物理理论——量子场论——联系了起来。

　　 弦理论的一个挑战是，完整的理论在所有情况下都没有一个令人满意的定义。另一个问题是，该理论被认为描述了一个庞大的可能宇宙的景观，这使得基于弦理论的粒子物理学理论发展变得复杂。这些问题导致物理学界一些人批评这些物理学方法，并质疑继续进行弦理论统一研究的价值。

1. 基本原理

概述

　　 在 20 世纪，出现了两种理论框架来阐述物理学的基本法则。第一种是阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论，这一理论解释了引力的作用以及宏观层面上时空的结构。另一种是量子力学，这是一种完全不同的框架，利用已知的概率原理来描述微观层面的物理现象。到 1970 年代末，这两种框架已被证明足以解释大多数已观察到的宇宙特征，从基本粒子到原子，再到恒星和整个宇宙的演化。[1]

　　 尽管取得了这些成功，但仍有许多问题亟待解决。现代物理学中最深刻的问题之一是量子引力问题。[1]广义相对论是在经典物理框架内 formul 化的，而其他基本力则在量子力学框架内描述。为了将广义相对论与量子力学的原则统一起来，需要一个量子引力理论，但当尝试将量子理论的常规法则应用于引力时，便会遇到困难。[2]

　　 弦理论是一种理论框架，试图解决这些问题。

　　 弦理论的起点是这样一个观点：粒子物理学中的点状粒子也可以被建模为一种称为 “弦” 的一维物体。弦理论描述了弦如何在空间中传播并相互作用。在某个特定版本的弦理论中，只有一种类型的弦，它可能看起来像一个小的环或普通弦的一段，并且可以以不同的方式振动。在大于弦尺度的距离范围内，弦看起来就像是一个普通的粒子，符合非弦模型中的基本粒子，其质量、电荷以及其他特性由弦的振动状态决定。作为量子引力的应用，弦理论提出了一种振动状态，负责产生引力子——一种尚未被证实的量子粒子，理论上它承担引力的作用。[3]

　　 过去几十年中，弦理论的主要发展之一是发现了某些 “对偶性”，即将一种物理理论与另一种物理理论联系起来的数学变换。研究弦理论的物理学家发现了不同版本弦理论之间的一些对偶性，这导致了一个猜想：所有一致的弦理论版本都可以被统一在一个单一的框架中，称为 $M$ 理论。[4]

　　 弦理论的研究还在黑洞的性质和引力相互作用方面取得了一些成果。当人们试图理解黑洞的量子特性时，出现了一些悖论，弦理论的研究试图澄清这些问题。1997 年底，这一领域的研究达到了顶峰，发现了反-德西特/共形场理论对应（AdS/CFT）。[5]这是一个理论结果，将弦理论与其他理论上更为清楚的物理理论联系起来。AdS/CFT 对应对于黑洞和量子引力的研究具有重要意义，并且已被应用于其他领域，[6]包括核物理和凝聚态物理。[7][8]

　　 由于弦理论包含了所有基本相互作用，包括引力，许多物理学家希望它最终能够发展到足以完全描述我们的宇宙，从而成为一种 “万物理论”。目前弦理论研究的目标之一是找到一个能够再现已观察到的基本粒子谱、具有小的宇宙常数、包含暗物质并提供合理的宇宙膨胀机制的理论解。尽管在这些目标上已有一些进展，但目前尚不清楚弦理论在多大程度上能够描述现实世界，或者该理论在细节选择上允许多少自由度。[9]

　　 弦理论的挑战之一是，完整的理论在所有情况下都没有一个令人满意的定义。弦的散射最直接的定义方法是使用微扰理论的技巧，但通常并不清楚如何非微扰地定义弦理论。[10]此外，是否存在某种原理来选择弦理论的真空态——即决定我们宇宙特性的物理状态——也尚不明确。[11]这些问题使得部分学者批评将物理学统一的这些方法，并质疑继续研究这些问题的价值。[12]

弦

　　 将量子力学应用于像电磁场这样的在时空中扩展的物理对象，称为量子场论。在粒子物理学中，量子场论是我们理解基本粒子的基础，这些粒子被建模为基本场中的激发。[13]

　　 在量子场论中，通常使用微扰理论的技术来计算各种物理事件的概率。微扰量子场论由理查德·费曼等人在二十世纪上半叶发展起来，使用一种叫做费曼图的特殊图形来组织计算。人们可以想象，这些图形描绘了点状粒子的路径及其相互作用。[13]

　　 弦论的出发点是这样的观点：量子场论中的点状粒子也可以被建模为一维物体，称为弦。[14] 弦的相互作用通过推广在普通量子场论中使用的微扰理论来最直接地定义。在费曼图的层面上，这意味着用一个二维（2D）表面来替代表示点粒子路径的一维图形，从而表示弦的运动。[15] 与量子场论不同，弦论没有完整的非微扰定义，因此许多物理学家希望解答的理论问题仍然无法触及。[16]

　　 在基于弦论的粒子物理学理论中，弦的特征长度尺度被假定为普朗克长度量级，即 ${10}^{-35}$ 米，这是量子引力效应被认为变得显著的尺度。[15] 在更大尺度下，比如物理实验室中可见的尺度，这样的物体将与零维的点粒子无法区分，而弦的振动状态将决定粒子的类型。弦的一个振动状态对应于引力子，一种量子力学粒子，携带引力作用。[3]

　　 原始版本的弦理论是玻色弦理论，但这个版本仅描述了玻色子——一种传递物质粒子之间相互作用力的粒子类别。玻色弦理论最终被称为超弦理论的理论所取代。这些理论既描述玻色子也描述费米子，并且它们包含了一个叫做超对称的理论概念。在具有超对称性的理论中，每个玻色子都有一个对应的费米子，反之亦然。[17]

　　 超弦理论有多个版本：类型 I、类型 IIA、类型 IIB 和两种异质弦理论（$SO(32)$ 和 $E_8\times E_8$）。不同的理论允许不同类型的弦，并且在低能量下出现的粒子表现出不同的对称性。例如，类型 I 理论包含开放弦（具有端点的弦段）和闭合弦（形成闭环的弦），而类型 IIA、IIB 和异质弦理论仅包含闭合弦。[18]

额外维度

　　 在日常生活中，我们熟悉的空间有三个维度（3D）：高度、宽度和长度。爱因斯坦的广义相对论将时间视为与三个空间维度平等的维度；在广义相对论中，空间和时间并不是作为独立的实体来描述，而是统一为四维（4D）时空。在这个框架中，重力现象被视为时空几何的结果。[19]

　　 尽管宇宙可以用四维时空很好地描述，但物理学家考虑其他维度的理论有几个原因。在某些情况下，通过以不同维度来建模时空，理论变得在数学上更易处理，从而可以更容易地进行计算并获得一般性的见解。[a] 还有一些情况，在二维或三维时空中的理论对于描述凝聚态物理中的现象非常有用。[13] 最后，存在一些情形，可能时空的维度实际上超过了四维，但这些额外的维度仍然未能被探测到。[20]

　　 弦理论要求额外的时空维度以保持其数学一致性。在玻色弦理论中，时空是 26 维的，而在超弦理论中是 10 维的，在 M 理论中是 11 维的。因此，为了使用弦理论描述真实的物理现象，必须设想一些场景，其中这些额外的维度在实验中不会被观察到。[21]

　　 紧致化是修改物理理论中维度数量的一种方式。在紧致化过程中，假设一些额外的维度 “自我闭合”，形成圆形。[22] 在这些卷曲的维度变得非常小的极限下，便得到一种有效维度较低的理论。对此的标准类比是考虑一个多维物体，比如花园水管。如果从足够远的地方看，水管似乎只有一个维度，即它的长度。然而，当靠近水管时，会发现它包含第二个维度，即其周长。因此，一只在水管表面爬行的蚂蚁将会在两个维度上移动。

　　 紧致化可以用来构造有效四维时空的模型。然而，并非所有紧致化额外维度的方式都会产生具有正确性质的模型来描述自然界。在一个可行的粒子物理模型中，紧致的额外维度必须呈现卡拉比–尤流形的形状。[22] 卡拉比–尤流形是一种特殊的空间，在弦理论应用中通常被认为是六维的。它以数学家尤金尼奥·卡拉比和丘成桐的名字命名。[23]

