李代数（综述）

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　　本文根据 CC-BY-SA 协议转载翻译自维基百科相关文章。

　　在数学中，李代数（发音为 /liː/，LEE）是一个向量空间 \( \mathfrak{g} \)，配有一个名为李括号的运算，它是一个交替双线性映射 \(\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}\)，满足雅可比恒等式。换句话说，李代数是一个定义在域上的代数，其中的乘法运算（称为李括号）是交替的，并且满足雅可比恒等式。两个向量 \(x\) 和 \(y\) 的李括号记作 \(xy\)。李代数通常是一个非结合代数。然而，每个结合代数都可以生成一个李代数，该李代数由相同的向量空间构成，且使用交换子李括号，即 \([x,y]=xy-yx\)。

　　李代数与李群密切相关，李群是既是群又是光滑流形的群：每个李群都会生成一个李代数，该李代数是单位元处的切空间。（在这种情况下，李括号衡量了李群不满足交换律的程度。）反过来，任何定义在实数或复数上的有限维李代数，都有一个对应的连通李群，且唯一性仅限于覆盖空间（李的第三定理）。这种对应关系使得我们能够通过李代数这一线性代数的简化对象来研究李群的结构和分类。

　　更详细地说：对于任何李群，单位元 1 附近的乘法操作在一阶近似下是交换的。换句话说，每个李群 \( G \) 在一阶近似下大致是一个实向量空间，即 \( G \) 在单位元处的切空间 \( \mathfrak{g} \)。在二阶近似下，群操作可能是非交换的，描述 \( G \) 在单位元附近不交换性的二阶项赋予了 \( \mathfrak{g} \) 李代数的结构。一个显著的事实是，这些二阶项（李代数）完全决定了 \( G \) 在单位元附近的群结构。它们甚至决定了 \( G \) 的全局结构，直到覆盖空间为止。

　　在物理学中，李群作为物理系统的对称群出现，它们的李代数（单位元附近的切向量）可以被看作是无穷小的对称运动。因此，李代数及其表示在物理学中被广泛使用，特别是在量子力学和粒子物理学中。

　　一个基础的例子（并非直接来自一个结合代数）是三维空间 \(\mathfrak{g} = \mathbb{R}^3\)，其李括号由叉积定义：\([x, y] = x \times y.\) 这是反对称的，因为 \(x \times y = -y \times x\),并且它不满足结合性，而是满足雅可比恒等式： \[x \times (y \times z) + y \times (z \times x) + z \times (x \times y) = 0.~\] 这是空间旋转群的李代数，每个向量 \(v \in \mathbb{R}^3\) 可以被视为绕轴 \(v\) 的无穷小旋转，角速度等于 \(v\) 的大小。李括号是衡量两个旋转之间不交换性的工具。由于旋转与自身交换，因此具有交替性质：\([x, x] = x \times x = 0\).

1. 历史

　　李代数是由索福斯·李（Sophus Lie）在 1870 年代提出的，用于研究无穷小变换的概念，[1] 并在 1880 年代由威廉·基林（Wilhelm Killing）独立发现。[2] "李代数" 这一名称由赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）在 1930 年代提出；在早期的文献中，常用 “无穷小群”（infinitesimal group）这一术语。

2. 李代数的定义

　　李代数是一个在域 \( F \) 上的向量空间 \( \mathfrak{g} \)，并且具有一个二元运算叫做李括号 \( [\cdot, \cdot]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \)，满足以下公理：

双线性： \[ [ax + by, z] = a[x, z] + b[y, z], \quad [z, ax + by] = a[z, x] + b[z, y]~ \] 对于所有标量 \( a, b \in F \) 和所有元素 \( x, y, z \in \mathfrak{g} \)。
交替性质： \[ [x, x] = 0 \quad \text{对于所有} \ x \in \mathfrak{g}~ \]
雅可比恒等式： \[ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0~ \]

　　对于所有 \( x, y, z \in \mathfrak{g} \)。

　　给定一个李群，其李代数的雅可比恒等式可以从群运算的结合性得到。

　　使用双线性展开李括号 \( [x + y, x + y] \) 并利用交替性质可以得到：\([x, y] + [y, x] = 0\) 对于所有 \( x, y \in \mathfrak{g} \)。因此，双线性和交替性质共同意味着：

反交换性： \[ [x, y] = -[y, x]~ \] 对于所有 \( x, y \in \mathfrak{g} \)。如果域的特征不为 2，则反交换性意味着交替性质，因为它意味着：\([x, x] = -[x, x]\)

　　通常，李代数用哥特体字母表示，例如 \( \mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \mathfrak{b}, \mathfrak{n} \)。如果一个李代数与一个李群相关联，则该代数用群名称的花体字母表示：例如，SU(n) 的李代数为 \( \mathfrak{su}(n) \)。

