贡献者： addis
一个光子的能量
\begin{equation}
\hbar\omega = mc^2~.
\end{equation}
一个光子的动量
\begin{equation}
p = mc = \frac{\hbar\omega}{c}~.
\end{equation}
功率和推力的关系
\begin{equation}
F = p \frac{\mathrm{d}{N}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\hbar\omega}{c} \frac{\mathrm{d}{N}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{P}{c}~,
\end{equation}
所以 $1N$ 的推力需要 $3 \times 10^{8} \,\mathrm{W} $ 的功率！ 这与光子的能量无关。
如果使用光子火箭，用反物质湮灭产生的光子推动，有
\begin{equation}
F = \frac{P}{c} = c \frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
产生 100 吨的推力只需要每秒消耗 3.3 克反物质，而功率却是惊人的 $3 \times 10^{14} \,\mathrm{W} $，可以每秒钟汽化约 $10^5$ 立方米的水（从常温常压到水蒸气）。
1. 一般情况
若使用经典力学，用于推进的介质喷出速度越大，同样的推力功率就越大。
功率
\begin{equation}
P = \frac{v^2}{2} \frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{t}} ~,
\end{equation}
或者
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{2P}{v^2}~.
\end{equation}
推力
\begin{equation}
F = v \frac{\mathrm{d}{m}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{2P}{v}~.
\end{equation}
所以在设计推进器时，
式 6 式 7 会互相制约，在同样的功率下，要想推力翻倍，工质需要消耗原来的 4 倍。
2. 火箭加速的完整计算
在没有引力的环境。火箭以以相对速度 $u$ 和工质消耗 $\alpha = \mathrm{d}{m}/\mathrm{d}{t} $ 喷出燃料。
\begin{equation}
F = u\alpha~.
\end{equation}
火箭质量
\begin{equation}
m(t) = M - \alpha t~,
\end{equation}
加速度
\begin{equation}
a(t) = \frac{F}{m(t)} = \frac{u}{M/\alpha - t}~,
\end{equation}
速度
\begin{equation}
v(t) = \int_0^t a(t') \,\mathrm{d}{t'} = -u \ln\left(1 - \alpha t / M\right) ~.
\end{equation}
若火箭质量减去燃料为 $M_0$，那么时间最大取 $t = (M - M_0)/\alpha$，最大速度为
\begin{equation}
v_f = u \ln\left(M / M_0\right) ~,
\end{equation}
或者
\begin{equation}
M = M_0 \mathrm{e} ^{v_f/u}~,
\end{equation}
可见所需燃料随末速度呈指数增长。注意这与 $\alpha$ 无关。
甚至 $\alpha$ 随时间变化时我们也可以得到式 13 的结论
\begin{equation}
v = \int_0^t \frac{u\alpha(t')}{m(t')} \,\mathrm{d}{t'} = \int_{M_0}^M \frac{u \,\mathrm{d}{m} }{m} = u\ln{\frac{M}{m}}~.
\end{equation}
可见 $v$ 是火箭总质量 $m$ 的函数，无论 $\alpha$ 如何随时间变化。该式称为
齐奥尔科夫斯基公式。
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