　　 减少维度的另一种方法是所谓的‘膜世界’场景。在这种方法中，物理学家假设可观察的宇宙是一个更高维空间的四维子空间。在这种模型中，粒子物理学中的传递力的玻色子来自于端点附着在四维子空间上的开放弦，而引力则来自于通过更大环境空间传播的闭合弦。这个思想在尝试基于弦理论开发现实世界物理学模型的过程中发挥着重要作用，并且为引力相比其他基本力的弱性提供了一个自然的解释。[24]

对偶性

　　 弦理论的一个显著特点是，不同版本的理论最终都以非常非平凡的方式相互关联。不同弦理论之间可能存在的一种关系被称为 S-对偶性。这种关系表明，在某些情况下，一种理论中强相互作用的粒子集合可以被视为另一种完全不同理论中弱相互作用的粒子集合。粗略来说，如果一组粒子经常结合并衰变，则称其为强相互作用；如果这种过程发生得不频繁，则称其为弱相互作用。I 型弦理论通过 S-对偶性与 $SO(32)$ 的异质弦理论是等价的。同样，IIB 型弦理论也通过 S-对偶性以非平凡的方式与自身相关联。[25]

　　 不同弦理论之间的另一种关系是 T-对偶性。在这里，考虑的是弦在一个圆形额外维度上传播。T-对偶性表明，一条在半径为 $R$ 的圆圈上传播的弦，与一条在半径为 $1/R$ 的圆圈上传播的弦是等价的，意思是一个描述中的所有可观察量与对偶描述中的量是对应的。例如，一条弦在绕圆圈传播时具有动量，它也可以绕圆圈一圈或多圈。弦绕圆圈缠绕的圈数称为缠绕数。如果在一种描述中，弦的动量为 $p$，缠绕数为 $n$，那么在对偶描述中，它的动量将是 $n$，缠绕数将是 $p$。例如，IIA 型弦理论通过 T-对偶性与 IIB 型弦理论等价，异质弦理论的两个版本也通过 T-对偶性相关联。[25]

　　 一般来说，对偶性一词指的是两种看似不同的物理系统以非平凡的方式实际上是等价的情况。通过对偶性相关联的两种理论不一定是弦理论。例如，Montonen–Olive 对偶性是量子场论之间 S-对偶性关系的一个例子。AdS/CFT 对应关系是一个将弦理论与量子场论联系起来的对偶性例子。如果两种理论通过对偶性相关联，意味着一种理论可以以某种方式被转换，使得它最终看起来与另一种理论完全相同。然后，这两种理论就被称为在变换下彼此对偶。换句话说，这两种理论是同一现象的数学上不同的描述。[26]

膜

　　 在弦理论及其他相关理论中，膜是一个物理对象，它将点粒子的概念推广到更高的维度。例如，点粒子可以被看作是一个零维的膜，而弦可以被看作是一个一维的膜。也可以考虑更高维度的膜。在 $p$ 维度下，这些被称为 p-膜。‘膜’一词来自于‘膜’（membrane）一词，后者指的是二维膜。[27]

　　 膜是动态对象，可以根据量子力学的规则在时空中传播。它们具有质量，并可以具有其他属性，如电荷。一个 p-膜在时空中扫过一个 $(p+1)$ 维的体积，称为它的世界体积。物理学家通常研究类似于电磁场的场，这些场存在于膜的世界体积上。[27]

　　 在弦理论中，D-膜是一个重要的膜类别，当考虑开放弦时会出现。随着开放弦在时空中传播，它的端点必须位于 D-膜上。D-膜中字母 “$D$” 指的是系统中一种称为狄利克雷边界条件的特定数学条件。弦理论中对 D-膜的研究产生了重要的成果，例如 AdS/CFT 对应关系，这为量子场论中的许多问题提供了新的见解。[27]

　　 膜经常从纯数学的角度进行研究，它们被描述为某些范畴中的对象，例如复代数簇上的相干层的导出范畴，或辛流形的福卡亚范畴。[28] 膜的物理概念与数学范畴概念之间的联系，导致了代数几何与辛几何[29]以及表示论[30]领域中的重要数学见解。

2. M 理论

　　 在 1995 年之前，理论物理学家认为超弦理论有五种一致的版本（I 型、IIA 型、IIB 型以及两种异质弦理论）。这一理解在 1995 年发生了变化，当时爱德华·威滕提出这五种理论仅仅是一个十一维理论——M 理论的特殊极限情形。威滕的猜想基于其他物理学家的一些工作，包括阿肖克·森、克里斯·赫尔、保罗·汤森德和迈克尔·达夫等人。他的这一宣布引发了一场研究热潮，现被称为第二次超弦革命。[31]

超弦理论的统一

　　 在 1970 年代，许多物理学家开始对超引力理论产生兴趣，该理论将广义相对论与超对称结合起来。广义相对论在任何维度下都是合理的，而超引力则对维度的数量设定了上限。[32] 1978 年，Werner Nahm 的研究表明，能够制定一致的超对称理论的最大时空维度是十一。[33] 同年，来自巴黎高等师范学校的 Eugene Cremmer、Bernard Julia 和 Joël Scherk 证明，超引力不仅允许最多十一维，而且在这个最大维度下表现得最为优雅。[34][35]

　　 最初，许多物理学家希望通过将十一维超引力紧凑化，可能构建出符合现实的四维世界模型。人们希望这些模型能够提供四种基本自然力的统一描述：电磁力、强核力、弱核力和引力。然而，随着该方案中各种缺陷的被发现，对十一维超引力的兴趣很快减少了。其中一个问题是物理定律似乎区分顺时针和逆时针旋转，这一现象被称为 “手性”。Edward Witten 和其他人观察到，这种手性属性无法通过从十一维紧凑化轻易推导出来。[35]

　　 在 1984 年的第一次超弦革命中，许多物理学家转向弦理论，将其视为粒子物理和量子引力的统一理论。与超引力理论不同，弦理论能够容纳标准模型中的手性，并且提供了一种与量子效应一致的引力理论。[35] 弦理论的另一个特点是其高度的独特性，这也是许多物理学家在 1980 年代和 1990 年代被其吸引的原因。在普通的粒子理论中，可以考虑任何由任意拉格朗日量描述其经典行为的基本粒子集合。而在弦理论中，可能性要受到更多限制：到 1990 年代，物理学家已认为只有五种一致的超对称版本的弦理论。[35]

　　 尽管只有少数几种一致的超弦理论，但为什么没有一个统一的一致性公式依然是一个谜。[35] 然而，随着物理学家开始更仔细地研究弦理论，他们意识到这些理论之间以错综复杂且非平凡的方式相互关联。他们发现，在某些情况下，一个强相互作用的弦系统可以视为一个弱相互作用的弦系统。这种现象被称为 S 对偶性。Ashoke Sen 在四维异托弦的背景下研究了这一现象[36][37]，Chris Hull 和 Paul Townsend 则在 IIB 型理论的背景下进行了研究。[38] 理论物理学家还发现，不同的弦理论可能通过 T 对偶性相互关联。该对偶性意味着，在完全不同的时空几何上传播的弦可能是物理等价的。[39]

　　 在大约同一时期，当许多物理学家研究弦的性质时，一小群物理学家开始考察更高维物体的可能应用。1987 年，Eric Bergshoeff、Ergin Sezgin 和 Paul Townsend 证明了十一维超引力包含了二维膜。[40] 直观上，这些物体看起来像是穿越十一维时空传播的薄片或膜。就在这一发现之后，Michael Duff、Paul Howe、Takeo Inami 和 Kellogg Stelle 考虑了十一维超引力的特定紧凑化方式，其中一个维度卷曲成一个圆。[41] 在这种情境下，可以想象膜绕着圆形维度展开。如果圆的半径足够小，那么这个膜看起来就像是十维时空中的弦。Duff 及其合作者证明，这种构造精确地重现了在 IIA 型超弦理论中出现的弦。[42]

