进动:旋转的陀螺为什么不会倒(科普)

                     

贡献者: JierPeter

   不旋转的陀螺,尖端朝下放在桌上无法立住,因为几乎不可能让陀螺完美对称且完美竖直,于是在重力矩作用下就会倾倒。一旦陀螺旋转起来,尽管重力矩依然要拉着陀螺倾倒,但陀螺似乎只是在不停改变旋转轴的方向,一直不倾倒。

   考虑一个空塑料瓶,称从它的瓶盖到瓶底的轴为其 “长轴”。将塑料瓶扔到空中,使得其长轴有翻转的角速度,你会发现塑料瓶的长轴大致在一个平面内不停翻转,瓶盖的指向变化范围也差不多有 $360^\circ$。但如果扔的同时让塑料瓶本身还绕着长轴旋转,那么塑料瓶的长轴就会在一个双圆锥面内反转,瓶盖变化范围显著小于 $360^\circ$。

   上述两个现象有一个共同的名字:进动。简单来说,进动就是指,旋转的刚体在旋转轴方向变化的时候会受到一个回转力矩,从而改变其旋转轴变化的方向。我们通过受力分析就能理解进动的成因。

1. 术语准备

   为了方便接下来的讨论,我需要定义一些概念,这样能大大简化描述和理解的难度。

   首先确定研究对象:一个固定在轻质杆上的均质圆环1,如图 1 所示。圆环的半径为 $r$,总质量为 $M$;杆的两个端点分别取名为 $A$ 和 $B$,它们到圆环的几何中心的距离相等;称圆环的几何中心为 $O$ 点。设 $A$、$B$ 间的距离为 $2d$。

图
图 1:陀螺模型示意图。

   要描述 $AB$ 轴的方向变化,可以用 $A$ 和 $B$ 的相对速度。比如说,如果陀螺在平移,那么两个点的相对速度为 $0$,$AB$ 轴的方向不会改变;但两个点只要有非零的相对速度,那么 $AB$ 轴的方向就一定会改变。为方便计,我们称 $AB$ 轴的方向改变为陀螺的偏转。

   以点 $O$ 为参考点,定义陀螺受到的力矩。具体来说,如果陀螺在某点 $P$ 处受到力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 作用,那么陀螺受到的力矩就是 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \boldsymbol{\mathbf{F}} $,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是从 $O$ 到 $P$ 的位移向量。$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 的方向可以用右手定则确定:伸出手掌,四指指向 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的方向,调整手掌的方向使得 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的方向垂直从手背穿入、手心传出,此时竖起大拇指,拇指所指方向即为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 的方向。

   当陀螺受到沿着 $AB$ 轴的力矩的时候,并不会因此偏转。如果受到的力矩垂直于 $AB$ 轴,则陀螺会偏转,但 $A$ 相对 $B$ 的加速度却并不是沿着力矩的方向,而是垂直于力矩的方向。举个例子,从你的视角看,如果对点 $A$ 和 $B$ 分别施加一个水平向左和水平向右的等大的力,那么陀螺受到的力矩是水平指向你的,但陀螺因此得到的偏转方向、或者说 $A$ 相对 $B$ 的加速度,是水平向左的。

   但无论如何,力矩的效果是给 $A$ 提供一个相对 $B$ 的加速度,而我们描述的正是 $A$ 相对 $B$ 的运动状态,因此接下来讨论力矩时只讨论它提供的相对加速度。称 $A$ 相对 $B$ 的速度为陀螺的偏转速度,加速度为偏转加速度

   另外请注意,力矩和力一样都是向量,因此可以分解为垂直 $AB$ 轴和沿着 $AB$ 轴方向的分量,其中只有第一个分量影响陀螺的偏转,第二个分量影响的是圆环自转的加速度。

2. 受力分析

   当圆环本身没有自转的时候,如果有偏转速度,则 $AB$ 轴会一直在一个平面内以恒定的角速度转动,此时偏转速度虽然一直在改变,但没有脱离以 $d$ 为半径的圆周。

   但如果圆环绕着 $AB$ 轴转起来,此时再有偏转速度,就会出现垂直于偏转速度的偏转加速度。

   在某一时刻,建立惯性系的三维直角坐标系以方便讨论。以 $O$ 点此刻所在位置为坐标系原点,$OA$ 为 $z$ 轴;取圆环上某一点 $P$,以 $OP$ 为 $x$ 轴;$y$ 轴则垂直 $OAP$ 平面,且整个坐标系符合右手定向,具体如图 2 所示。

