南京航空航天大学 2004 量子真题

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1. 简答题(每小题 12 分，共 60 分)

　　 1. 已知一维运动粒子波函数为 $ \Psi(x, t) = e^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)} + e^{-\frac{i}{\hbar}(px + Et)}$ 其中 $p$ 为动量，$E$ 为能量。说明：（1）它是不是动量算符 $\hat{p}$ 的本征函数？（2）它是不是动量平方算符 $\hat{p}^2$ 的本征函数？

　　 2. 对一维运动粒子，求算符 $\hat{p} +\hat{x}$ 的本征函数和本征值。其中 $\hat{p}$ 为动量算符，$\hat{x}$ 为位置坐标算符。

　　 3. 已知氢原子处在 $$ \psi(r, \theta, \phi) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0}~$$ 状态，其中 $a_0$ 为第一玻尔半径。计算其势能 $V(r) = -\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r}$ 的平均值。

　　 4. 已知力学量算符 $A, \, B$ 均可表示为二阶矩阵，它们满足关系： $$A^2 = 0 \quad ; \quad AA^{\dagger} + A^{\dagger}A = 1 \quad ; \quad B = A^{\dagger}A~$$

　　 (1) 证明：$B^2 = B$

　　 (2) 在 $B$ 表象中求出矩阵 $\hat{A}, \, \hat{B}$.

　　 5. 已知在一维无限深势阱 $$ \begin{cases} V = \infty & (x < 0, \, x > a) \\ V = 0 & (0 \leq x \leq a) \end{cases}~ $$ 中运动粒子处于波函数 $\psi(x) = \frac{4}{\sqrt{a}} \sin{\frac{\pi x}{a}} \cos^2{\frac{\pi x}{a}}$ 所描述的状态中，求： 粒子能量的可能数值及其相应概率。

2. (本题 30 分)

　　 在沿 $Y$ 轴方向的恒定磁场 $\overline{B}(0, B, 0)$ 中考察电子的自旋运动。已知电子和磁场相互作用哈密顿算符为 $\hat H = -\hat{\mu} \cdot \hat{B}$，其中 $\hat{\mu} = -\mu_{0} \hat{\sigma}$ 是电子自旋磁矩，$\mu_0$ 是玻尔磁子，$\hat{\sigma}$ 为泡利（Pauli）矩阵。设初始 $t=0$ 时电子处在自旋态 $ \chi(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},$ 求在以后 $t$ 时刻：

　　 1. 电子的自旋态 $\chi(t)$。

　　 2. 在该态中自旋算符的平均值：$\overline S_x(t)$, $\overline S_y(t) $, $\overline S_z(t)$。

　　 3. 在该时刻测量电子自旋向上和向下的概率各是多少？

　　 4. 经过多少时间，电子自旋反转处在自旋态 $\chi(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$？

3. (本题 30 分)

　　 一个质量 $M$，半径 $R$ 的薄圆盘绕通过中心与盘面垂直的轴旋转。

　　 1. 试用量子力学描述该转盘的运动：求出系统哈密顿量和它的本征函数和本征值，讨论能级的简并情况。

　　 2. 如果该转盘在转动过程中受到一个微扰 $H' = F_0 \delta(\varphi - \varphi_0)$，准确定到一级近似，求系统能量和零级波函数。

4.（本题 30 分）

　　 一原子总能量算符 $H_0$ 的正交归一本征函数为 $\psi_n(x)$，能级 $E_n$（$n = 1, 2, 3, \ldots$）。已知 $t = 0$ 时系统处于基态 $\psi_1$，$t > 0$ 时原子受到外来微扰 $H'(X,t) = F(x) e^{-\frac{t}{\tau}}$ 的作用。试用微扰理论（一级近似）求 $t\gg\tau(t \rightarrow \infty)$ 时，原子处于各激发态 $ \psi_n $ 的概率。