　　 1995 年，Edward Witten 在一次弦理论会议上提出了一个令人惊讶的观点，认为所有五种超弦理论实际上只是十一维时空中的一个单一理论的不同极限情形。Witten 的这一声明将之前关于 S 对偶性和 T 对偶性以及弦理论中高维膜的出现的所有研究成果汇集在一起。[43] 在 Witten 宣布之后的几个月里，成百上千篇新的论文出现在互联网上，确认了他提议的不同部分。[44] 今天，这一系列的工作被称为第二次超弦革命。[45]

　　 最初，一些物理学家建议，这一新理论是一个膜的基本理论，但 Witten 对膜在该理论中的角色持怀疑态度。在 1996 年的一篇论文中，Hořava 和 Witten 写道：“虽然有人提出十一维理论是一个超膜理论，但也有一些理由对这种解释表示怀疑，因此我们将其非承诺性地称为 M 理论，将 M 与膜的关系留待未来来解答。”[46] 在尚未理解 M 理论的真正意义和结构的情况下，Witten 建议，M 可以根据个人喜好代表 “魔法”、“神秘” 或 “膜”，而这一名称的真正意义应当在更基础的理论公式化后再做决定。[47]

矩阵理论

　　 在数学中，矩阵是一个由数字或其他数据构成的矩形数组。在物理学中，矩阵模型是一种特殊类型的物理理论，其数学公式中以矩阵的概念为重要组成部分。矩阵模型描述了一组矩阵在量子力学框架中的行为。[48]

　　 矩阵模型的一个重要例子是 1997 年 Tom Banks、Willy Fischler、Stephen Shenker 和 Leonard Susskind 提出的 BFSS 矩阵模型。该理论描述了一组九个大矩阵的行为。在他们的原始论文中，这些作者展示了该矩阵模型的低能极限由十一维超引力描述。这些计算使他们提出，BFSS 矩阵模型与 M 理论完全等价。因此，BFSS 矩阵模型可以作为 M 理论正确公式化的原型，并作为在相对简单的环境中研究 M 理论性质的工具。[48]

　　 矩阵模型公式化 M 理论的发展使物理学家开始考虑弦理论与一种叫做非交换几何的数学分支之间的各种联系。这个学科是普通几何的推广，数学家通过使用非交换代数的工具来定义新的几何概念。[49] 在 1998 年的一篇论文中，Alain Connes、Michael R. Douglas 和 Albert Schwarz 证明了矩阵模型和 M 理论的某些方面可以通过非交换量子场论来描述，非交换量子场论是一种特殊类型的物理理论，其中时空通过使用非交换几何在数学上进行描述。[50] 这建立了矩阵模型和 M 理论与非交换几何之间的联系。此后，这一发现迅速引发了非交换几何与各种物理理论之间其他重要联系的发现。[51][52]

3. 黑洞

　　 在广义相对论中，黑洞被定义为时空中的一个区域，其中引力场强大到任何粒子或辐射都无法逃脱。在当前公认的恒星演化模型中，黑洞被认为是在大质量恒星经历引力坍缩时形成的，并且许多银河系被认为在其中心存在超大质量黑洞。黑洞在理论上也具有重要意义，因为它们对试图理解引力的量子性质的理论学家提出了深刻的挑战。弦理论已被证明是研究黑洞理论性质的重要工具，因为它提供了一个框架，理论学家可以在其中研究黑洞的热力学性质。[53]

贝肯斯坦–霍金公式

　　 在物理学的一个分支——统计力学中，熵是衡量物理系统的随机性或无序度的指标。这个概念在 19 世纪 70 年代由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼研究，他证明了气体的热力学性质可以从其许多组成分子的综合性质中推导出来。玻尔兹曼认为，通过对气体中所有不同分子的行为进行平均，可以理解诸如体积、温度和压力等宏观性质。此外，这一观点使他给出了熵的精确定义，即分子（也称为微观状态）数目的自然对数，这些微观状态会导致相同的宏观特性。[54]

　　 在 20 世纪，物理学家开始将相同的概念应用于黑洞。在大多数系统中，如气体，熵与体积成比例。1970 年代，物理学家雅各布·贝肯斯坦提出，黑洞的熵与其事件视界的表面积成正比，事件视界是物质和辐射可能逃脱其引力吸引的边界。[55] 当与物理学家斯蒂芬·霍金的理论结合时，[56] 贝肯斯坦的研究得出了黑洞熵的精确公式。贝肯斯坦–霍金公式表示熵 $S$ 为： $$S=\frac{c^{3}kA}{4\hslash G}$$ 其中，$c$ 是光速，$k$ 是玻尔兹曼常数，$\hslash$ 是约化普朗克常数，$G$ 是牛顿引力常数，$A$ 是事件视界的表面积。[57]

　　 像任何物理系统一样，黑洞具有熵，熵是通过不同的微观状态的数量来定义的，这些微观状态会导致相同的宏观特征。贝肯斯坦–霍金熵公式给出了黑洞熵的期望值，但到 1990 年代，物理学家仍然缺乏通过在量子引力理论中计数微观状态来推导该公式的方法。找到这种推导公式的方法被认为是任何量子引力理论（如弦理论）可行性的一个重要检验。[58]

弦理论中的推导

　　 在 1996 年的一篇论文中，Andrew Strominger 和 Cumrun Vafa 展示了如何在弦理论中推导贝肯斯坦–霍金公式，针对某些黑洞。[59] 他们的计算基于一个观察，即 D-brane——当它们弱相互作用时，看起来像波动的膜——在相互作用强烈时，会变成具有事件视界的致密、巨大的物体。换句话说，在弦理论中，强相互作用的 D-brane 系统与黑洞是无法区分的。Strominger 和 Vafa 分析了这种 D-brane 系统，并计算了将 D-brane 放置在时空中的不同方式，使得它们的合并质量和电荷与结果黑洞的给定质量和电荷相等。他们的计算准确地重现了贝肯斯坦–霍金公式，包括 1/4 的因子。[60] 随后的 Strominger、Vafa 及其他人的工作精细化了原始计算，并给出了描述非常小黑洞所需的 “量子修正” 的精确值。[61][62]

　　 Strominger 和 Vafa 在他们的原始工作中考虑的黑洞与真实的天体物理黑洞有很大不同。一个区别是，Strominger 和 Vafa 仅考虑了极端黑洞，以便使计算变得可处理。这些黑洞被定义为具有与给定电荷兼容的最低可能质量的黑洞。[63] Strominger 和 Vafa 还将注意力限制在五维时空中的黑洞，并且这些黑洞具有非物理的超对称性。[64]

　　 尽管 Strominger 和 Vafa 的熵计算最初是在弦理论中这一非常特定且物理上不现实的背景下发展起来的，但这一计算为我们提供了一个定性理解，说明了如何在任何量子引力理论中解释黑洞熵。实际上，1998 年，Strominger 认为，原始结果可以推广到任意一致的量子引力理论，而不依赖于弦或超对称性。[65] 2010 年，他与其他几位作者合作，展示了关于黑洞熵的一些结果可以扩展到非极端的天体物理黑洞。[66][67]

4. AdS/CFT 对应

　　 反德西特/共形场论（AdS/CFT）对应提供了一种研究弦理论及其性质的方法。这一理论结果表明，在某些情况下，弦理论等效于一个量子场论。除了揭示弦理论的数学结构外，AdS/CFT 对应还为量子场论的许多方面提供了新的见解，尤其是在传统计算方法失效的领域。[6]

　　 AdS/CFT 对应最初由 Juan Maldacena 于 1997 年底提出。[68] Steven Gubser、Igor Klebanov 和 Alexander Markovich Polyakov 以及 Edward Witten 在随后发表的文章中进一步阐述了该对应的重要方面。[69][70] 截至 2010 年，Maldacena 的论文已被引用超过 7000 次，成为高能物理领域被引用次数最多的论文。[b]

对应概述

　　 在 AdS/CFT 对应中，时空的几何结构由爱因斯坦方程的一种特定真空解描述，这种解被称为反德西特空间（Anti-de Sitter Space, AdS）。[6] 从基本角度来看，反德西特空间是一个时空的数学模型，其中点之间的距离（度量）与普通欧几里得几何中的距离概念不同。它与双曲空间密切相关，后者可以被看作如左图所示的圆盘。[71] 该图显示了一个由三角形和正方形镶嵌的圆盘。可以在这个圆盘上定义一种特殊的距离，使得所有三角形和正方形大小相同，并且圆形外边界与内部的任何点都相距无穷远。[72]

