弦的作用量原理

贡献者： int256

　　对 $D$ 维平坦时空的度规取 $\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-, +, +, \dots, +)$。

1. 点粒子的作用量

　　对于一个 $0$ 维对象（粒子），可以用一个 $(D-1)$ 维的对象（函数）以及一个参数时间来刻画运动：$\vec X(X^0)$。协变地，进行参数化，引入参数 $\tau$ 而写为 $X^\mu(\tau)$。物理真实对于参数 $\tau$ 的选取应该是不依赖的，即

\begin{equation} X^\mu(\tau) = X'~^\mu(\tau') ~. \end{equation}

　　遵循庞加莱群的庞加莱对称性，作用量也要不依赖于参数选取，最简单的是选取作用量是粒子世界线的长度¹，即

\begin{equation} S_{point ~particle} = S_{pp} = -m \int \,\mathrm{d}{\tau} \sqrt{- \dot X^\mu \dot X_\mu} ~, \end{equation}

其中 $-m$ 是为了保证作用量量纲正确。

　　然后，定义协变速度（已归一化）$u^\mu = \dot X^\mu \sqrt{-\dot X^\nu \dot X_\nu}$。而对作用量变分的结果是

\begin{equation} \delta S_{pp} = -m \int \,\mathrm{d}{\tau} \dot u_{\mu} \delta X^\mu ~. \end{equation}

　　现在，引入一个世界线上的度规 $\gamma_{\tau \tau}(\tau)$²，则会有标架 $\eta(\tau) = \sqrt{- \gamma_{\tau \tau}(\tau)}$。而作用量变为

\begin{equation} S_{pp}' = \frac{1}{2} \int (\eta^{-1} \dot X^\mu \dot X_\mu - \eta m^2) \,\mathrm{d}{\tau} ~. \end{equation}

　　此时作用量仍然有：世界线重参数化不变性，和庞加莱对称性。$\eta$ 换系符合 $\eta'(\tau') \,\mathrm{d}{\tau} ' = \eta(\tau) \,\mathrm{d}{\tau} $。而此时运动方程通过变分作用量³变为 $\eta^2 = -\dot X^\mu \dot X_\mu / m^2$。

　　虽然 $S_{pp}$ 与 $S_{pp}'$ 等级啊，但应用上，$S_{pp}'$ 是导数的二次型，更好操作，故路径积分理论中一般使用 $S_{pp}'$。

2. 弦的 Nambu-Goto 作用量

　　下面考虑一个 $1$ 维的对象的运动，将扫出一个面，这就是世界面（world-sheet）。用 $\sigma$ 参数衡量运动的对象的内部坐标，例如 $\sigma \in [0, l]$；而仍用 $\tau$ 作为世界面的参数。

　　 2-dim world-sheet 用 $X^\mu(\tau, \sigma)$ 记录。考虑一个 induced metric⁴：$h_{ab}$，$ab$ 在 $(\tau, \sigma)$ 取遍：$h_{ab} = \partial_a X^\mu \partial_b X_\mu$。这样就会给出 Nambu-Goto 作用量。⁵

定理 1　

\begin{equation} \begin{aligned} S_{NG} &= \int \,\mathrm{d}{\tau} \,\mathrm{d}{\sigma} \mathcal L_{NG} \\ \mathcal L_{NG} &= -\frac{1}{2 \pi \alpha'} \sqrt{-\det h_{ab}} ~. \end{aligned} \end{equation}

　　其中，$\alpha '$ 是 Regge 斜率，给出弦的张力 $T = \frac{1}{2\pi \alpha'}$。事实上，一般取 $\sigma^a = (\sigma^0, \sigma^a) = (\tau, \sigma)$，则写出

引理 1　

\begin{equation} h_{\alpha \beta} = \left(\begin{matrix} \dot X^2 & \dot X \cdot X' \\ \dot X \cdot X' & X'~^2 \end{matrix}\right) ~, ~ \det(h_{\alpha \beta}) = (\dot X)^2 (X')^2 - (\dot X \cdot X')^2 ~, \end{equation}

其中，$\dot X = \partial_\tau X$，$X' = \partial_\sigma X$。

定理 2　

　　弦的 Nambu-Goto 作用量有以下两个对称性：

庞加莱对称性：$X'~^\mu(\tau, \sigma) = \Lambda_\nu^\mu X^\mu(\tau, \sigma) + a^\mu$。
微分同胚的参考系变换，称为 diff invariance，$X'~^\mu(\tau', \sigma') = X^\mu(\tau, \sigma)$。

