光子火箭

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

　　一个光子的能量

\begin{matrix} (1) & ℏ ω = m c^{2} . \end{matrix}

一个光子的动量

\begin{matrix} (2) & p = m c = \frac{ℏ ω}{c} . \end{matrix}

功率和推力的关系

\begin{matrix} (3) & F = p \frac{d N}{d t} = \frac{ℏ ω}{c} \frac{d N}{d t} = \frac{P}{c}, \end{matrix}

所以

1 N

的推力需要

3 \times 10^{8} W

的功率！这与光子的能量无关。

　　如果使用光子火箭，用反物质湮灭产生的光子推动，有

\begin{matrix} (4) & F = \frac{P}{c} = c \frac{d m}{d t} . \end{matrix}

产生 100 吨的推力只需要每秒消耗 3.3 克反物质，而功率却是惊人的

3 \times 10^{14} W

，可以每秒钟汽化约

10^{5}

立方米的水（从常温常压到水蒸气）。

1. 一般情况

　　若使用经典力学，用于推进的介质喷出速度越大，同样的推力功率就越大。

　　功率

\begin{matrix} (5) & P = \frac{v^{2}}{2} \frac{d m}{d t}, \end{matrix}

或者

\begin{matrix} (6) & \frac{d m}{d t} = \frac{2 P}{v^{2}} . \end{matrix}

推力

\begin{matrix} (7) & F = v \frac{d m}{d t} = \frac{2 P}{v} . \end{matrix}

所以在设计推进器时，式 6 式 7 会互相制约，在同样的功率下，要想推力翻倍，工质需要消耗原来的 4 倍。

2. 火箭加速的完整计算

　　在没有引力的环境。火箭以以相对速度 $u$ 和工质消耗 $α = d m / d t$ 喷出燃料。

\begin{matrix} (8) & F = u α . \end{matrix}

火箭质量

\begin{matrix} (9) & m (t) = M - α t, \end{matrix}

加速度

\begin{matrix} (10) & a (t) = \frac{F}{m (t)} = \frac{u}{M / α - t}, \end{matrix}

速度

\begin{matrix} (11) & v (t) = \int_{0}^{t} a (t^{'}) d t^{'} = - u \ln (1 - α t / M) . \end{matrix}

若火箭质量减去燃料为

M_{0}

，那么时间最大取

t = (M - M_{0}) / α

，最大速度为

\begin{matrix} (12) & v_{f} = u \ln (M / M_{0}), \end{matrix}

或者

\begin{matrix} (13) & M = M_{0} e^{v_{f} / u}, \end{matrix}

可见所需燃料随末速度呈指数增长。注意这与

α

无关。

　　甚至 $α$ 随时间变化时我们也可以得到式 13 的结论

\begin{matrix} (14) & v = \int_{0}^{t} \frac{u α (t^{'})}{m (t^{'})} d t^{'} = \int_{M_{0}}^{M} \frac{u d m}{m} = u \ln \frac{M}{m} . \end{matrix}

可见

v

是火箭总质量

m

的函数，无论

α

如何随时间变化。该式称为齐奥尔科夫斯基公式。

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