　　 可以想象一叠双曲圆盘，其中每个圆盘代表宇宙在某一时刻的状态。这样形成的几何对象就是三维反德西特空间。[71] 它看起来像一个实心圆柱体，其中任意横截面都是双曲圆盘的副本。在这个图像中，时间沿着垂直方向流动。这个圆柱体的表面在 AdS/CFT 对应中起着重要作用。与双曲平面类似，反德西特空间的曲率特性使得内部的任何点实际上都与边界表面相距无穷远。[72]

　　 这种构造描述了一个仅具有两个空间维度和一个时间维度的假想宇宙，但它可以推广到任意维度。事实上，双曲空间可以具有多于两个的维度，并且可以通过 “堆叠” 多个双曲空间的副本来构建更高维的反德西特空间模型。[71]

　　 反德西特空间的一个重要特性是其边界（在三维反德西特空间的情况下，它看起来像一个圆柱体）。该边界的一个性质是，在边界上围绕任意一点的小区域内，它的结构与闵可夫斯基空间非常相似，而闵可夫斯基空间是非引力物理中使用的时空模型。[73]

　　 因此，可以考虑一个辅助理论，其中 “时空” 由反德西特空间的边界给出。这一观察结果构成了 AdS/CFT 对应的起点，该理论表明，反德西特空间的边界可以被视为一个量子场论的 “时空”。该对应关系的核心主张是，这个量子场论与大块反德西特空间中的某种引力理论（例如弦理论）是等价的，其等价性体现在二者之间存在一个 “字典”，可以将一个理论中的实体和计算转换为另一个理论中的对应物。例如，引力理论中的单个粒子可能对应于边界理论中的某些粒子集合。此外，这两个理论的预测在数量上完全相同，例如，如果在引力理论中两个粒子有 40%的几率发生碰撞，那么在边界理论中，对应的粒子集合也应有 40%的几率发生碰撞。[74]

对量子引力的应用

　　 AdS/CFT 对应的发现是物理学家对弦理论和量子引力理解上的一项重大进展。其重要性体现在以下两个方面：首先，该对应关系提供了一种用量子场论来表述弦理论的方法，而相比之下，量子场论的理论框架已经较为成熟和完善。其次，它为物理学家提供了一个通用框架，在其中可以研究并尝试解决黑洞悖论等问题。[53]

　　 1975 年，斯蒂芬·霍金发表了一项计算结果，表明黑洞并非完全黑暗，而是由于事件视界附近的量子效应会发出微弱的辐射，这一现象被称为霍金辐射。[56]

　　 起初，霍金的研究结果对理论学家提出了挑战，因为它表明黑洞可能会摧毁信息。更准确地说，霍金的计算似乎与量子力学的基本公设之一相冲突，该公设认为物理系统会按照薛定谔方程随时间演化。这个性质通常被称为时间演化的幺正性。霍金的计算结果与量子力学幺正性公设之间的这种明显矛盾，被称为黑洞信息悖论。[75]

　　 AdS/CFT 对应在一定程度上解决了黑洞信息悖论，因为它表明，在某些情境下，黑洞可以以符合量子力学的方式演化。事实上，可以在 AdS/CFT 对应的框架下研究黑洞，任何这样的黑洞都对应于反德西特空间边界上的一组粒子配置。[76]这些边界上的粒子遵循标准的量子力学规则，特别是以幺正方式演化，因此，黑洞也必须以幺正方式演化，从而符合量子力学的基本原则。[77]2005 年，霍金宣布该悖论已经被 AdS/CFT 对应解决，并支持信息守恒的观点。他还提出了一种具体机制，说明黑洞可能如何保留信息。[78]

对核物理的应用

　　 除了在量子引力的理论问题上的应用外，AdS/CFT 对应还被用于研究量子场论中的多种问题。其中一个利用 AdS/CFT 对应研究的物理系统是夸克-胶子等离子体（quark–gluon plasma），这是一种在粒子加速器中产生的特殊物质状态。这种物质状态在重离子碰撞（如金或铅原子核在高能条件下碰撞）时会短暂出现。这类碰撞会使组成原子核的夸克在约两万亿开尔文（Kelvin）的极端温度下解禁闭，这一条件类似于大爆炸后约 ${10}^{-11}$ 秒时的宇宙环境。[79]

　　 夸克-胶子等离子体的物理由量子色动力学（Quantum Chromodynamics, QCD）描述，但在涉及夸克-胶子等离子体的问题上，QCD 在数学上极为复杂，难以直接求解。[c]2005 年，Đàm Thanh Sơn 及其合作者发表的一篇论文表明，AdS/CFT 对应可用于研究夸克-胶子等离子体的某些性质，并将其用弦理论的语言加以描述。[80]通过应用 AdS/CFT 对应，Sơn 及其合作者将夸克-胶子等离子体与五维时空中的黑洞联系起来。他们的计算表明，与夸克-胶子等离子体相关的两个物理量——剪切粘度和熵的体积密度之比应大致等于某个普适常数。2008 年，布鲁克海文国家实验室的相对论重离子对撞机（RHIC）实验确认了夸克-胶子等离子体的这一预测值。[7][81]

5. 对凝聚态物理的应用

　　 AdS/CFT 对应也被用于研究凝聚态物理的一些问题。几十年来，实验凝聚态物理学家发现了许多奇异物态，包括超导体（superconductors）和超流体（superfluids）。这些物态通常使用量子场论的形式主义进行描述，但某些现象很难用标准场论技术来解释。一些凝聚态理论学家（如 Subir Sachdev）希望 AdS/CFT 对应能够将这些系统用弦理论的语言描述，并加深对其行为的理解。[7]

　　 目前，利用弦理论方法成功描述了超流体向绝缘体的相变。超流体是一种由电中性原子组成的系统，可以无摩擦流动。这种系统通常在实验室中利用液态氦制造，但近年来，实验物理学家开发出了一种新方法：将数万亿个冷原子倒入由交叉激光束形成的光学晶格中。在最初阶段，这些原子表现得像超流体，但当实验人员增加激光的强度时，原子的流动性逐渐减弱，并最终突然转变为绝缘体状态。在这一转变过程中，原子表现出一种异常行为。例如，原子减速停止的速率取决于温度和普朗克常数（Planck constant），而普朗克常数是量子力学的基本参数，但在该系统的其他相态描述中并不会出现。这种现象最近得到了更深入的理解，研究者采用了一种对偶描述，即通过高维黑洞的性质来描述超流体。[8]

6. 现象学

　　 除了作为一个具有重要理论兴趣的概念外，弦理论还提供了一个构建现实世界物理模型的框架，该框架结合了广义相对论和粒子物理。现象学（Phenomenology）是理论物理的一个分支，研究者在其中基于更抽象的理论概念构建符合现实的物理模型。弦现象学（String Phenomenology）是弦理论的一部分，旨在基于弦理论构建现实或准现实的物理模型。

　　 然而，由于理论和数学上的困难，以及实验上需要极高能量才能进行检验，迄今为止，尚无实验证据能够明确指向任何一个弦理论模型是正确的基本自然描述。这导致物理学界的一部分人批评这些统一理论的方法，并质疑继续研究这些问题的价值。[12]

粒子物理

　　 当前被广泛接受的描述基本粒子及其相互作用的理论被称为粒子物理标准模型（Standard Model of Particle Physics）。该理论统一描述了三种基本自然力：电磁力、强核力和弱核力。尽管标准模型在解释各种物理现象方面取得了巨大成功，但它仍然不是对现实世界的完整描述。其局限性包括：无法纳入引力，以及诸如层级问题（hierarchy problem）、无法解释费米子质量的结构或暗物质等未解难题。