生成元与维度

　　李代数的维度指的是它作为一个向量空间的维度。在物理学中，李群 \( G \) 的李代数的一个向量空间基可以称为 \( G \) 的生成元集合（可以说它们是 \( G \) 的 “无穷小生成元”）。在数学中，李代数 \( \mathfrak{g} \) 的一组生成元集合 \( S \) 指的是 \( \mathfrak{g} \) 的一个子集，使得任何包含 \( S \) 的李子代数（如下定义）必须是整个 \( \mathfrak{g} \)。等价地，\( \mathfrak{g} \) 是由 \( S \) 中所有元素的迭代括号生成的（作为一个向量空间）。

3. 基本例子

阿贝尔李代数

　　任何赋予零李括号的向量空间 \( V \) 都是一个李代数。这样的李代数称为阿贝尔李代数。由于李括号的交替性，任何一维李代数都是阿贝尔李代数。

李代数的矩阵

在一个代数体 \( A \) 上，如果定义乘法为 \( xy \)，则可以通过交换子来定义李括号： \([x, y] = xy - yx\) 有了这个括号，\( A \) 就是一个李代数。（李代数的雅可比恒等式来源于 \( A \) 上乘法的结合性。）
一个带有上述李括号的 \( F \)-向量空间 \( V \) 的自同构环记作 \( \mathfrak{gl}(V) \)。
对于一个域 \( F \) 和正整数 \( n \)，\( F \) 上的 \( n \times n \) 矩阵空间，记作 \( \mathfrak{gl}(n,F) \) 或 \( \mathfrak{gl}_n(F) \)，它是一个李代数，括号由矩阵的交换子给出：\([X, Y] = XY - YX\) 这是前面例子的一个特例；它是李代数的一个关键例子，称为一般线性李代数。当 \( F \) 为实数时，\( \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \) 是一般线性群 \( \mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) \) 的李代数，\( \mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) \) 是可逆的 \( n \times n \) 实矩阵（或等价地，行列式非零的矩阵）组成的群，其中群运算是矩阵乘法。类似地，\( \mathfrak{gl}(n, \mathbb{C}) \) 是复李群 \( \mathrm{GL}(n, \mathbb{C}) \) 的李代数。 \( \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \) 上的李括号描述了矩阵乘法的不交换性，或等价地，线性映射组合的不交换性。对于任意域 \( F \)，\( \mathfrak{gl}(n, F) \) 可以看作代数群 \( \mathrm{GL}(n) \) 在 \( F \) 上的李代数。

4. 定义

子代数、理想和同态

　　李括号不要求具有结合性，这意味着 \([[x,y],z] \neq [x,[y,z]]\) 然而，许多与结合代数环（和群）相关的术语，对于李代数也有类似的概念。一个李子代数是一个线性子空间 \( \mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g} \)，它对李括号是封闭的。一个理想 \( \mathfrak{i} \subseteq \mathfrak{g} \) 是一个线性子空间，满足更强的条件： \[ [\mathfrak{g}, \mathfrak{i}] \subseteq \mathfrak{i}~ \] 在李群与李代数之间的对应关系中，子群对应于李子代数，正规子群对应于理想。

　　一个李代数同态是一个与相应李括号兼容的线性映射： \[ \phi \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}, \quad \phi([x,y]) = [\phi(x), \phi(y)] \quad \text{对于所有} \, x, y \in \mathfrak{g}.~ \] 一个李代数的同构是一个双射同态。

　　与群中的正规子群类似，李代数中的理想恰好是同态的核。给定一个李代数 \( \mathfrak{g} \) 和它的一个理想 \( \mathfrak{i} \)，商李代数 \( \mathfrak{g}/\mathfrak{i} \) 被定义，并且存在一个李代数的满同态映射 \( \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i} \)。李代数的第一同构定理成立：对于任何李代数同态 \( \phi \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{h} \)，\( \phi \) 的像是 \( \mathfrak{h} \) 中一个李子代数，并且与 \( \mathfrak{g}/\text{ker}(\phi) \) 同构。

　　对于李群的李代数，李括号是一种无穷小的交换子。因此，对于任何李代数，两个元素 \( x, y \in \mathfrak{g} \) 被称为交换的，如果它们的李括号为零：\([x,y] = 0\)

　　一个子集 \( S \subset \mathfrak{g} \) 的中心化子代数是与 \( S \) 中所有元素交换的元素集合，即 \(\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(S) = \{ x \in \mathfrak{g} : [x,s] = 0 \ \text{对所有} \ s \in S \}\) 李代数 \( \mathfrak{g} \) 本身的中心是其中心 \( \mathfrak{z}(\mathfrak{g}) \)。类似地，对于一个子空间 \( S \)，\( S \) 的正规化子代数是 \(\mathfrak{n}_{\mathfrak{g}}(S) = \{ x \in \mathfrak{g} : [x,s] \in S \ \text{对所有} \ s \in S \}\) 如果 \( S \) 是一个李子代数，\( \mathfrak{n}_{\mathfrak{g}}(S) \) 是最大的子代数，使得 \( S \) 是 \( \mathfrak{n}_{\mathfrak{g}}(S) \) 的理想。