图
图 2:建立的惯性系三维直角坐标系示意图。为了清楚传达,此处使用了三视图来表达各质点的位置关系。俯视图里 $A$、$B$、$O$ 三点重合;主视图中蓝色的 $\otimes$ 表示“垂直纸面向里”的方向,即 $P$ 点速度的方向。

   令圆环绕着 $AB$ 自转,使得这一瞬间质点 $P$ 的速度方向沿着 $y$ 轴正向,如图 2 所示,将该速度表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \begin{pmatrix} 0\\v\\0 \end{pmatrix} ~. \end{equation}

   现在考虑陀螺有沿着 $y$ 轴正方向偏转速度,则一小段时间后 $P$ 点的速度会多出来一个 $z$ 向分量,指向 $z$ 轴负方向。这意味着,如果要保持陀螺的偏转速度在 $yz$ 平面内,就需要对 $P$ 点施加一个指向 $z$ 轴负方向的力;反过来,这等同于说,$P$ 点受到了一个指向 $z$ 轴正方向的力2,因此才需要额外给 $P$ 点一个力来平衡它。

习题 1 

   考虑圆环上其它质点,它们也会因为偏转速度的存在而受到一个指向 $z$ 轴正或负方向的力,哪些点受到的力是正向、哪些是负向?有两个点不会因为偏转速度而受力,是哪两个点?

   $P$ 点由于偏转速度所受的力,对整个陀螺产生了偏转力矩,这个力矩的作用是产生了一个沿着 $x$ 轴负方向偏转加速度。在给定质点质量以及陀螺自转角速度时,该偏转加速度仅和偏转速度相关,偏转加速度的大小正比于偏转速度的大小。

   考察圆环上所有点不难发现,任何点产生的偏转力矩和偏转加速度都在同一个方向上,因此所有质点提供的偏转加速度的总和就是沿着 $x$ 轴负方向。称所有质点产生的偏转力矩的总和为回转力矩

3. 陀螺进动

无外力环境下的陀螺进动

   文章开头提到的 “扔塑料水瓶” 实验,其实是模拟了无外力环境下的陀螺进动。

   “偏转加速度大小正比于偏转速度大小、方向垂直于偏转速度”,这个情况和电磁学中静磁场的洛伦兹力很像。带电粒子仅受静磁场的洛伦兹力时,其加速度大小总是正比于速度大小,方向垂直于速度的方向,结果是带电粒子在平面内做圆周运动。陀螺的偏转速度和偏转加速度同理,只不过 $A$、$B$ 两点是在一个球面而非平面上运动,但即便如此,$A$ 点的运动轨迹也因此成了绕着某固定轴轴旋转的一个小圆,其半径小于 $d$;而 $AB$ 轴则绕着该固定轴,画出一个双圆锥的形状。

   这种 $AB$ 轴绕着固定轴画出双圆锥形状而非一个原盘面的现象,就叫做进动(precession)

地球上的陀螺不倒之谜

   我们考虑一个很有视觉冲击力的情况:陀螺的 $B$ 点被绳子吊起来,让陀螺高速自转,结果陀螺并不会倒下,而是绕着绳子所在的轴旋转,如图 3 所示。

图
图 3:陀螺进动示意图。图中在地球表面,重力方向竖直向下。陀螺的 $B$ 点吊在绳子上,即 $B$ 点位置固定,同时陀螺的圆环部分绕 $AB$ 轴自转,自转方向如图中红色弯曲箭头表示。陀螺有偏转速度,表现为 $A$ 点的速度,如图中橙色直箭头所示。

   陀螺如图中那样偏转时,回转力矩倾向于将陀螺抬起,而重力矩倾向于将陀螺压下,两个力矩平衡,故陀螺不会倒下。


1. ^ 这只是简化模型,请不要纠结杆为什么没有质量以及圆环怎么固定在杆上的。把这个简化模型研究清楚以后,结论可以套在真实的复杂模型上。
2. ^ 类比加速的电梯模型。当你身处一个太空中加速上升的电梯时,为了保持和电梯相对静止,你需要受到一个指向电梯上方的力来和电梯同步加速;反过来,你也可以认为在电梯参考系看来,你受到了一个指向电梯下方的力的作用,需要再受到一个指向电梯上方的力来平衡。


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