　　 弦理论被用于构建超越标准模型的各种粒子物理模型。通常，这些模型基于紧致化（compactification）的概念。物理学家从弦理论或 M 理论的十维或十一维时空出发，并假设额外维度的形状。通过适当地选择这些额外维度的几何结构，他们可以构建大致类似于标准模型的物理模型，同时包含一些尚未发现的额外粒子。[82]一种常见的从弦理论推导现实物理的方法是从十维的异托弦理论（heterotic theory）出发，并假设时空的六个额外维度的形状类似于六维 Calabi–Yau 流形。这种紧致化方法提供了许多从弦理论中提取现实物理的途径。此外，还可以使用其他类似的方法，基于 $M$ 理论构建符合现实或准现实的四维世界模型。[83]

宇宙学

　　 大爆炸理论（Big Bang Theory）是目前主流的宇宙学模型，用于描述宇宙从已知的最早时期到后续大尺度演化的过程。尽管该理论成功解释了许多观测到的宇宙特征，例如星系的红移、氢和氦等轻元素的相对丰度，以及宇宙微波背景辐射（CMB）的存在，但仍有几个未解之谜。例如，标准大爆炸模型无法解释：为什么宇宙在各个方向上看起来如此均匀（各向同性问题）；为什么在极大尺度上宇宙似乎是平坦的（平坦性问题）；为什么某些理论预测的粒子（如磁单极子）在实验中从未被观测到。[84]

　　 目前，超越大爆炸理论的主要候选理论是宇宙暴胀理论（cosmic inflation）。该理论由 Alan Guth 等人在 1980 年代提出，假设在标准大爆炸理论所描述的膨胀阶段之前，宇宙经历了一段极端迅速的加速膨胀时期。宇宙暴胀理论在保留大爆炸理论成功解释的现象的同时，为宇宙中的一些神秘特征提供了自然的解释。[85] 此外，该理论还得到了宇宙微波背景辐射（CMB）的观测支持，CMB 是自大爆炸约 38 万年后便充满整个宇宙的辐射信号。[86]

　　 在暴胀理论（inflation theory）中，宇宙最初的快速膨胀是由一种假设的粒子引起的，这种粒子被称为暴胀子（inflaton）。该理论并未固定暴胀子的确切性质，而是认为这些性质最终应从更基础的理论（如弦理论）推导出来。[87]实际上，已经有许多研究尝试在弦理论所描述的粒子谱中寻找暴胀子，并利用弦理论研究宇宙暴胀现象。尽管这些方法可能最终在观测数据中（如宇宙微波背景辐射（CMB）测量）找到支持，但目前弦理论在宇宙学中的应用仍处于早期阶段。[88]

7. 与数学的联系

　　 除了对理论物理研究产生影响外，弦理论还推动了纯数学领域的一系列重大进展。与许多正在发展的理论物理概念一样，弦理论目前尚未建立一个完全严格的数学公式化框架，即尚无法精确定义其所有概念。因此，研究弦理论的物理学家通常依靠物理直觉，猜测在不同数学结构之间可能存在的关系，尽管这些结构表面上看似完全不同，但它们用于描述弦理论的不同部分。随后，这些猜测被数学家证明，从而使弦理论成为纯数学中新思想的重要来源。[89]

镜像对称

　　 当 Calabi–Yau 流形被引入物理学，作为弦理论中紧致化额外维度的一种方式后，许多物理学家开始研究这些流形。在 20 世纪 80 年代末，一些物理学家注意到，对于弦理论的一种特定紧致化方式，无法唯一地重构出对应的 Calabi–Yau 流形。[90] 相反，两种不同的弦理论版本——IIA 型弦理论和 IIB 型弦理论，可以分别紧致化在完全不同的 Calabi–Yau 流形上，却导致相同的物理现象。在这种情况下，这些 Calabi–Yau 流形被称为 “镜像流形”（mirror manifolds），而两种物理理论之间的关系被称为镜像对称（mirror symmetry）。[28]

　　 无论弦理论的 Calabi–Yau 紧致化是否能够正确描述自然，不同弦理论之间镜像对偶性的存在都具有重要的数学意义。在弦理论中使用的 Calabi–Yau 流形也是纯数学中的研究对象，而镜像对称使数学家能够解决枚举几何（enumerative geometry）中的问题。枚举几何是数学的一个分支，主要研究几何问题的解的数量。[28][91]

　　 枚举几何研究一类被称为代数簇（algebraic varieties）的几何对象，这些对象由多项式的零点集定义。例如，右侧所示的 Clebsch 三次曲面是一个代数簇，它由四个变量的某个三次多项式定义。十九世纪数学家 Arthur Cayley 和 George Salmon 取得的一个著名结果表明，在这样的曲面上恰好存在 27 条完全位于其上的直线。[92]

　　 推广这一问题，我们可以进一步探究：在五次 Calabi–Yau 流形（如上方所示的流形，由一个五次多项式定义）上，可以画出多少条直线？这一问题由十九世纪德国数学家 Hermann Schubert 解决，他发现恰好存在 2,875 条这样的直线。1986 年，几何学家 Sheldon Katz 证明，在该五次 Calabi–Yau 流形上，完全位于其中并由二次多项式定义的曲线（例如圆）共有 609,250 条。[93]

　　 到 1991 年，枚举几何（enumerative geometry）的大多数经典问题已经被解决，对这一领域的研究兴趣开始减弱。[94]然而，在 1991 年 5 月，物理学家 Philip Candelas、Xenia de la Ossa、Paul Green 和 Linda Parkes 证明了镜像对称（mirror symmetry）可以用来将一个 Calabi–Yau 流形上的复杂数学问题转化为其镜像流形上的更简单问题，从而重新激发了枚举几何的研究。[95]特别是，他们利用镜像对称 计算出一个六维 Calabi–Yau 流形中恰好包含 317,206,375 条三次曲线。[94]除了计算三次曲线的数量外，Candelas 及其合作者还得出了更多更一般的关于有理曲线计数的结果，这些结果远超数学家此前的研究进展。[96]

怪异月光

　　 群论（Group Theory）是数学的一个分支，专门研究对称性（symmetry）的概念。例如，可以考虑一个几何图形，如正三角形。有多种操作可以作用于这个三角形，而不改变其形状。例如，可以将其旋转 120°、240° 或 360°，或者可以沿着图中标记为 $S_0$、$S_1$ 或 $S_2$ 的轴进行反射。每种这样的操作都称为对称变换，而这些对称变换的集合满足某些特定的数学性质，使其成为数学家所称的群（group）。在这个特定的例子中，该群被称为阶为 6 的二面体群（dihedral group of order 6），因为它包含六个元素。一个一般的群可以描述有限个或无限多个对称操作；如果只包含有限个对称操作，则称为有限群（finite group）。[104]

　　 数学家通常致力于对特定类型的数学对象进行分类（或列举）。然而，通常认为有限群（finite groups）过于多样化，以至于无法得到一个实用的分类方案。一个更温和但仍然极具挑战性的问题是对所有有限单群（finite simple groups）进行分类。有限单群是一种不可再分解的有限群，它们在构造任意有限群时起着类似于素数在构造任意整数中的作用，即通过取乘积来构造更复杂的对象。[e]当代群论的一项重大成就是有限单群的分类（Classification of Finite Simple Groups），这是一个数学定理，它提供了所有可能的有限单群的完整列表。[104]

　　 该分类定理（classification theorem）确定了若干无限族的群（infinite families of groups），以及 26 个不属于任何族的额外群。这些额外的群被称为 “散在群”（sporadic groups），每个群的存在都源于一种非凡的数学结构组合。其中最大的散在群，即 “怪兽群”（monster group），包含超过 ${10}^{53}$ 个元素，其数量比地球上的原子总数多一千倍。[105]

　　 一个看似毫不相关的数学构造是数论中的 $j$-函数（j-function）。该对象属于一类特殊的函数，称为模函数（modular functions），其图像形成某种重复的模式。[106]尽管 $j$-函数出现在一个看似与有限群理论完全不同的数学分支中，但这两个领域实际上存在深刻的联系。在 20 世纪 70 年代末，数学家 John McKay 和 John Thompson 发现，在分析怪兽群（monster group）时出现的一些特定数值（即其不可约表示的维度）与 $j$-函数的某个公式中的数值（即其傅里叶级数的系数）之间存在惊人的对应关系。[107]这一发现后来由 John Horton Conway 和 Simon Norton 进一步发展，[108] 他们将这种神秘的联系称为 “怪异月光”（monstrous moonshine），因为它看起来过于离奇，不可思议。[109]