例子

　　李代数 \( \mathfrak{t}_n \) 中的对角矩阵子空间是 \( \mathfrak{gl}(n,F) \) 的一个交换李子代数。（它是 \( \mathfrak{gl}(n) \) 的一个卡尔坦子代数，类似于紧李群理论中的最大托罗斯。）在这里，当 \( n \geq 2 \) 时，\( \mathfrak{t}_n \) 不是 \( \mathfrak{gl}(n) \) 的理想。例如，当 \( n = 2 \) 时，这可以通过以下计算得出： \[ \left[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} \right] = \begin{bmatrix} ax & by \\ cx & dy \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} ax & bx \\ cy & dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & b(y - x) \\ c(x - y) & 0 \end{bmatrix}~ \] （这不一定总是在 \( \mathfrak{t}_2 \) 中）。

　　每个李代数 \( \mathfrak{g} \) 的一维线性子空间都是一个交换李子代数，但它不一定是理想。

积和半直积

　　对于两个李代数 \( \mathfrak{g} \) 和 \( \mathfrak{g'} \)，积李代数是向量空间 \( \mathfrak{g} \times \mathfrak{g'} \)，由所有有序对 \( (x, x') \)，其中 \( x \in \mathfrak{g} \) 且 \( x' \in \mathfrak{g'} \) 组成，李括号定义为： \[ [(x,x'),(y,y')] = ([x,y], [x',y']).~ \] 这是李代数范畴中的积。注意，\( \mathfrak{g} \) 和 \( \mathfrak{g'} \) 在 \( \mathfrak{g} \times \mathfrak{g'} \) 中的副本彼此交换：\([(x,0),(0,x')] =0\)

　　设 \( \mathfrak{g} \) 是一个李代数，\( \mathfrak{i} \) 是 \( \mathfrak{g} \) 的一个理想。如果标准映射 \( \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i} \) 是可分裂的（即存在一个李代数同态的截面 \( \mathfrak{g}/\mathfrak{i} \to \mathfrak{g} \)），则称 \( \mathfrak{g} \) 是 \( \mathfrak{i} \) 和 \( \mathfrak{g}/\mathfrak{i} \) 的半直积，记作：\(\mathfrak{g} = \mathfrak{g}/\mathfrak{i} \ltimes \mathfrak{i}.\) 另见李代数的半直和。

导数算子

　　对于一个在域 \( F \) 上的代数 \( A \)，\( A \) 关于 \( F \) 的导数算子是一个线性映射 \( D \colon A \to A \)，它满足莱布尼茨法则： \[ D(xy) = D(x)y + xD(y)~ \] 对于所有 \( x, y \in A \)。这个定义对于可能是非结合的代数也是有意义的。给定两个导数算子 \( D_1 \) 和 \( D_2 \)，它们的对易子定义为：\([D_1, D_2] := D_1D_2 - D_2D_1\) 这个对易子仍然是一个导数算子。这个操作使得 \( A \) 上的所有导数算子构成的空间 \( \text{Der}_k(A) \) 成为一个李代数。

　　非正式地讲，代数 \( A \) 的导数算子空间是 \( A \) 自同构群的李代数。（当自同构群是李群时，这在字面上是成立的，例如当 \( F \) 是实数且 \( A \) 作为向量空间的维数有限时。）因此，导数算子空间是构造李代数的自然方式：它们是 \( A \) 的 “无穷小自同构”。事实上，写出如下条件： \[ (1 + \epsilon D)(xy) \equiv (1 + \epsilon D)(x) \cdot (1 + \epsilon D)(y) \pmod{\epsilon^2}~ \] （其中 1 表示 \( A \) 上的恒等映射）正好给出了 \( D \) 是导数算子的定义。

　　 例子：向量场的李代数设 \( A \) 是光滑流形 \( X \) 上的光滑函数环 \( C^{\infty}(X) \)。那么，\( A \) 关于 \( \mathbb{R} \) 的导数算子等价于 \( X \) 上的向量场。（一个向量场 \( v \) 通过在 \( v \) 方向上对函数进行微分，给出光滑函数空间的导数算子。）这使得向量场空间 \( \text{Vect}(X) \) 成为一个李代数（见向量场的李括号）。非正式地讲，\( \text{Vect}(X) \) 是 \( X \) 上微分同胚群的李代数。因此，向量场的李括号描述了微分同胚群的非交换性。一个李群 \( G \) 在流形 \( X \) 上的作用决定了一个李代数的同态：\(\mathfrak{g} \to \text{Vect}(X)\) （下面将举例说明。）

