南京航空航天大学 2004 量子真题

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1. 简答题(每小题 12 分，共 60 分)

　　 1. 已知一维运动粒子波函数为 $\mathrm{\Psi }(x,t)=e^{\frac{i}{\hslash }(px-Et)}+e^{-\frac{i}{\hslash }(px+Et)}$ 其中 $p$ 为动量，$E$ 为能量。说明：（1）它是不是动量算符 $\hat{p}$ 的本征函数？（2）它是不是动量平方算符 ${\hat{p}}^2$ 的本征函数？

　　 2. 对一维运动粒子，求算符 $\hat{p}+\hat{x}$ 的本征函数和本征值。其中 $\hat{p}$ 为动量算符，$\hat{x}$ 为位置坐标算符。

　　 3. 已知氢原子处在 $$\psi (r,\theta ,\varphi )=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}{e}^{-r/a_0}$$ 状态，其中 $a_0$ 为第一玻尔半径。计算其势能 $V(r)=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{e^2}{r}$ 的平均值。

　　 4. 已知力学量算符 $A,B$ 均可表示为二阶矩阵，它们满足关系： $$A^2=0;A{A}^{†}+A^{†}A=1;B=A^{†}A$$

　　 (1) 证明：$B^2=B$

　　 (2) 在 $B$ 表象中求出矩阵 $\hat{A},\hat{B}$.

　　 5. 已知在一维无限深势阱 $$\{\begin{array}{ll}V=\mathrm{\infty }& (x<0,x>a)\\ V=0& (0\le x\le a)\end{array}$$ 中运动粒子处于波函数 $\psi (x)=\frac{4}{\sqrt{a}}\sin \frac{\pi x}{a}{\cos }^2\frac{\pi x}{a}$ 所描述的状态中，求： 粒子能量的可能数值及其相应概率。

2. (本题 30 分)

　　 在沿 $Y$ 轴方向的恒定磁场 $\bar{B}(0,B,0)$ 中考察电子的自旋运动。已知电子和磁场相互作用哈密顿算符为 $\hat{H}=-\hat{\mu }\cdot \hat{B}$，其中 $\hat{\mu }=-{\mu }_0\hat{\sigma }$ 是电子自旋磁矩，${\mu }_0$ 是玻尔磁子，$\hat{\sigma }$ 为泡利（Pauli）矩阵。设初始 $t=0$ 时电子处在自旋态 $\chi (0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),$ 求在以后 $t$ 时刻：

　　 1. 电子的自旋态 $\chi (t)$。

　　 2. 在该态中自旋算符的平均值：${\bar{S}}_x(t)$, ${\bar{S}}_y(t)$, ${\bar{S}}_z(t)$。

　　 3. 在该时刻测量电子自旋向上和向下的概率各是多少？

　　 4. 经过多少时间，电子自旋反转处在自旋态 $\chi (t)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$？

3. (本题 30 分)

　　 一个质量 $M$，半径 $R$ 的薄圆盘绕通过中心与盘面垂直的轴旋转。

　　 1. 试用量子力学描述该转盘的运动：求出系统哈密顿量和它的本征函数和本征值，讨论能级的简并情况。

　　 2. 如果该转盘在转动过程中受到一个微扰 $H^{\prime }=F_0\delta (\phi -{\phi }_0)$，准确定到一级近似，求系统能量和零级波函数。

4.（本题 30 分）

　　 一原子总能量算符 $H_0$ 的正交归一本征函数为 ${\psi }_n(x)$，能级 $E_n$（$n=1,2,3,\dots$）。已知 $t=0$ 时系统处于基态 ${\psi }_1$，$t>0$ 时原子受到外来微扰 $H^{\prime }(X,t)=F(x)e^{-\frac{t}{\tau }}$ 的作用。试用微扰理论（一级近似）求 $t\gg \tau (t\to \mathrm{\infty })$ 时，原子处于各激发态 ${\psi }_n$ 的概率。