　　 1992 年，Richard Borcherds 构建了模函数理论与有限群之间的桥梁，并在此过程中解释了 McKay 和 Thompson 的观察结果。[110][111]Borcherds 的研究本质上使用了弦理论的思想，并扩展了 Igor Frenkel、James Lepowsky 和 Arne Meurman 的早期成果，他们将怪兽群（monster group）视为某个版本的弦理论的对称性。[112]1998 年，Borcherds 因其研究成果获得了菲尔兹奖（Fields Medal）。[113]

　　 自 1990 年代以来，弦理论与月光现象（moonshine）之间的联系已导致数学和物理学的进一步成果。[105]2010 年，物理学家 Eguchi Tohru、Ooguri Hirosi 和 Tachikawa Yuji 发现了另一个散在群——Mathieu 群 $M_{24}$ 与某个版本的弦理论之间的联系。[114]Miranda Cheng、John Duncan 和 Jeffrey A. Harvey 提出了这种月光现象的一个推广，称为 “伞形月光”（umbral moonshine），[115] 并且他们的猜想已被 Duncan、Michael Griffin 和 Ken Ono 数学上证明。[116]Witten 还推测，出现在怪异月光（monstrous moonshine）中的弦理论版本可能与某种简化的三维时空引力模型有关。[117]

8. 历史

早期成果

　　 弦理论重新引入的一些数学结构实际上早在更早时期就已出现，作为阿尔伯特·爱因斯坦发起的经典统一理论计划的一部分。最早在引力理论中添加第五维度的人是 Gunnar Nordström，他在 1914 年提出，五维引力理论可以同时描述四维时空中的引力和电磁相互作用。Nordström 试图将电磁力与他的引力理论统一起来，然而，该理论在 1919 年被爱因斯坦的广义相对论取代。随后，德国数学家 Theodor Kaluza 将第五维度与广义相对论结合起来，因此通常 Kaluza 被认为是该思想的主要提出者。1926 年，瑞典物理学家 Oskar Klein 提出了一种对不可观测的额外维度的物理解释——它被紧致化为一个小圆圈。此外，爱因斯坦曾引入非对称度量张量（non-symmetric metric tensor），而在更晚的研究中，Brans 和 Dicke 在引力理论中增加了一个标量分量。这些思想在后来弦理论的发展中被重新提出，并且由一致性条件所要求，成为该理论的核心部分。

　　 在处理实验数据时，R. Dolen、D. Horn 和 C. Schmid 发展了一些用于强子交换的求和规则。当粒子与反粒子散射时，虚粒子可以以两种本质上不同的方式进行交换：在 s-道（s-channel）中，两个粒子湮灭，形成临时的中间态，然后这些中间态再次衰变，生成最终态粒子。在 t-道（t-channel）中，粒子通过发射和吸收的方式交换中间态。在场论（field theory）中，这两种贡献相加：一种贡献形成连续的背景信号，另一种贡献在特定能量处形成共振峰（peaks）。然而，在实验数据中，可以明显观察到共振峰似乎在 “窃取” 背景的贡献。作者们据此推测，t-道贡献与 s-道贡献是对偶的（dual），即二者都完整地描述了散射振幅，并包含对方的贡献。

　　 这一结果被默里·盖尔曼广泛宣传，从而促使加布里埃莱·委内齐亚诺 构造出一种散射振幅，该振幅满足 Dolen–Horn–Schmid 对偶性，后来被称为世界面对偶性（world-sheet duality）。这种散射振幅需要在粒子出现的位置具有极点，并且这些极点应沿着直线轨迹分布。数学上，存在一种特殊函数——伽马函数，其极点均匀分布在实数轴的正半轴，这在Regge 理论中被广泛应用。通过调整和组合伽马函数，Veneziano 找到了一个自洽的散射振幅，它具有以下特点：极点沿直线分布，主要具有正的留数（residues），满足对偶性（duality），在高能极限下符合 Regge 标度行为（Regge scaling）。这种振幅不仅能够很好地拟合近束散射数据，还可以适用于其他Regge 类型的拟合。此外，它还具有一种富有启发性的积分表示形式，可以用于进一步推广。

　　 在接下来的几年里，数百名物理学家致力于完善该模型的自洽原理，并在此过程中遇到了许多意想不到的发现。文尼齐亚诺本人发现，为了使散射振幅描述理论中出现的粒子的散射——这是一种显然的自洽性条件，最轻的粒子必须是一个超光速粒子。米格尔·维拉索罗和乔尔·夏皮罗找到了一个不同的振幅，现在被理解为闭弦的振幅，而小林三郎和霍尔格·尼尔森则将文尼齐亚诺的积分表示推广到了多粒子散射。文尼齐亚诺和塞尔吉奥·富比尼引入了一种计算散射振幅的算符形式，这成为了世界面共形理论的先驱，而维拉索罗则提出了一种对态的约束条件，从而消除了错误符号残差的极点。克劳德·洛夫莱斯计算了一个环图振幅，并指出，除非该理论的维数为 26，否则存在不一致性。查尔斯·索恩、彼得·戈达德和理查德·布劳尔随后证明，在维数小于或等于 26 的情况下，不会出现错误符号的传播态。

　　 在 1969 至 1970 年，南部阳一郎、霍尔格·贝克·尼尔森（Holger Bech Nielsen）和伦纳德·萨斯坎德认识到，该理论可以用弦在时空中的描述来表述。彼得·戈达德、杰弗里·戈尔茨通、克劳迪奥·雷比和查尔斯·索恩通过作用原理系统地推导出散射振幅，从而为文尼齐亚诺和富比尼引入的顶点算符提供了时空图像，并为维拉索罗条件赋予了几何解释。

　　 1971 年，皮埃尔·拉蒙德在该模型中加入了费米子，这使他提出了一种二维超对称性，以消除错误符号的状态。不久之后，约翰·施瓦茨和安德烈·内弗在费米理论中增加了另一个扇区。在费米子理论中，临界维数为 10。斯坦利·曼德尔斯塔姆为玻色子和费米子的情况建立了世界面共形理论，提供了一种二维场论的路径积分方法，以生成算符形式化。加来道雄和吉川惠司提出了玻色弦的一种不同表述，即弦场论，该理论包含无限多种粒子类型，其场不取值于点，而是取值于环和曲线。

　　 1974 年，米谷忠晃发现，所有已知的弦理论都包含一个无质量自旋为二的粒子，该粒子遵循正确的沃德恒等式，从而可以被解释为引力子。约翰·施瓦茨和若埃尔·舍克得出了相同的结论，并大胆提出弦理论实际上是一个引力理论，而非强子的理论。他们重新引入了卡鲁扎–克莱因理论，以解释额外维度的意义。同时，量子色动力学（QCD）被确立为强子的正确理论，物理学家的研究重心随之转移，而自洽原理乎被抛入了历史的尘埃。

　　 弦理论最终摆脱了被遗弃的命运，但在接下来的十年里，所有关于该理论的研究都完全被忽视。然而，得益于少数忠实研究者的努力，弦理论仍然在稳步发展。1977 年，费迪南多·格里奥齐、若埃尔·舍克和大卫·奥利夫发现，最初的拉蒙德弦和内弗-施瓦茨弦各自都是不自洽的，必须将它们结合起来。所得出的理论不含超光速粒子，并在 1984 年由约翰·施瓦茨和迈克尔·格林证明具有时空超对称性。同年，亚历山大·波利亚科夫为弦理论提供了现代路径积分表述，并进一步深入发展了共形场论。1979 年，丹尼尔·弗里丹证明，弦理论的运动方程——即广义相对论爱因斯坦方程的推广形式——可以从二维场论的重整化群方程中导出。施瓦茨和格林发现了T-对偶性，并构建了两种相互联系的超弦理论——通过 T-对偶性相关的 IIA 型和 IIB 型超弦理论，以及包含开弦的 I 型弦理论。该理论的自洽性条件极其严格，以至于整个理论几乎被唯一确定，仅存在少数离散选择。