　　一个李代数可以看作是一个非结合代数，因此，每个在域 \( F \) 上的李代数 \( \mathfrak{g} \) 决定了它的导数李代数 \( \text{Der}_F(\mathfrak{g}) \)。也就是说，\( \mathfrak{g} \) 的一个导数算子是一个线性映射：\(D \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}\) 满足： \[ D([x,y]) = [D(x),y] + [x,D(y)]~ \] 对于所有 \( x, y \in \mathfrak{g} \)。与任意 \( x \in \mathfrak{g} \) 相关的内导数算子是伴随映射 \( \mathrm{ad}_x \)，定义为：\(\mathrm{ad}_x(y) := [x, y]\)（这是导数算子，因为它是雅可比恒等式的结果。）这给出了一个李代数的同态：\(\mathrm{ad} \colon \mathfrak{g} \to \text{Der}_F(\mathfrak{g})\) 其像 \( \text{Inn}_F(\mathfrak{g}) \) 是 \( \text{Der}_F(\mathfrak{g}) \) 中的一个理想，而外导数李代数定义为商李代数：\(\text{Out}_F(\mathfrak{g}) = \text{Der}_F(\mathfrak{g}) / \text{Inn}_F(\mathfrak{g})\)（这与群的外自同构群完全类似。）对于一个特征为零的半单李代数（见下文定义），每个导数算子都是内导数算子。这与半单李群的外自同构群是有限的定理有关。

　　相比之下，阿贝尔李代数有许多外导数算子。即，对于一个李括号为零的向量空间 \( V \)，李代数 \( \text{Out}_F(V) \) 可以与 \( \mathfrak{gl}(V) \) 同构。

5. 例子

矩阵李代数

　　一个矩阵群是一个包含可逆矩阵的李群，记作 \( G \subset \mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) \)，其中 \( G \) 的群运算是矩阵乘法。相应的李代数 \( \mathfrak{g} \) 是与 \( G \) 相切的矩阵空间，位于线性空间 \( M_n(\mathbb{R}) \) 中：它由李群 \( G \) 中平滑曲线在单位矩阵 \( I \) 处的导数组成： \[ \mathfrak{g} = \{ X = c'(0) \in M_n(\mathbb{R}) : \text{平滑曲线 } c : \mathbb{R} \to G, \ c(0) = I \}.~ \] 李代数 \( \mathfrak{g} \) 的李括号由矩阵的交换子给出：\([X, Y] = XY - YX\). 给定李代数 \( \mathfrak{g} \subset \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \)，可以通过矩阵指数运算从 \( \mathfrak{g} \) 中的元素恢复李群。具体地说，若 \( G \) 是连通的，那么这个过程给出了 \( G \) 的单位成分。这里的指数映射 \(\exp : M_n(\mathbb{R}) \to M_n(\mathbb{R})\) 定义为 \( \exp\left(X\right) = I + X + \frac{1}{2!}X^2 + \frac{1}{3!}X^3 + \cdots\),这个级数对每个矩阵 \( X \) 都是收敛的。

　　相同的评论也适用于复数李子群 \( \mathrm{GL}(n, \mathbb{C}) \) 和复矩阵指数：\(\exp : M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})\),其定义与实数情况相同。

　　这里是一些矩阵李群及其李代数的例子。[14]

对于一个正整数 \( n \)，特殊线性群 \( \mathrm{SL}(n, \mathbb{R}) \) 包含所有行列式为 1 的实 \( n \times n \) 矩阵。这个群是从 \( \mathbb{R}^n \) 到自身的线性映射群，它们保持体积和方向性。更抽象地，\( \mathrm{SL}(n, \mathbb{R}) \) 是一般线性群 \( \mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) \) 的交换子群。它的李代数 \( \mathfrak{sl}(n, \mathbb{R}) \) 包含所有迹为 0 的实 \( n \times n \) 矩阵。类似地，可以定义对应的复数李群 \( \mathrm{SL}(n, \mathbb{C}) \) 及其李代数 \( \mathfrak{sl}(n, \mathbb{C}) \)。
正交群 \( \mathrm{O}(n) \) 在几何中起着基本作用：它是从 \( \mathbb{R}^n \) 到自身的线性映射群，这些映射保持向量的长度。例如，旋转和反射属于 \( \mathrm{O}(n) \)。等价地，这是所有 \( n \times n \) 的正交矩阵的群，意味着 \( A^{\mathrm{T}} = A^{-1} \)，其中 \( A^{\mathrm{T}} \) 表示矩阵的转置。正交群有两个连通分支；其中单位分支叫做特殊正交群 \( \mathrm{SO}(n) \)，它由行列式为 1 的正交矩阵组成。两个群具有相同的李代数 \( \mathfrak{so}(n) \)，即在 \( \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \) 中的反对称矩阵子空间（即 \( X^{\mathrm{T}} = -X \)）。参见反对称矩阵的微分旋转。复数正交群 \( \mathrm{O}(n, \mathbb{C}) \)、它的单位分支 \( \mathrm{SO}(n, \mathbb{C}) \)，以及李代数 \( \mathfrak{so}(n, \mathbb{C}) \) 由应用于 \( n \times n \) 复矩阵的相同公式给出。等价地，\( \mathrm{O}(n, \mathbb{C}) \) 是 \( \mathrm{GL}(n, \mathbb{C}) \) 的一个子群，保持 \( \mathbb{C}^n \) 上的标准对称双线性形式。
酉群 \( \mathrm{U}(n) \) 是复数线性群 \( \mathrm{GL}(n, \mathbb{C}) \) 的一个子群，保持 \( \mathbb{C}^n \) 中向量的长度（相对于标准的厄米内积）。等价地，这是所有 \( n \times n \) 酉矩阵的群（满足 \( A^{*} = A^{-1} \)，其中 \( A^{*} \) 表示矩阵的共轭转置）。它的李代数 \( \mathfrak{u}(n) \) 由 \( \mathfrak{gl}(n, \mathbb{C}) \) 中的反厄米矩阵组成（即 \( X^{*} = -X \)）。这是一个实数上的李代数，而不是复数上的李代数。（事实上，反厄米矩阵乘以虚数单位 \( i \) 得到的是厄米矩阵，而不是反厄米矩阵。）同样，酉群 \( \mathrm{U}(n) \) 是复数李群 \( \mathrm{GL}(n, \mathbb{C}) \) 的一个实李子群。例如，\( \mathrm{U}(1) \) 是圆群，它的李代数（从这个角度来看）是 \( i\mathbb{R} \subset \mathbb{C} = \mathfrak{gl}(1, \mathbb{C}) \)。
特殊酉群 \( \mathrm{SU}(n) \) 是酉群 \( \mathrm{U}(n) \) 中行列式为 1 的子群。它的李代数 \( \mathfrak{su}(n) \) 由行列式为零的反厄米矩阵组成。
辛群 \( \mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R}) \) 是复数线性群 \( \mathrm{GL}(2n, \mathbb{R}) \) 的子群，它保持 \( \mathbb{R}^{2n} \) 上的标准交替双线性型。它的李代数是辛李代数 \( \mathfrak{sp}(2n, \mathbb{R}) \)。
经典李代数包括上述李代数及其在任意域上的变体。

