南京航空航天大学 2002 量子真题

贡献者：待更新

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1. 一（本题 15 分）

解释：量子力学中的 “简并” 和 “简并度”。
证明：一维无奇性势的薛定谔方程的束缚态无简并。

2.（本题 15 分）

　　氢原子处于状态： $Ψ (r, θ, ϕ) = \frac{1}{2} R_{21} (r) Y_{10} (θ, ϕ) - \frac{\sqrt{3}}{2} R_{21} (r) Y_{1 - 1} (θ, ϕ)$ 问：氢原子的能量 $E$ 、角动量平方 $L^{2}$ 、角动量 $Z$ 分量 $L$ ,

　　这三个量中哪些量具有确定值？哪些量没有确定值？有确定值的求出它的确定值；没有确定值的求出它的可能值及其出现的几率，并求出其平均值。

3.（本题 16 分）

　　已知在角动量 ${\hat{L}}^{2}$ 和 ${\hat{L}}_{z}$ 的共同表象中，算符 ${\hat{L}}_{x}$ 的矩阵为： $L_{x} = \frac{ℏ}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})$

　　 (1)求它的本征值和归一化本征函数。

　　 (2)找出一个么正变换矩阵 S,将算符 L 对角化。

4.（本题 18 分）

　　一维运动粒子处在状态 $ψ (x) = {\begin{cases} 2 λ^{3 / 2} x e^{- λ x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$ 其中 $λ > 0$ . 求：

粒子位置坐标的平均值。
粒子动量的几率分布函数。
粒子动量的平均值。

　　已知： $(\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- a x} d x) = \frac{n!}{a^{n + 1}}$

5.（本题 18 分）

　　 (1)设 $\hat{q}$ 为位置坐标算符， $\hat{p}$ 为动量算符。证明测不准关系： $Δ q . Δ p \geq \frac{ℏ}{2}$

　　 (2)卢瑟福 $α$ 粒子散射实验确证原子核半径大小数量级为 $10^{- 13}$ 米；原子 $β$ 衰变放出电子的能量在 10ev 以内。根据这些实验事实，试用上面的测不准关系论证：电子不可能是原子核的组成部分。

　　 (1ev= $1.602 \times 10^{- 19} J$
$h = 6.626 \times 10^{- 34} J . s$
电子质量 m = $9.109 \times 10^{- 31} k g$ )

6.（本题 18 分

　　试用微扰理论讨论氢原子 $n = 2$ 能级在外电场作用下产生的谱线分裂现象(…级斯塔克效应)。已知氢原子波函数

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} ψ_{200} & = \frac{1}{4 \sqrt{2 π}} {(\frac{1}{a_{0}})}^{\frac{3}{2}} (2 - \frac{r}{a_{0}}) e^{- \frac{r}{2 a_{0}}} \\ ψ_{210} & = \frac{1}{4 \sqrt{2 π}} {(\frac{1}{a_{0}})}^{\frac{3}{2}} (\frac{r}{a_{0}}) e^{- \frac{r}{2 a_{0}}} \cos θ \\ ψ_{211} & = \frac{1}{8 \sqrt{π}} {(\frac{1}{a_{0}})}^{\frac{3}{2}} (\frac{r}{a_{0}}) e^{- \frac{r}{2 a_{0}}} \sin θ e^{i ϕ} \\ ψ_{21 - 1} & = \frac{1}{8 \sqrt{π}} {(\frac{1}{a_{0}})}^{\frac{3}{2}} (\frac{r}{a_{0}}) e^{- \frac{r}{2 a_{0}}} \sin θ e^{- i ϕ} \end{aligned} \end{matrix}

a_{0} = \frac{ℏ^{2}}{m e^{2}}

为第一玻尔轨道半径

\begin{matrix} (2) & \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- a x} d x = \frac{n!}{a^{n + 1}} \end{matrix}

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