第一次超弦革命

　　 在 1980 年代初，爱德华·维滕发现，大多数量子引力理论无法容纳像中微子这样的手性费米子。这使他与路易斯·阿尔瓦雷斯-高梅合作，研究了带有异常的引力理论中守恒定律的违反，最终得出结论：I 型弦理论是不自洽的。格林和施瓦茨发现了维滕和阿尔瓦雷斯-高梅遗漏的异常贡献，这一贡献限制了 I 型弦理论的规范群为 SO(32)。在理解这一计算的过程中，爱德华·维滕深信弦理论确实是一个一致的引力理论，并成为了其高调的支持者。受到维滕的启发，在 1984 年至 1986 年间，数百名物理学家开始从事这一领域的研究，这一时期有时被称为第一次超弦革命。

　　 在此期间，戴维·格罗斯、杰弗里·哈维、埃米尔·马尔廷内茨和瑞安·罗姆发现了异种弦。这些闭弦的规范群是 E8 的两个副本，而任一副本都可以轻松且自然地包含标准模型。菲利普·坎德拉斯）、加里·霍洛威茨、安德鲁·斯特罗明格和爱德华·维滕发现，卡拉比-丘流形是能够保持合理量超对称性的紧致化方式，而兰斯·迪克森等人研究了弦理论中允许的独特几何奇点——轨道面的物理性质。库姆伦·瓦法将T-对偶性从圆形推广到任意流形，创造了镜像对称的数学领域。丹尼尔·弗里丹、埃米尔·马尔廷内茨和斯蒂芬·申克进一步发展了使用共形场论技术的超弦协变量子化方法。戴维·格罗斯和维普尔·佩里瓦尔发现弦的微扰理论是发散的。斯蒂芬·申克指出，它的发散速度比场论中的发散速度快得多，这表明缺少了新的非微扰对象。

　　 在 1990 年代，约瑟夫·波尔钦斯基现，弦理论需要更高维的物体，称为 D-膜，并将其与超引力的黑洞解相联系。这些被理解为微扰发散所暗示的新物体，并开辟了一个具有丰富数学结构的新领域。很快就变得清楚，D-膜和其他 p-膜，而不仅仅是弦，构成了弦理论的物质内容，弦和膜的物理解释也随之揭示——它们是一种黑洞。伦纳德·萨斯坎德将杰拉尔德·'t 霍夫的全息原理融入了弦理论，将高度激发的长弦态与普通热黑洞态相联系。正如't 霍夫所建议的那样，黑洞视界的涨落，即世界面或世界体积理论，描述的不仅仅是黑洞的自由度，还包括所有附近的物体。

第二次超弦革命

　　 1995 年，在南加州大学（USC）举行的弦理论年会上，爱德华·维滕发表了一次关于弦理论的演讲，本质上统一了当时存在的五种弦理论，并诞生了一种新的 11 维理论，称为 M 理论。M 理论的雏形大约在同一时间由保罗·汤森德提出。这一时期开始的活动浪潮有时被称为第二次超弦革命。

　　 在此期间，汤姆·班克斯、威利·费施勒、斯蒂芬·申克和伦纳德·萨斯坎德提出了矩阵理论，使用 IIA 型 D0 膜对 M 理论进行了完整的全息描述。这是弦理论的首次完全非微扰定义，并且是全息原理的具体数学实现。它是规范-引力对偶性的一个例子，现在被理解为 AdS/CFT 对应关系的特例。安德鲁·斯特罗明格和库姆伦·瓦法计算了某些 D 膜配置的熵，并发现与极端带电黑洞的半经典解一致。佩特·霍尔瓦和维滕发现了异种弦理论的十一维表述，表明轨道面解决了手性问题。维滕指出，D-膜在低能量下的有效物理描述是通过超对称规范理论进行的，并找到了他与内森·塞伯格早期发现的在规范理论中数学结构的几何解释，这些结构与膜的位置有关。

　　 1997 年，胡安·马尔达塞纳指出，黑洞附近的理论低能激发由接近视界的物体组成，对于极端带电黑洞，这些物体看起来像反脱-Sitter 空间。他注意到，在这个极限下，规范理论描述了接近膜的弦激发。因此，他假设在近视界极端带电黑洞几何下的弦理论——即带有通量的反脱-Sitter 空间乘以球面——同样可以通过低能极限的规范理论，即 $N=4$ 超对称杨–米尔斯理论来描述。这个假设被称为 AdS/CFT 对应关系，后来由史蒂文·古布瑟、伊戈尔·克莱班诺夫和亚历山大·波利亚科夫进一步发展，并由爱德华·维滕进行了拓展，现在已被广泛接受。这是全息原理的一个具体实现，具有深远的物理学意义，涉及黑洞、本地性、信息以及引力相互作用的本质。通过这一关系，弦理论已被证明与量子色动力学等规范理论相关，并促使我们对强子行为有了更定量的理解，使弦理论重新回到了其根源。

9. 批评

解的数量

　　 为了基于弦理论构建粒子物理模型，物理学家通常从为时空的额外维度指定一个形状开始。每种不同的形状对应着一个不同的可能宇宙或 “真空态”，并具有不同的粒子和力的集合。根据目前对弦理论的理解，它具有大量的真空态，通常估计大约有 ${10}^{500}$ 个，这些真空态可能足够多样化，以适应几乎任何可能在低能量下观察到的现象。[118]

　　 许多弦理论的批评者对弦理论所描述的大量可能宇宙表示担忧。在他的书《Not Even Wrong》中，哥伦比亚大学数学系讲师彼得·沃伊特认为，不同的物理情景数量如此之多，使得弦理论作为构建粒子物理模型的框架变得空洞。沃伊特指出：

　　 例如，超弦理论可能存在 ${10}^{500}$ 种一致的不同真空态，这很可能摧毁了利用该理论预测任何东西的希望。如果从这个庞大的集合中挑选出那些属性与现有实验观察一致的状态，那么很可能仍然会有如此多的状态，以至于你可以得到几乎任何你想要的结果，无论是对任何新观察的结果。[119]

　　 一些物理学家认为，这么多解实际上是一种优点，因为它可能为观察到的物理常数值，特别是宇宙学常数的小值，提供了一种自然的人择解释。[119]人择原理是指物理定律中出现的一些数字并不是由任何基本原理固定的，而必须与智能生命的演化兼容。1987 年，斯蒂文·温伯格发表了一篇文章，他在文中提出宇宙学常数不可能太大，否则星系和智能生命将无法发展。[120]温伯格建议，可能存在大量一致的宇宙，每个宇宙的宇宙学常数值不同，观察结果仅表明宇宙学常数较小，因为人类恰好生活在一个允许智能生命存在的宇宙中，从而使得观察者得以存在。[121]

　　 弦理论家伦纳德·萨斯坎德认为，弦理论为宇宙学常数的小值提供了一个自然的人择解释。[122]根据萨斯坎德的观点，弦理论的不同真空态可能在更大的多重宇宙中实现为不同的宇宙。观察到的宇宙具有小的宇宙学常数，这只是一个自明的结果，因为生命存在需要小的宇宙学常数值。许多著名的理论家和批评家不同意萨斯坎德的结论。[123]沃伊特（Woit）认为，“在这种情况下（人择推理）不过是对失败的一种借口。[124]科学的投机性想法不仅在做出错误预测时会失败，而且当它们变得空洞、无法预测任何东西时，也会失败。[125]”

与暗能量的兼容性

　　 弦理论是否与一个亚稳定的、正的宇宙学常数兼容仍然未知。确实存在一些假定的此类解，例如 2003 年 Kachru 等人描述的模型。2018 年，四位物理学家提出了一种有争议的猜想，这将意味着不存在这样的宇宙。[126]这与一些流行的暗能量模型（如Λ-CDM）相悖，后者要求正的真空能量。然而，弦理论很可能与某些类型的本质物质兼容，其中暗能量是由具有奇异性质的新场所引起的。[127]

背景独立性

　　 爱因斯坦的广义相对论的一个基本性质是背景独立性，这意味着理论的表述并不以任何方式偏袒特定的时空几何结构。[128]

