Noether 定理

贡献者：零穹

预备知识　最小作用量、哈密顿原理

　　 [1] Nother 定理是关于对称性和守恒量的，它于 1915 年由 Noether 证明，其表明每一个使拉氏量不变的变换都对应一个守恒量。正如理论物理中最深刻的定理一样，Noether 定理的证明极其的简单。

1. Noether 定理

定理 1　Noether 定理

　　设 $L (q (t), \dot{q} (t))$ ( $\dot{} := \frac{d}{d t}$ ) 是拉氏量，其中 $q = (q_{1}, \dots, q_{n}), \dot{q} = ({\dot{q}}_{1}, \dots, {\dot{q}}_{n})$ 。则对每一个使得拉氏量 $L (q (t), \dot{q} (t))$ 不变的变换，都有一个守恒量存在。即若无穷小变换

\begin{matrix} (1) & q (t) \to q (t) + δ q (t), \end{matrix}

使得

L

不变，这是指

δ L = 0

，那么存在守恒量

Q := \frac{δ L}{δ \dot{q}} δ q

，即

\dot{Q} = 0

。

　　 证明： 在无穷小变换 $q \to q + δ q$ 下，有

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \frac{d q}{d t} \to \frac{d}{d t} (q + δ q) & = \frac{d q}{d t} + \frac{d δ q}{d t} \\ ⇓ \\ δ (\frac{d q}{d t}) & = \frac{d δ q}{d t} \end{aligned} . \end{matrix}

即

δ \dot{q} = \dot{δ q}

因此，

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} 0 = & δ L = \frac{δ L}{δ \dot{q}} \dot{δ q} + \frac{δ L}{δ q} δ q \\ \overset{Euler-Lagrange 方程}{=} \frac{δ L}{δ \dot{q}} \dot{δ q} + \frac{d}{d t} (\frac{δ L}{δ \dot{q}}) δ q \\ = & \frac{d}{d t} (\frac{δ L}{δ \dot{q}} δ q) \\ := & \dot{Q} \end{aligned} . \end{matrix}

证毕！

　　 注意：在无穷小变换下拉氏量不变被理解成一阶 $δ L = 0$ 即可，是因为一阶变分 $δ L$ ，例如 $δ L^{2}$ 在无穷小时的和即变成积分，刚好就是和的极限值，此时积分值是精确的。这相当于高阶无穷小不起作用。

[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell

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定理 1 Noether 定理

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