二维

　　这里描述了一些低维李代数的例子。有关更多示例，请参见低维实李代数的分类。

对于任何域 \( F \)，存在唯一的二维非阿贝尔李代数 \( \mathfrak{g} \)，同构不唯一。[15] 其中，李代数 \( \mathfrak{g} \) 有一个基 \( X, Y \)，其李括号由以下关系给出：\([X, Y] = Y\). （这完全确定了李括号，因为公理意味着 \( [X, X] = 0 \) 和 \( [Y, Y] = 0 \)。）在实数域上，李代数 \( \mathfrak{g} \) 可以视为李群 \( G = \mathrm{Aff}(1, \mathbb{R}) \) 的李代数，后者是实数线的仿射变换群，变换形式为 \( x \mapsto ax + b \)。仿射群 \( G \) 可以与矩阵群 \[ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & 1 \end{array} \right)~ \] 在矩阵乘法下同构，其中 \( a, b \in \mathbb{R} \)，且 \( a \neq 0 \)。它的李代数是 \( \mathfrak{g} \)，即 \( \mathfrak{gl}(2, \mathbb{R}) \) 中的子代数，由所有矩阵 \[ \left( \begin{array}{cc} c & d \\ 0 & 0 \end{array} \right)~ \] 组成。在这些术语中，李代数 \( \mathfrak{g} \) 的基是由矩阵 \[ X = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right), \quad Y = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)~ \] 给出的。对于任何域 \( F \)，一维子空间 \( F \cdot Y \) 是二维李代数 \( \mathfrak{g} \) 的一个理想，满足以下公式：\([X, Y] = Y \in F \cdot Y\). 李代数 \( F \cdot Y \) 和 \( \mathfrak{g} / (F \cdot Y) \) 都是阿贝尔的（因为是一维的）。从这个角度来看，李代数 \( \mathfrak{g} \) 可以分解为阿贝尔的 “部分”，这意味着它是可解的（但不是幂零的），用下面的术语来说。

三维

海森堡代数 \( \mathfrak{h}_3(F) \) 是定义在域 \( F \) 上的三维李代数，具有基 \( X, Y, Z \)，其李括号满足以下关系：[16] \[ [X, Y] = Z, \quad [X, Z] = 0, \quad [Y, Z] = 0.~ \] 它可以被看作是 3×3 严格上三角矩阵的李代数，李括号为交换子，基为： \[ X = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \quad Y = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \quad Z = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right).~ \] 在实数域 \( \mathbb{R} \) 上，\( \mathfrak{h}_3(\mathbb{R}) \) 是海森堡群 \( H_3(\mathbb{R}) \) 的李代数，也就是说，它是矩阵群 \[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)~ \] 在矩阵乘法下的李代数。对于任何域 \( F \)，李代数 \( \mathfrak{h}_3(F) \) 的中心是一维理想 \( F \cdot Z \)，而商代数 \( \mathfrak{h}_3(F) / (F \cdot Z) \) 是阿贝尔的，同构于 \( F^2 \)。根据下面的术语，可以得出 \( \mathfrak{h}_3(F) \) 是幂零的（但不是阿贝尔的）。
李代数 \( \mathfrak{so}(3) \) 是旋转群 \( \mathrm{SO}(3) \) 的李代数，它是实数域 \( \mathbb{R} \) 上的反对称 3×3 矩阵空间。其基由以下三个矩阵给出：[17] \[ F_1 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right), \quad F_2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right), \quad F_3 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right).~ \] 这些生成元之间的交换关系为： \[ [F_1, F_2] = F_3, \quad [F_2, F_3] = F_1, \quad [F_3, F_1] = F_2.~ \] 在 \( \mathbb{R}^3 \) 中，向量的叉乘可以通过标准基表示同样的公式来给出；因此，这个李代数同构于 \( \mathfrak{so}(3) \)。此外，李代数 \( \mathfrak{so}(3) \) 等价于量子力学中自旋-1 粒子的自旋角动量分量算符。[18] 李代数 \( \mathfrak{so}(3) \) 无法像前面的例子那样被分解成几个部分：它是简单的，这意味着它不是阿贝尔的，并且它唯一的理想是零和整个 \( \mathfrak{so}(3) \) 本身。
另一个简单的李代数，维数为 3，这里是复数域 \( \mathbb{C} \) 上的李代数 \( \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \)，它是所有迹为零的 2×2 矩阵的空间。其基由以下三个矩阵给出： \[ H = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right), \quad E = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right), \quad F = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right).~ \]