3. 弦的 Polyakov 作用量

定理 3　

　　现在取一个有 Lorentz 符号的度规 $\gamma_{ab}(\tau, \sigma) = \text{diag}(-, +)$ 于 world-sheet 上，作用量成为 Polyakov 作用量：

\begin{equation} S_P [X, \gamma] = -\frac{1}{4 \pi \alpha'} \int \,\mathrm{d}{\tau} \,\mathrm{d}{\sigma} \sqrt{-\gamma} \gamma^{ab} h_{ab}, ~ \gamma = \det \gamma_{ab} ~. \end{equation}

　　这与 Einstein-Hilbert 作用量是十分相似的：

\begin{equation} S_{EH}[g_{\alpha \beta}] = \int \,\mathrm{d}{} ^4 x \sqrt{-g} R = \int \,\mathrm{d}{} ^4 x \sqrt{-g} g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} ~, \end{equation}

替换 $\gamma^{ab} \leftrightarrow g^{\mu\nu}$，$R_{\mu\nu} \leftrightarrow h_{ab}$。这指出：⁶ Polyakov 作用量描述弦理论是一个与场 $X^\mu$ 耦合的二维引力理论。

4. 弦作用量间的关系

　　对 Polyakov 作用量变分：

\begin{equation} \delta_{\gamma} S_P = -\frac{1}{4\pi \alpha'} \int \,\mathrm{d}{\tau} \,\mathrm{d}{\sigma} \sqrt{-\gamma} \delta \gamma^{ab} \left(h_{ab} - \frac{1}{2} \gamma_{ab} \gamma^{cd} h_{cd}\right) ~. \end{equation}

⁷可以发现这与 Einstein 场方程是十分类似的。

　　由最小作用量原理，运动方程是 $h_{ab} = \frac{1}{2} \gamma_{ab} \gamma^{cd} h_{cd}$，对这式两侧同时除以行列式的相反数的平方根，得到 $\sqrt{-h} h_{ab} = \sqrt{-\gamma} \gamma_{ab}$，指出两个度规成正比，可以得到 $S_P = S_{NG}$：

\begin{equation} \begin{aligned} S_P &= -\frac{1}{4 \pi \alpha'} \int \,\mathrm{d}{\sigma} \,\mathrm{d}{\tau} \gamma_{ab} \gamma^{ab} \sqrt{-h} \\ &= -\frac{1}{2\pi \alpha'} \int \,\mathrm{d}{\sigma} \,\mathrm{d}{\tau} \sqrt{-h} \\ &= -\frac{1}{4\pi\alpha'} \int \,\mathrm{d}{\sigma} \,\mathrm{d}{\tau} \sqrt{-\gamma} \gamma^{ab} h_{ab} \\ &= S_{NG} ~. \end{aligned} \end{equation}

5. Polyakov 作用量的对称性

定理 4　

　　 Polyakov 作用量多一个几何的对称性，即 $2$-dim Weyl 不变性：

庞加莱对称性：$X'~ ^\mu(\tau, \sigma) = \Lambda_\nu^\mu X^\nu(\tau, \sigma) + a^\mu$, $\gamma'_{ab}(\tau, \sigma) = \gamma_{ab}(\tau, \sigma)$。
Diff-不变性：$X'~^\mu(\tau', \sigma') = X^\mu(\tau, \sigma)$，$\gamma'_{ab}(\tau', \sigma') \frac{\partial \sigma'~ ^a}{\partial \sigma^c} \frac{\partial \sigma'~^b}{\partial \sigma^d} = \gamma_{cd}(\tau, \sigma)$。
Weyl-不变性：$X'~^\mu(\tau, \sigma) = X^\mu(\tau, \sigma)$，$\gamma'_{ab}(\tau, \sigma) = \exp\left(2 \omega(\tau, \sigma) \right) \gamma_{ab}(\tau, \sigma)$。其中 $\omega(\tau, \sigma)$ 任意取。

　　 Weyl 不变性体现了世界面度规的定域（可以理解为局域的，locally 的）缩放不变性。

1. ^ 即在 $X^0-\vec X$ 图像中运动的长度，曲线用 $\tau$ 参数化。
2. ^ 这与世界线是无关的。
3. ^ 结果是
$\delta S_{pp} = \frac{1}{2} \int \,\mathrm{d}{\tau} (- \dot X^\mu \dot X_\mu/\eta^2 - m^2) \delta \eta$。
4. ^ induced metric：诱导度规。
5. ^ 实际上类比点粒子，弦的作用量是 world-sheet 的面积。
6. ^ 这里 $R_{\mu\nu}$ 是一个描述空间弯曲情况的内禀张量，仅与空间的拓扑性质有关。熟悉引力理论的人应当都知道这就是 Ricci 曲率张量。
7. ^ 变分过程中利用到 $\delta \gamma = \gamma \gamma^{ab} \delta \gamma_{ab} = -\gamma \gamma_{ab} \delta \gamma^{ab}$。

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