　　 弦理论从一开始就面临的主要批评之一是它并非显式地具有背景独立性。在弦理论中，通常需要为时空指定一个固定的参考几何，而所有其他可能的几何都被描述为这个固定几何的扰动。在他的书《物理学的困境》中，位于理论物理学前沿研究所的物理学家李·斯莫林（Lee Smolin）认为这是弦理论作为量子引力理论的主要弱点，并指出弦理论未能将广义相对论中的这一重要见解纳入其中。[129]

　　 其他人不同意斯莫林（Smolin）对弦理论的描述。在评论斯莫林的书时，弦理论家约瑟夫·波尔钦斯基写道：

　　 [斯莫林]把所使用的数学语言的一个方面误认为是所描述的物理内容。新的物理理论通常是通过一种不完全适合它们的数学语言发现的……在弦理论中，即使所使用的语言不是背景独立的，物理学本身一直是背景独立的，寻找更合适的语言的工作仍在继续。事实上，正如斯莫林迟迟注意到的那样，[AdS/CFT]提供了这个问题的一个解决方案，它既出乎意料又非常有力。[130]

　　 波尔钦斯基指出，量子引力中的一个重要未解问题是发展不需要引力场是渐近反脱-Sitter 的全息描述。斯莫林回应说，按照目前的理解，AdS/CFT 对应关系可能不足以解决关于背景独立性的所有问题。[131]

科学社会学

　　 自 1980 年代和 1990 年代的超弦革命以来，弦理论一直是高能理论物理学的主导范式之一。[132]一些弦理论家表示，当前并没有同样成功的替代理论来解决基础物理学的深刻问题。在 1987 年的一次采访中，诺贝尔奖得主戴维·格罗斯（David Gross）就弦理论流行的原因发表了以下有争议的评论：

　　 最重要的[原因]是没有其他好的想法。这就是大多数人投身于它的原因。当人们开始对弦理论感兴趣时，他们对它一无所知。事实上，大多数人的初始反应是，这个理论极其丑陋和不愉快，至少在几年前，当弦理论的理解还远不如现在时，就是这种情况。人们很难了解它，也很难对它产生兴趣。所以我认为人们吸引它的真正原因是，因为没有其他的选择。所有其他构建大统一理论的方法，起初都比较保守，后来逐渐变得越来越激进，已经失败了，而这个方法还没有失败。[133]

　　 其他几位知名的理论家和评论员也表达了类似的观点，认为弦理论没有可行的替代方案。[134]

　　 许多弦理论的批评者对这种局面进行了评论。在批评弦理论的书中，彼得·沃伊特（Peter Woit）认为弦理论研究的现状是不健康的，并且对基础物理学的未来有害。他认为，弦理论在理论物理学家中极度流行，部分是学术界财政结构和对稀缺资源的激烈竞争的结果。[135]在他的书《通往现实之路》中，数学物理学家罗杰·彭罗斯表达了类似的观点，指出 “这种通讯的便利性所产生的常常是疯狂的竞争性，导致了跟风效应，研究人员害怕如果不加入其中就会被甩在后面。[136]” 彭罗斯还声称，现代物理学的技术难度迫使年轻科学家依赖已建立的研究者的偏好，而不是开辟自己的新道路。[137]李·斯莫林在他的批评中表达了略微不同的观点，认为弦理论源于一种不鼓励对物理学基础进行推测的粒子物理学传统，而他偏好的方法——环量子引力鼓励更激进的思考。斯莫林指出：

　　 弦理论是一个强大且动机明确的想法，值得为其投入如此多的工作。如果它到目前为止未能成功，主要原因是其固有缺陷与其优点紧密相关——当然，这个故事还没有完结，因为弦理论可能最终会成为真理的一部分。真正的问题不是为什么我们在弦理论上花费了如此多的精力，而是为什么我们没有在替代方法上投入足够的精力。[138]

　　 斯莫林继续提出了一些建议，说明科学家们如何能鼓励量子引力研究中更广泛的研究方法多样性。[139]

10. 注释

　　
a.例如，在 AdS/CFT 对应关系的背景下，理论物理学家经常在不物理的时空维数中制定和研究引力理论。
b.“2010 年在 hep-th 中的引用最多的文章”。检索于 2013 年 7 月 25 日。
c.更准确地说，不能应用微扰量子场论的方法。
d.镜像对称的两个独立数学证明由吉文塔尔（Givental）[97][98]和连等人（Lian et al.）[99][100][101]给出。
e.更准确地说，一个非平凡的群如果它唯一的正规子群是平凡群和它自身，则被称为简单群。乔丹–霍尔德定理将有限简单群展示为所有有限群的构建块。

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参考书目

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• Gannon, Terry（2023）。《超越怪物的月光：连接代数、模形式与物理的桥梁》。剑桥大学出版社。Bibcode:2023mbmb.book.....G。
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• Zwiebach, Barton（2009）。《弦理论入门》。剑桥大学出版社。ISBN 978-0-521-88032-9。

12. 延伸阅读

科普读物

• Greene, Brian（2003）。《优雅的宇宙：超弦、隐藏维度与终极理论的探索》。纽约：W.W. Norton & Company。ISBN 978-0-393-05858-1。
• Greene, Brian（2004）。《宇宙的结构：空间、时间与现实的本质》。纽约：Alfred A. Knopf。Bibcode:2004fcst.book.....G。ISBN 978-0-375-41288-2。
• Gubser, Steven Scott（2010）。《弦理论小书》。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社。ISBN 978-0-691-14289-0。
• Penrose, Roger（2005）。《通往现实之路：宇宙法则的完整指南》。Knopf。ISBN 978-0-679-45443-4。
• Smolin, Lee（2006）。《物理的困惑：弦理论的崛起、科学的衰落，以及接下来会发生什么》。纽约：霍顿·米夫林公司。ISBN 978-0-618-55105-7。
• Woit, Peter（2006）。《错得离谱：弦理论的失败与物理法则统一的探索》。伦敦：Jonathan Cape & 纽约：Basic Books。ISBN 978-0-465-09275-8。

教科书

• Becker, K.；Becker, M.；Schwarz, J. H.（2006）。《弦理论与 M 理论：现代导论》。剑桥大学出版社。ISBN 978-0521860697。
• Blumenhagen, R.；Lüst, D.；Theisen, S.（2012）。《弦理论的基本概念》。Springer。ISBN 978-3642294969。
• Green, Michael；Schwarz, John；Witten, Edward（2012）。《超弦理论》第 1 卷：《导论》。剑桥大学出版社。ISBN 978-1107029118。
• Green, Michael；Schwarz, John；Witten, Edward（2012）。《超弦理论》第 2 卷：《圈振幅、反常与现象学》。剑桥大学出版社。ISBN 978-1107029132。
• Ibáñez, L.E.；Uranga, A.M.（2012）。《弦理论与粒子物理：弦现象学导论》。剑桥大学出版社。ISBN 978-0521517522。
• Kiritsis, E.（2019）。《弦理论概论》。普林斯顿大学出版社。ISBN 978-0691155791。
• Ortín, T.（2015）。《引力与弦》。剑桥大学出版社。ISBN 978-0521768139。
• Polchinski, Joseph（1998）。《弦理论》第 1 卷：《玻色弦导论》。剑桥大学出版社。ISBN 978-0-521-63303-1。
• Polchinski, Joseph（1998）。《弦理论》第 2 卷：《超弦理论及其扩展》。剑桥大学出版社。ISBN 978-0-521-63304-8。
• West, P.（2012）。《弦与膜导论》。剑桥大学出版社。ISBN 978-0521817479。
• Zwiebach, Barton（2009）。《弦理论入门》。剑桥大学出版社。ISBN 978-0-521-88032-9。

13. 外部链接

• BBC Horizon: 平行宇宙（2002 年）——BBC Horizon 纪录片《平行宇宙》专题，聚焦 M 理论的历史、发展及相关科学家。
• PBS Nova: 优雅的宇宙（2003 年）——由 Nova 制作的三小时迷你剧，改编自 Brian Greene 的《优雅的宇宙》，荣获艾美奖。原始 PBS 播出时间：2003 年 10 月 28 日（晚 8–10 点）和 11 月 4 日（晚 8–9 点）。