图 1：李代数 \( \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \) 在黎曼球面 \( \mathbb{CP}^1 \) 上的作用。特别地，所示向量场的李括号为：\([H, E] = 2E, \quad [H, F] = -2F, \quad [E, F] = H\)
李括号由以下公式给出： \[ [H, E] = 2E, \quad [H, F] = -2F, \quad [E, F] = H.~ \] 使用这些公式，可以证明李代数 \( \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \) 是简单的，并且可以对其有限维表示进行分类（见下文定义）。在量子力学的术语中，可以将 \( E \) 和 \( F \) 看作是升降算符。实际上，对于李代数 \( \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \) 的任何表示，上述关系意味着 \( E \) 将 \( H \) 的 \( c \)-特征子空间（对于复数 \( c \)）映射到 \( (c+2) \)-特征子空间，而 \( F \) 将 \( c \)-特征子空间映射到 \( (c-2) \)-特征子空间。李代数 \( \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \) 与 \( \mathfrak{so}(3) \) 的复化同构，即 \( \mathfrak{so}(3) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \) 的张量积。在 \( \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \) 的情况下，李括号的公式更容易分析。因此，常通过将 \( \mathrm{SO}(3) \) 群的复表示与李代数 \( \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \) 的表示关联来分析 \( \mathrm{SO}(3) \) 的复表示。

无限维度

正维数的光滑流形上的向量场的李代数是一个无限维的李代数，定义在实数域 \( \mathbb{R} \) 上。
Kac–Moody 李代数是一个庞大的无限维李代数类，定义在复数域 \( \mathbb{C} \) 上，结构类似于有限维简单李代数（例如 \( \mathfrak{sl}(n, \mathbb{C}) \)）。
Moyal 李代数是一个包含所有经典李代数作为子代数的无限维李代数。
Virasoro 李代数在弦理论中非常重要。
将一个李代数映射到其基础向量空间的函子有一个左伴随函子 \( V \mapsto L(V) \)，称为在向量空间 \( V \) 上的自由李代数。它由 \( V \) 中元素的所有反复李括号所生成，仅以李代数定义中的关系为模。当 \( V \) 的维数至少为 2 时，自由李代数 \( L(V) \) 是无限维的。[20]

6. 表示

定义

　　给定一个向量空间 \( V \)，令 \( \mathfrak{gl}(V) \) 表示由所有从 \( V \) 到自身的线性映射组成的李代数，其中李括号由 \( [X,Y] = XY - YX \) 给出。李代数 \( \mathfrak{g} \) 在 \( V \) 上的表示是一个李代数同态： \[ \pi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)~ \] 也就是说，\( \pi \) 将 \( \mathfrak{g} \) 中的每个元素映射到一个从 \( V \) 到自身的线性映射，使得 \( \mathfrak{g} \) 上的李括号对应于线性映射的交换子。

　　如果表示的核是零，则称该表示是忠实的。Ado 定理表明，任何定义在特征为零的域上的有限维李代数都具有在有限维向量空间上的忠实表示。Kenkichi Iwasawa 将此结果扩展到任何特征的域上的有限维李代数。[21] 等价地，任何定义在域 \( F \) 上的有限维李代数都同构于某个正整数 \( n \) 下的李子代数 \( \mathfrak{gl}(n,F) \)。

伴随表示

　　对于任何李代数 \( \mathfrak{g} \)，伴随表示是由以下映射给出的表示： \[ \operatorname{ad} : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})~ \] 定义为 \(\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y]\)（这是由雅可比恒等式给出的 \( \mathfrak{g} \) 的表示）。

