南京理工大学 2009 量子真题

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　　 请考生在下列 13 题中选作 10 题，每题 15 分，满分 150 分

1. 简要回答下列问题

1. 最子力学中角动量是如何定义的?地球自转是否与量子力学中的自概念相对应?
2. 玻恩近似法的基本思想是什么?
3. 如果有心力场不是库仑场(即 $V(r)$ 不与 $\frac{1}{r}$ 成比例)，则角分布函数将取什么形式?
4. 如何理解波函数必须满足的标准条件?
5. 在什么情况下力学量的测量具有确定值?两个不对易的力学量是否一定不能同时其有确定的测量值?

　　 二、定义 $[\hat{A}, \hat{B}]_{+} = \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A}$ (反对易式)，已知 $\hat{a}, \hat{b}$ 均与 $\hat{A}, \hat{B}$ 对易，证明：

1. \[ [\hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = \hat{A}[\hat{B}, \hat{C}]_{+} - [\hat{B}, \hat{C}]_{+}\hat{A} + \hat{C}[\hat{A}, \hat{B}]_{+} - [\hat{A}, \hat{C}]_{+}\hat{B}~ \]
2. \[ [\hat{a}\hat{A}, \hat{b}\hat{B}]_{+} = \frac{1}{2}[\hat{a}, \hat{b}]_{+}[\hat{A}, \hat{B}] + \frac{1}{2}[\hat{a}, \hat{b}][\hat{A}, \hat{B}]_{+}~ \]

　　 三、计算受力 $F = -kx + k_e (k = m\omega^2)$ 作用的一个粒子的波函数和能量允许值。
四、已知氢原子的电子波函数数为： \[ \psi_{n l m_l m_s}(r,\theta,\phi,s_z) = \frac{1}{\sqrt{4}} R_{31}(r) Y_{11}(\theta, \phi)\chi_{1/2}(s_z) + \sqrt{\frac{3}{4}} R_{32}(r) Y_{20}(\theta, \phi)\chi_{-1/2}(s_z)~ \] 求在 $\psi$ 态中测量氢原子能量 $E$、$L^2$、$L_z$、$s^2$、$s_z$ 的可能值和这些力学量的平均值。
五、一维运动的粒子处于状态 $\psi(x) = \begin{cases} Axe^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} $ 其中 $\lambda > 0, A$ 为待求的归一化常数。

1. 求归一化常数；
2. 求粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值。
3. 粒子动量的平均值和粒子动量平方的乎均值。

　　
六、设粒子处在宽度为 a 的非对称一维无限深势阱中(坐标原点取在势阱左侧阱壁处)，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表示。
七、质量为 $m$ 的粒子，在非对称一维无限深势阱中运动，若 $t=0$ 时，粒子处于 \[ \psi(x,0) = \sqrt{\frac{1}{2}} \varphi_1(x) - \sqrt{\frac{1}{3}} \varphi_2(x) + \frac{1}{2} \varphi_3(x)~ \] 状态上，其中，$\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x}{a}$ 为粒子的第 $n$ 个能量本征态。

1. 求 $t=0$ 时能量的可能值与相应的取值概率；
2. 求 $t>0$ 时的波函数 $\psi(x,t)$ 及能量的可能值与相应的取值概率。

　　
八、厄密算符 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$，满足 $\hat{A}^2 = \hat{B}^2 = 1$ 和 $\hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A} = 0$，求：在 $\hat{A}$ 表象中，$\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 的矩阵表示形式。
九、已知电子自旋在空间任一方向上的投影只有两个可能取值：$\pm \frac{\hbar}{2}$，试求电子自旋在空间任意方向 $\vec{n}$ 上的投影 $\hat S_n = \hat{\vec{S}} \cdot \vec{n} =\hat S_x \cos \alpha + \hat S_y \cos \beta + \hat S_z \cos \gamma$ 的归一化本征矢量。设单位矢量 $\vec{n}$ 的方向余弦为 $(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$。
十、设粒子被限制在矩形匣子中运动，即 $V(x,y,z) = \begin{cases} 0, & 0 < x < a, \, 0 < y < b, \, 0 < z < c \\ \infty, & \text{其他区域} \end{cases}$， 求粒子的能量本征值和本征波函数，当 $a=b=c$ 时，讨论能量的简并情况。
十一、有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场 $\vec{B}$ 的作用，磁场 $\vec{B}$ 指向 $x$ 轴正方向，磁相互作用为 $\hat{H} = \frac{eB}{\mu c} \hat{s}_x = \frac{eB\hbar}{2\mu c} \hat{\sigma}_x$。设 $t=0$ 时，电子的自旋向上，即 $S_z = \frac{\hbar}{2}$。求 $t=0$ 时 $\hat S_x, \hat S_y, \hat S_z$ 的平均值。
十二、设 $\hat{K} = \hat{L}\hat{M},\hat{L}\hat{M} - \hat{M}\hat{L}=1$，$\phi$ 为 $\hat{K}$ 的本征矢，即 $\hat{K}\phi = \lambda \phi$,$\lambda$ 为本征值。试证明 $\mu = \hat{L}\phi, \nu = \hat{M}\phi$ 也是 $\hat{K}$ 的本征矢，相应的本征值分别为 $\lambda - 1, \lambda + 1$。
十三、设在 $H^0$ 表象中，$\hat{H}$ 的矩阵为： \[ \hat{H} = \begin{pmatrix} E_1^{(0)} & 0 & a \\ 0 & E_2^{(0)} & 0 \\ a^\prime & 0^\prime & E_3^{(0)} \end{pmatrix} \quad E_1^{(0)} < E_2^{(0)} < E_3^{(0)}~ \] 试用微扰论求能量的二级修正。

2. 附

1. 一维线性谐振子的能量本征函数和能量本征值分别为： \[ \Psi_n(x) = \left(\frac{\alpha}{\sqrt{\pi} 2^n n!}\right)^\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2} \alpha^2 x^2} H_n(\alpha x), \quad \alpha = \sqrt{\frac{\mu\omega}{\hbar}}~ \] \[ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega, \quad n = 0,1,2,\dots~ \]
2. 氢原子能量本征值： \[ E_n = -\frac{\mu e^4}{32 \pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2} \frac{1}{n^2},~ \]
3. 定积分： \[ \int_0^{\infty} x^n e^{-\alpha x} \, dx = \frac{n!}{\alpha^{n+1}}, \quad \alpha > 0, \, n \text{为正整数}~ \]
4. 宽度为 $a$ 的非对称一维无限深势阱中，粒子的归一化能量本征函数为： \[ \psi_n = \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n\pi x}{a}, & 0 < x < a \\ 0, & x \leq 0 , x \geq a \end{cases}~ \] 能量本征值为： \[ E_n = \frac{n^2 \hbar^2 \pi^2}{2ma^2}, \quad n = 1,2,3,\dots \quad m \text{为粒子质量}~ \]
5. 不定积分： \[ \int x \cos ax \, dx = \frac{1}{a^2} \cos ax + \frac{x}{a} \sin ax + C~ \]