光子火箭

             

  • 本词条处于草稿阶段.

   一个光子的能量

\begin{equation} \hbar\omega = mc^2 \end{equation}
一个光子的动量
\begin{equation} p = mc = \frac{\hbar\omega}{c} \end{equation}
功率和推力的关系
\begin{equation} F = p \frac{\mathrm{d}{N}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\hbar\omega}{c} \frac{\mathrm{d}{N}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{P}{c} \end{equation}
所以 $1N$ 的推力需要 $3 \times 10^{8} \,\mathrm{W} $ 的功率! 这与光子的能量无关.

   如果使用光子火箭,用反物质湮灭产生的光子推动,有

\begin{equation} F = \frac{P}{c} = c \frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
产生 100 吨的推力只需要每秒消耗 3.3 克反物质,而功率却是惊人的 $3 \times 10^{14} \,\mathrm{W} $,可以每秒钟汽化约 $10^5$ 立方米的水(从常温常压到水蒸气).

1. 一般情况

   若使用经典力学,用于推进的介质喷出速度越大,同样的推力功率就越大.

   功率

\begin{equation} P = \frac{v^2}{2} \frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
或者
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{2P}{v^2} \end{equation}
推力
\begin{equation} F = v \frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{2P}{v} \end{equation}
所以在设计推进器时,式 6 式 7 会互相制约,在同样的功率下,要想推力翻倍,工质需要消耗原来的 4 倍.

2. 火箭加速的完整计算

   在没有引力的环境.火箭以以相对速度 $u$ 和工质消耗 $\alpha = \mathrm{d}{m}/\mathrm{d}{t} $ 喷出燃料.

\begin{equation} F = u\alpha \end{equation}
火箭质量
\begin{equation} m(t) = M - \alpha t \end{equation}
加速度
\begin{equation} a(t) = \frac{F}{m(t)} = \frac{u}{M/\alpha - t} \end{equation}
速度
\begin{equation} v(t) = \int_0^t a(t') \,\mathrm{d}{t'} = -u \ln\left(1 - \alpha t / M\right) \end{equation}
若火箭质量减去燃料为 $M_0$,那么时间最大取 $t = (M - M_0)/\alpha$,最大速度为
\begin{equation} v_f = u \ln\left(M / M_0\right) \end{equation}
或者
\begin{equation} M = M_0 \mathrm{e} ^{v_f/u} \end{equation}
可见燃料随莫速度呈指数增长.注意这与 $\alpha$ 无关.

   甚至 $\alpha$ 随时间变化时我们也可以得到式 13 的结论

\begin{equation} v = \int_0^t \frac{u\alpha(t')}{m(t')} \,\mathrm{d}{t'} = \int_{M_0}^M \frac{u \,\mathrm{d}{m} }{m} = u\ln{\frac{M}{m}} \end{equation}
可见 $v$ 是火箭总质量 $m$ 的函数,无论 $\alpha$ 如何随时间变化.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利