贡献者： 待更新
1. 光锥规范
现在终于可以来讨论弦的具体形式。用光锥规范来消除 (diff $\times$ Weyl) 冗余。光锥规范虽然隐藏了理论的协变性，但是通往谱的最快路径，可以揭示重要特征1。这里的过程我们仅关注结果而非细节推导。使用协变的共形规范的方法会在之后讨论。
定义光锥坐标系：纵向坐标 $x^{\pm} = 2^{-1/2} (x^0 \pm x^1)$；横向坐标 $x^i, i = 2, 3, \dots, D-1$。时空坐标将使用小写 $x^\mu$，而世界面上相关的坐标仍用大写 $X^\mu(\sigma, \tau)$。光锥坐标下度规是：
- 内积：$a^\mu b_\mu = -a^+ b^- - a^- b^+ + a^i b^i$；
- 指标升降：$a_- = -a^+$、$a_+ = -a^-$、$a_i = a^i$。
令 $x^+$ 与世界面上 $\tau$ 相等，则相应的 $p^-$ 会成为能量，可以看到 $x^-$ 与 $p^+$ 将和 $x^i$ 与 $p^i$ 一样扮演坐标与动量的角色。
2. 与全息理论
此外，良好的光锥规范下，Virasoro 约束里的 $X^\pm$ 可以和横向的 $X^i$ 解耦，变为：
\begin{equation}
\left(\dot X^i \pm X^i~'\right)^2 = 2 (\dot X^+ \pm X^+~') (\dot X^- \pm X^-~') ~.
\end{equation}
而可以化出
\begin{equation}
\dot X^- \pm X^-~' = \frac{1}{2 X^+/\tau} \left(\dot X^i \pm X^i~'\right)^2 ~.
\end{equation}
这指出，弦的横向自由度 $X^i$ 才是真正的独立自由度，纵向自由度 $X^-$ 可以由横向自由度 $X^i$ 完全确定。也就是说弦的运动少了一个自由度，这与
全息原理2有关。
3. 点粒子分析
考虑对于一个点粒子，世界线上 $X^+(\tau) = \tau$，作用量
\begin{equation}
S'_{pp} = \frac{1}{2} \int \,\mathrm{d}{\tau} \left(-2 \eta^{-1} \dot X^- + \eta^{-1} \dot X^i \dot X^i - \eta m^2\right) ~,
\end{equation}
此时共轭动量
\begin{equation}
p_\mu = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot X^\mu} ~,
\end{equation}
也就是 $p_- = -\eta^{-1}$，而 $p_i = \eta^{-1} \dot X^i$。回顾度规，可以写出哈密顿量：
\begin{equation}
H = p_- \dot X^- + p_i \dot X^i - \mathcal L = \frac{1}{2 p^+} (p^i p^i + m^2) ~.
\end{equation}
因为 $X^+$ 非动力学变量，因而此处并未出现 $p_+ \dot X^+$ 项。同时 $\dot\eta$ 也并未出现，以及 $\eta^{-1} = - p_-$，不能处理为独立的正则坐标
3。
简单分析就可以发现，选择恰当的规范下，$H = -p_+ = p^-$。
4. 开弦的分析
还是考虑 $-\infty < \tau < \infty$，$0 \le\sigma \le l$。取三个条件：
\begin{equation}
X^+ = \tau,~~ \partial_\sigma \gamma_{\sigma \sigma} = 0, ~~\det\gamma_{ab} = -1 ~,
\end{equation}
来选定一个好的规范以消除冗余
4。
在选定了 $X^+ = \tau$ 后，发现 $f = \gamma_{\sigma \sigma}/\sqrt{-\det \gamma_{ab}}$ 的换系是 $f' \,\mathrm{d}{\sigma} ' = f \,\mathrm{d}{\sigma} $。为此定义不变长度 $ \,\mathrm{d}{l} = f \,\mathrm{d}{\sigma} $。定义一个点的 $\sigma$ 坐标正比于从 $\sigma = 0$ 到该店的不变长度，比例系数由归一化决定。由于 $f = \,\mathrm{d}{l} / \,\mathrm{d}{\sigma} $ 独立于 $\sigma$ 而依赖于 $\tau$，可以做一个 Weyl 变换来满足 $\det \gamma_{ab} = -1$，而 $f$ 是 Weyl 不变的，$\partial_\sigma f$ 仍是 $0$，也就意味着 $\partial_\sigma \gamma_{\sigma \sigma}=0$ 自动满足。
解出度规 $\gamma$ 仅有两个自由度，而写出度规的逆
\begin{equation}
\left[\begin{matrix}
\gamma^{\tau\tau} & \gamma^{\tau\sigma} \\
\gamma^{\sigma \tau} & \gamma^{\sigma \sigma }
\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
-\gamma_{\sigma \sigma}(\tau) & \gamma_{\tau \sigma}(\tau, \sigma) \\
\gamma_{\tau \sigma}(\tau, \sigma) & \gamma_{\sigma\sigma}^{-1}(\tau)(1 - \gamma_{\tau \sigma}^2(\tau, \sigma))
\end{matrix}\right] ~.