表示论的目标

　　李代数研究的一个重要方面（特别是对半单李代数的研究，如下所定义）是研究其表示。虽然阿多定理是一个重要结果，但表示论的主要目标并不是找到一个给定李代数 \( \mathfrak{g} \) 的忠实表示。实际上，在半单的情况下，伴随表示本身已经是忠实的。相反，目标是理解 \( \mathfrak{g} \) 的所有可能表示。对于一个特征为零的域上的半单李代数，威尔定理[22]指出，每一个有限维表示都是不可约表示的直接和（即没有非平凡不变子空间的表示）。从多个角度来看，有限维不可约表示已经得到了充分理解；有关半单李代数的表示论以及威尔字符公式的更多信息，参见相关文献。

普遍包络代数

　　将域 \( F \) 上的一个结合代数 \( A \) 转换为李代数（通过定义李括号为 \( [X,Y] := XY - YX \)）的函子有一个左伴随函数 \( \mathfrak{g} \mapsto U(\mathfrak{g}) \)，称为普遍包络代数。构造过程如下：给定一个域 \( F \) 上的李代数 \( \mathfrak{g} \)，令 \[ T(\mathfrak{g}) = F \oplus \mathfrak{g} \oplus (\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}) \oplus (\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}) \oplus \cdots~ \] 是李代数 \( \mathfrak{g} \) 上的张量代数，也称为向量空间 \( \mathfrak{g} \) 上的自由结合代数。这里，\( \otimes \) 表示 \( F \)-向量空间的张量积。令 \( I \) 为 \( T(\mathfrak{g}) \) 中由元素 \( XY - YX - [X,Y] \)（其中 \( X, Y \in \mathfrak{g} \)）生成的二面理想，那么普遍包络代数是商环 \(U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g}) / I\).

　　它满足庞加莱-比尔霍夫-维特定理：如果 \( e_1, \dots, e_n \) 是 \( \mathfrak{g} \) 作为 \( F \)-向量空间的基，那么 \( U(\mathfrak{g}) \) 的基由所有有序乘积 \( e_1^{i_1} \cdots e_n^{i_n} \) 给出，其中 \( i_1, \dots, i_n \) 是自然数。特别地，映射 \( \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g}) \) 是单射。[23]

　　李代数 \( \mathfrak{g} \) 的表示与普遍包络代数上的模等价。由于 \( \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g}) \) 是单射，这意味着每个李代数（可能是无限维的）都有一个忠实表示（可能是无限维的），即它在 \( U(\mathfrak{g}) \) 上的表示。这也表明每个李代数都包含在某些结合代数所关联的李代数中。

李代数表示理论在物理学中的应用

　　李代数的表示理论在理论物理的多个领域中扮演着重要角色。在这些领域中，研究者考虑满足特定自然对易关系的态空间算符。这些对易关系通常来自问题的对称性——具体来说，它们是相关对称群的李代数的关系。一个例子是角动量算符，其对易关系是旋转群 \(SO(3)\) 的李代数 \(\mathfrak{so}(3)\) 的关系。通常，态空间在相关算符作用下远非不可约的，但可以尝试将其分解为不可约的部分。在此过程中，需要知道给定李代数的不可约表示。例如，在氢原子研究中，量子力学教科书通常会（或多或少明确地）对李代数 \(\mathfrak{so}(3)\) 的有限维不可约表示进行分类。[18]

7. 结构理论与分类

　　李代数在一定程度上可以进行分类。这是对李群进行分类的一种强大方法。

交换子、幂零和可解

　　类似于交换群、幂零群和可解群的情况，可以定义交换、幂零和可解的李代数。

　　一个李代数 \({\mathfrak {g}}\) 是交换的，如果李括号为零；即，对于所有 \(x\) 和 \(y\) 在 \({\mathfrak {g}}\) 中，\([x,y] = 0\)。特别地，交换李群（例如加法群 \(\mathbb {R} ^{n}\) 或圆群 \(\mathbb {T} ^{n}\)）的李代数是交换的。每一个有限维的交换李代数都同构于某个 \(n\)-维向量空间 \({\mathbb {F}}^{n}\)，其中 \(n \geq 0\)，表示一个李括号为零的 \(n\)-维向量空间。

　　李代数的一个更一般的类是通过给定长度的所有交换子消失来定义的。首先，李代数 \({\mathfrak {g}}\) 的交换子子代数（或导出子代数）是 \([{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\)，意味着由所有括号 \([x,y]\)（其中 \(x,y \in {\mathfrak {g}}\)）所生成的线性子空间。交换子子代数是 \({\mathfrak {g}}\) 中的一个理想，实际上是使得商李代数为交换的最小理想。它类似于群的交换子子群。

　　一个李代数 \(\mathfrak{g}\) 是幂零的，如果其下中央系列 \[ \mathfrak{g} \supseteq [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] \supseteq [[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}], \mathfrak{g}] \supseteq [[[{\mathfrak{g}}, {\mathfrak{g}}], \mathfrak{g}], \mathfrak{g}] \supseteq \cdots~ \] 在有限步之后变为零。等价地，\(\mathfrak{g}\) 是幂零的，如果存在一系列有限的理想 \[ 0 = \mathfrak{a}_0 \subseteq \mathfrak{a}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathfrak{a}_r = \mathfrak{g}~ \] 使得每个 \(j\)，商代数 \(\mathfrak{a}_j / \mathfrak{a}_{j-1}\) 在商代数 \(\mathfrak{g} / \mathfrak{a}_{j-1}\) 中是中央的。根据恩格尔定理，一个李代数在任何域上是幂零的，当且仅当对于每个 \(u \in \mathfrak{g}\)，其伴随自同构 \[ \operatorname{ad}(u): \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}, \quad \operatorname{ad}(u)v = [u, v]~ \] 是幂零的。

