天体物理中 N 体问题的数值计算(Matlab)

                     

贡献者: addis

  • 本词条处于草稿阶段.
预备知识 四阶龙格库塔法,用 Matlab 生成 mp4 视频
图
图 1:平面三体运动的模拟,动画见这里

   这里给出一个简单的程序,在实际科研中,往往需要大量并行计算,且考虑许多其他因素,详见 “N 体问题(天体物理)”.

   数值解常微分方程组

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _i = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i}{m_i} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = G\sum_{j\ne i} \frac{m_i m_j( \boldsymbol{\mathbf{r}} _j - \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _j - \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right\rvert ^3} \end{equation}

   算法 “四阶龙格库塔法” 中的 keplerRK4.m 相似,只是使用了 Matlab 自带的变步长龙格库塔解算器 ode45,效率更高.另外当两个天体距离太近,使得 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 超过了双精度的最大值时,程序将报错终止.

   当设置 Ndim = 2,程序中所有的位置、速度、力都是二维矢量,当 Ndim = 3 时都是三维矢量.

代码 1:n_body.m
% N 体问题(支持二维或三维)
% Ndim: 2 维或 3 维运动
% r0: 初始位置矢量, Ndim*N 矩阵(N 是质点数)
% v0: 初始速度矢量, Ndim*N 矩阵
% m: 质量, 1*N 矩阵
% t: 时间网格
% RelTol: 微分方程解算器的精度
function [r, v] = n_body(r0, v0, m, Ndim, t, G, RelTol)
N = numel(m);
Y0 = [r0(:), v0(:)];
options = odeset('RelTol', RelTol);
[T, Y] = ode45(@(t,Y)ode_fun(t, Y, m, G, Ndim), ...
        [min(t),max(t)], Y0, options);
r = zeros(numel(t),Ndim,N); v = r;
k1 = 0; k2 = N*Ndim;
for i = 1:N
    for j = 1:Ndim
        k1 = k1 + 1; k2 = k2 + 1;
        r(:,j,i) = interp1(T, Y(:, k1), t);
        v(:,j,i) = interp1(T, Y(:, k2), t);
    end
end
end

% 已知天体位置和速度, 计算加速度
function dY = ode_fun(~, Y, m, G, Ndim)
N = numel(Y)/(2*Ndim);
r = reshape(Y(1:Ndim*N), Ndim, N);
v = reshape(Y(Ndim*N+1:end), Ndim, N);
a = zeros(Ndim, N);
for i = 1:N
    F = 0;
    for j = 1:N
        if j == i, continue; end
        r_ij = r(:,j) - r(:,i);
        d_ij = sqrt(sum(r_ij.^2));
        F = F + G*m(i)*m(j)*r_ij/d_ij^3;
        if isinf(F)
            error('发生碰撞!');
        end
    end
    a(:, i) = F/m(i);
end
dY = [v(:); a(:)];
end

   下面演示平面三体运动,并制作 MP4 动画.

代码 2:three_body.m
% 平面三体运动演示
% === 参数设置 ===
r0 = [-1,0; 1,0; 0,sqrt(3)+0.01]';
v0 = [r0(:,3)-r0(:,2); r0(:,1)-r0(:,3); r0(:,2)-r0(:,1)]'*0.35;
m = [1,1,1];
RelTol = 1e-6;
G = 1;
tmin = 0; tmax = 160; Nt = 3000;
plot_step = 10;
Ntail = 100; % 尾巴长度

% 写 mp4 视频
v = VideoWriter('3body', 'MPEG-4');
v.FrameRate = 10; % 默认 30
v.Quality = 25; % 默认 75
% ===============
close all;
open(v);

t = linspace(tmin, tmax, Nt);
[r, ~] = n_body(r0, v0, m, 2, t, G, RelTol);
figure;
ax = [min(min(r(:,1,:))), max(max(r(:,1,:))), ...
    min(min(r(:,2,:))), max(max(r(:,2,:)))]*1.1;
for it = 1:plot_step:Nt
clf;
for i = 1:3
    it0 = max(1,it-Ntail);
    plot(r(it0:it,1,i), r(it0:it,2,i)); hold on;
    axis equal;
end
axis(ax);
frame = getframe(gcf);
writeVideo(v, frame);
end
close(v);


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利