\end{equation}
此时，Polyakov 拉氏量是
\begin{equation}
\begin{aligned}
L = -\frac{1}{4 \pi \alpha'} \int_0^l \,\mathrm{d}{\sigma} [&\gamma_{\sigma \sigma}(2 \partial_\tau x^- - \partial_\tau X^i \partial_\tau X^i)\\
-2 & \gamma_{\sigma \tau}(\partial_\sigma Y^- - \partial_\tau X^i \partial_\sigma X^i) \\
+&\gamma_{\sigma \sigma}^{-1}(1-\gamma_{\tau \sigma}^2) \partial_\sigma X^i \partial_\sigma X^i] ~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中，将 $X^-(\tau, \sigma)$ 拆分为了质心部分 $x^-(\tau)$ 以及 $Y^-(\tau, \sigma)$：
\begin{equation}
\begin{aligned}
x^-(\tau) &= \frac{1}{l} \int_0^l \,\mathrm{d}{\sigma} X^-(\tau, \sigma) \\
Y^-(\tau, \sigma) &= X^-(\tau, \sigma) - x^-(\tau) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
$Y^-$ 是非动力学项，即并不出现在时间导数中。其作用类似拉格朗日乘子，约束 $\partial_\sigma \gamma_{\tau \sigma} = 0$。此外，在现在选定的规范下，开弦的纽曼边界条件变为
\begin{equation}
\gamma_{\tau \sigma} \partial_\tau X^\mu - \gamma_{\tau \tau} \partial_\sigma X^\mu = 0, ~~ \text{at} ~ \sigma = 0, l ~.
\end{equation}
对于 $\mu = +$，给出在 $\sigma = 0, l$ 处 $\gamma_{\tau \sigma} = 0$，而 $\partial_{\sigma} \gamma_{\tau \sigma} = 0$，因而 $\gamma_{\tau \sigma}$ 在处处都是 $0$。
此外，对于 $\mu = i$，给出在 $\sigma = 0, l$ 时 $\partial_\sigma X^i = 0$。
下面考虑现在改写拉氏量为
\begin{equation}
L = -\frac{l}{2\pi \alpha'} \gamma_{\sigma \sigma} \partial_\tau x^- + \frac{1}{4\pi\alpha'} \int_0^l \,\mathrm{d}{\sigma} (\gamma_{\sigma \sigma} \partial_\tau X^i \partial_\tau X^i - \gamma_{\sigma \sigma}^{-1} \partial_\sigma X^i \partial_{\sigma} X^i) ~.
\end{equation}
从而 $x^-$ 的共轭动量是5
\begin{equation}
p_- = -p^+ = \frac{\partial L}{\partial(\partial_\tau x^-)} = -\frac{l}{2\pi \alpha'} \gamma_{\sigma \sigma } ~.
\end{equation}
此外，$X^i(\tau, \sigma)$ 的共轭动量密度是
\begin{equation}
\Pi^i = \frac{\delta L}{\delta(\partial_\tau X^i)} = \frac{1}{2\pi \alpha'} \gamma_{\sigma \sigma}\partial_\tau X^i = \frac{p^+}{l} \partial_\tau X^i ~.
\end{equation}
计算出哈密顿量：
\begin{equation}
H = p_- \partial_\tau x^- - L + \int_0^l \,\mathrm{d}{\sigma} \Pi_i \partial_\tau X^i = \frac{l}{4 \pi \alpha' p^+} \int_0^l \,\mathrm{d}{\sigma} \left(2\pi \alpha' \Pi^i \Pi^i + \frac{1}{2\pi \alpha'} \partial_\sigma X^i \partial_\sigma X^i\right) ~.
\end{equation}
给出运动方程：
\begin{equation}
\begin{matrix}
\partial_\tau x^- = \frac{\partial H}{\partial p_-} = \frac{H}{p^+}, & \partial_\tau p^+ = \frac{\partial H}{\partial x^-} = 0 ~,\\
\partial_\tau X^i = \frac{\delta H}{\delta \Pi^i} = 2\pi\alpha' c \Pi^i, & \partial_\tau \Pi^i = -\frac{\delta H}{\delta X^i} = \frac{c}{2\pi \alpha'} \partial_\sigma^2 X^i ~.
\end{matrix}
\end{equation}
其中 $c = l/(2\pi\alpha' p^+)$。得到波动方程 $\partial_\tau^2 X^i = c^2 \partial_\sigma^2 X^i$。
实际上，$X^\pm$ 也满足波动方程，而 $X^-$ 的计算量较大。
1. ^ 例如弦的最轻激发态是无质量粒子，维度必须于 $D=26$。
2. ^ 也就是一个 $D+1$ 维的引力系统只需要 $D$ 个独立的自由度。
3. ^ 我们在之后对弦的分析中也将会看到这一点，只不过 $\eta$ 变为了 $\gamma_{\sigma \sigma}$。
4. ^ 规范是有自由度的，Polyakov 作用量有大自由度，选定好的规范（gauge fix）可以消除冗余自由度而大大简化计算。
5. ^ 正如粒子中的 $\eta$，$\gamma_{\sigma \sigma}$ 也是动量，而非坐标。
6. ^ 其实就是 $(D-2)$ 个自由场 $X^i$ 的哈密顿量，而 $p^+$ 是守恒量。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。