南京理工大学 2011 量子真题

贡献者： 待更新

　　 声明：“该内容来源于网络公开资料，不保证真实性，如有侵权请联系管理员”

1. 简答题（请考生在下列 12 题中选作 10 题，每题 6 分，共 60 分）：

　　 1. 一粒子的波函数为 $\psi (\mathbf{r}) = \psi (x, y, z)$，写出粒子位于 $x \sim x + d x$ 间的几率；用球坐标表示，粒子波函数表示为 $\psi (r, \theta, \varphi)$，写出粒子在球壳 $(r, r + \mathrm{d}r)$ 中被测到的几率，及在 $(\theta, \varphi)$ 方向的立体角 $\mathrm{d}\Omega$ 内找到粒子的几率；

　　 2. 何谓正常塞曼效应?何谓反常塞曼效应?何谓斯塔克效应？

　　 3.问下列算符是否是厄米算符，并指明原因:
(1)$\quad \ddot{x}_i,$
(2)$\quad \frac{1}{2}(\ddot{p}_i + \dot{p}_i \dot{x}_i)$

　　 4. 写出在 $\hat{S}^2$ 和 $\hat{S}_z$ 的共同表象中泡利矩阵的表示式。

　　 5. 一体系统由两个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态，分别为 $\varphi_1(q_1)$, $\varphi_j(q_1)$ 和 $\varphi_1(q_2)$, $\varphi_j(q_2)$。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

　　 6.对一个量子体系进行某一力学量的测量值，测最结果与表示力学量算符有什么关系?两个力学量同时具有确定值的条件是什么？

　　 7.多粒子系的一个基本特征是什么?何谓全同粒子？

　　 8. 下列波函数所描写的状态是否为定态？并说明其理由。

　　 (1) $\psi_1(x,t) = \varphi(x) e^{\frac{i \xi t}{\hbar}} + \varphi(x) e^{-\frac{i \xi t}{\hbar}}$

　　 (2) $\psi_2(x,t) = u(x) e^{\frac{i (x - \xi t)}{\hbar}} + v(x) e^{-\frac{i (x + \xi t)}{\hbar}}$

　　 9.已知 $\vec{L} \times \vec{L} = i\hbar \vec{L}$，问 $L_x, L_y, L_z$ 是否一定不能同时测定？说明原因或举例说明。

　　 10.与自由粒子相联系的波是什么波?与经典波有何差异？

　　 11.若两个力学量 $\hat{A}, \hat{B}$ 的对易关系式为 $[\hat{A}, \hat{B}] = i\hat k$，写出其测不准关系的严格表示式。

　　 12.写出轨道磁矩与轨道角动量的关系，自发角动量与自旋磁矩的关系。

2. 计算题（请考生在下列 7 题中任选 6 题，每题 15 分，共 90 分）：

　　 1. 由下列定态波函数数计算几率流密度：

　　 (1)$\psi_1 = \frac{1}{r} e^{ikr}$

　　 (2)$\psi_2 = \frac{1}{r} e^{-ikr}$

　　 从结果说明 $\psi_r$ 表示向外传播的球面波，$\psi_\ell$ 表示向内(即向原点)传播的球面波。 $\text{[提示：在球坐标中}\quad \nabla = \mathbf{e}_r \frac{\partial}{\partial r} + \mathbf{e}_\theta \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \mathbf{e}_\varphi \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}\text{]}]$

　　 2. 证明 $\psi (x,y,z) = x + y + z$ 是角动量算符 $l^2$ 的本征值为 $2\hbar^2$ 的本征函数。

　　 3. 证明下列对易关系 $[ \hat{y}, \hat{z} ] = i\hbar \hat{x}$，$[\hat{z}, \hat{x}] = i\hbar \hat{y}$，$[\hat{x}, \hat{y}] = i\hbar \hat{z}$ 和 $[l_i, p_j] = 0$。

　　 4.线性谐振子在初始时刻处于归一化状态: $\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} \psi_0(x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_2(x) + c_5 \psi_5(x)$

　　 式中 $\psi_n(x)$ 表示谐振子第 $n$ 个定态波函数，求：

　　 (1)系数 $c_5$？

　　 (2)写出 $t$ 时刻的波函数；

　　 (3)$t=0$ 时刻谐振子的能量的可能取值及其相应几率，并求其平均值

　　 5. 求自旋角动量在 $(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 方向上的投影 $[\hat{S}_n = \hat{S}_x \cos \alpha + \hat{S}_y \cos \beta + \hat{S}_z \cos \gamma]$ 的本征值和本征函数。

　　 6.对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为 $ \exp\left(-\lambda x^2\right) $，$\lambda$ 为变分参数。用变分法求基态能量，并与严格解比较。

　　 $\left[ \text{提示：} \int_{0}^{\infty} x^{2n} e^{-ax^2} dx = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2^{n+1} a^n} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \right]$

　　 7.设 $\left| n \right\rangle (n = 0, 1, 2, 3, \ldots)$ 表示一维谐振子的能量本征态，且已知

　　 $x|n\rangle = \frac{1}{\alpha} \left[ \sqrt{\frac{n+1}{2}} |n+1\rangle + \sqrt{\frac{n}{2}} |n-1\rangle \right], \quad \alpha = \sqrt{\frac{\mu \omega}{\hbar}}$

　　 (1) 求矩阵元 $\left\langle m \left| x^2 \right| n \right\rangle$

　　 (2) 设谐振子在 t = 0 时处于基态 $\left| 0 \right\rangle$，从 t > 0 开始受微扰 $H' = x^2 \exp\left(-2kt\right) $ (k 为常数，且 k > 0) 的作用，求经充分长时间 $t \to \infty$ 以后体系跃迁到 $\left| 2 \right\rangle$ 态的几率。