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1. 一（本题 15 分）
- 解释：量子力学中的 “简并” 和 “简并度”。
- 证明：一维无奇性势的薛定谔方程的束缚态无简并。
2.（本题 15 分）
氢原子处于状态：
$$\Psi(r, \theta, \phi) = \frac{1}{2} R_{21}(r) Y_{10}(\theta, \phi) - \frac{\sqrt{3}}{2} R_{21}(r) Y_{1-1}(\theta, \phi)~$$
问：氢原子的能量 $E$、角动量平方 $L^2$、角动量 $Z$ 分量 $L$,
这三个量中哪些量具有确定值？哪些量没有确定值？有确定值的求出它的确定值；没有确定值的求出它的可能值及其出现的几率，并求出其平均值。
3.（本题 16 分）
已知在角动量 $\hat{L}^2$ 和 $\hat{L}_z$ 的共同表象中，算符 $\hat{L}_x$ 的矩阵
为：$$L_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}~$$
(1)求它的本征值和归一化本征函数。
(2)找出一个么正变换矩阵 S,将算符 L 对角化。
4.（本题 18 分）
一维运动粒子处在状态
$$\psi(x) =
\begin{cases}
2\lambda^{3/2} x e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\
0 & x < 0
\end{cases}~$$
其中 $\lambda > 0$. 求：
- 粒子位置坐标的平均值。
- 粒子动量的几率分布函数。
- 粒子动量的平均值。
已知：
$$\left( \int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax} \, dx \right) = \frac{n!}{a^{n+1}}~$$
5.（本题 18 分）
(1)设 $\hat q$ 为位置坐标算符，$\hat p$ 为动量算符。
证明测不准关系：
$\Delta q.\Delta p\ge \frac{\hbar}{2}$
(2)卢瑟福 $\alpha$ 粒子散射实验确证原子核半径大小数量级为 $10^{-13}$ 米；原子 $\beta$ 衰变放出电子的能量在 10ev 以内。根据这些实验事实，试用上面的测不准关系论证：电子不可能是原子核的组成部分。
(1ev=$1.602\times10^{-19}J$
$h=6.626\times10^{-34}J.s$
电子质量 m =$9.109\times {10^{-31}kg}$)
6.（本题 18 分
试用微扰理论讨论氢原子 $n=2$ 能级在外电场作用下产生的谱线分裂现象(…级斯塔克效应)。
已知氢原子波函数
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi_{200} &= \frac{1}{4\sqrt{2\pi}} \left( \frac{1}{a_0} \right)^{\frac{3}{2}} (2 - \frac{r}{a_0}) e^{-\frac{r}{2a_0}} \\
\psi_{210} &= \frac{1}{4\sqrt{2\pi}} \left( \frac{1}{a_0} \right)^{\frac{3}{2}} \left( \frac{r}{a_0} \right) e^{-\frac{r}{2a_0}} \cos \theta \\
\psi_{211} &= \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left( \frac{1}{a_0} \right)^{\frac{3}{2}} \left( \frac{r}{a_0} \right) e^{-\frac{r}{2a_0}} \sin \theta e^{i\phi} \\
\psi_{21-1} &= \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left( \frac{1}{a_0} \right)^{\frac{3}{2}} \left( \frac{r}{a_0} \right) e^{-\frac{r}{2a_0}} \sin \theta e^{-i\phi}
\end{aligned}~
\end{equation}
$ a_0 = \frac{\hbar^2}{me^2}$ 为第一玻尔轨道半径
\begin{equation}
\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax} \, dx = \frac{n!}{a^{n+1}}~
\end{equation}
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