　　更一般地，李代数 \(\mathfrak{g}\) 被称为可解的，如果其导数系列： \[ \mathfrak{g} \supseteq [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] \supseteq [[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}], [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]] \supseteq [[[{\mathfrak{g}}, {\mathfrak{g}}], [{\mathfrak{g}}, {\mathfrak{g}}]], [[{\mathfrak{g}}, {\mathfrak{g}}], [{\mathfrak{g}}, {\mathfrak{g}}]]] \supseteq \cdots~ \] 在有限步之后变为零。等价地，\(\mathfrak{g}\) 是可解的，如果存在一系列有限的李子代数 \[ 0 = \mathfrak{m}_0 \subseteq \mathfrak{m}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathfrak{m}_r = \mathfrak{g}~ \] 使得每个 \(j\)，\(\mathfrak{m}_{j-1}\) 是 \(\mathfrak{m}_j\) 的理想，并且每个商代数 \(\mathfrak{m}_j / \mathfrak{m}_{j-1}\) 对于每个 \(j\) 都是阿贝尔的。[25]

　　每个有限维的李代数都有一个唯一的最大可解理想，称为其根。[26] 根据李代数与李群的对应关系，幂零（分别，可解）李群对应于幂零（分别，可解）李代数。

　　例如，对于正整数 \(n\) 和特征为零的域 \(F\)，\(\mathfrak{gl}(n,F)\) 的根是其中心，即由单位矩阵生成的 1 维子空间。一个可解李代数的例子是上三角矩阵的空间 \(\mathfrak{b}_n\) 在 \(\mathfrak{gl}(n)\) 中；当 \(n \geq 2\) 时，它不是幂零的。一个幂零李代数的例子是严格上三角矩阵的空间 \(\mathfrak{u}_n\) 在 \(\mathfrak{gl}(n)\) 中；当 \(n \geq 3\) 时，它不是阿贝尔的。

简单和半简单

　　李代数 \(\mathfrak{g}\) 被称为简单的，如果它不是阿贝尔的，并且其唯一的理想是 0 和 \(\mathfrak{g}\)。（特别地，一个一维的——必定是阿贝尔的——李代数 \(\mathfrak{g}\) 按定义不是简单的，尽管它的唯一理想是 0 和 \(\mathfrak{g}\)。）一个有限维的李代数 \(\mathfrak{g}\) 被称为半简单的，如果其唯一的可解理想是 0。在特征为零的情况下，李代数 \(\mathfrak{g}\) 是半简单的当且仅当它同构于简单李代数的直积：\(\mathfrak{g} \cong \mathfrak{g}_1 \times \cdots \times \mathfrak{g}_r \)

　　例如，李代数 \(\mathfrak{sl}(n,F)\) 对于每个 \(n \geq 2\) 和每个特征为零的域 \(F\) 是简单的（或者仅在特征不整除 \(n\) 时）。李代数 \(\mathfrak{su}(n)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上对于每个 \(n \geq 2\) 是简单的。李代数 \(\mathfrak{so}(n)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上对于 \(n = 3\) 或 \(n \geq 5\) 是简单的。[28]（有 “例外同构”，\(\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)\) 和 \(\mathfrak{so}(4) \cong \mathfrak{su}(2) \times \mathfrak{su}(2)\)。）

　　李代数的半简单性概念与其表示的完全可约性（半简单性）密切相关。当基域 \(F\) 的特征为零时，任何有限维的半简单李代数的表示都是半简单的（即不可约表示的直和）。[22]

　　一个有限维的李代数，如果其基域的特征为零，并且其伴随表示是半简单的，则称为还原的。每个还原李代数同构于一个阿贝尔李代数和一个半简单李代数的直积。[29]

　　例如，\(\mathfrak{gl}(n,F)\) 对于特征为零的域 \(F\) 是还原的：对于 \(n \geq 2\)，它同构于以下直积： \[ \mathfrak{gl}(n,F) \cong F \times \mathfrak{sl}(n,F)~ \] 其中，\(F\) 表示 \(\mathfrak{gl}(n,F)\) 的中心，即由单位矩阵生成的 1 维子空间。由于特殊线性李代数 \(\mathfrak{sl}(n,F)\) 是简单的，\(\mathfrak{gl}(n,F)\) 含有很少的理想：只有 0、中心 \(F\)、\(\mathfrak{sl}(n,F)\) 和整个 \(\mathfrak{gl}(n,F)\) 本身。

卡尔坦判别法

　　卡尔坦判别法（由埃利·卡尔坦提出）给出了一个特征为零的有限维李代数是可解的或半简单的条件。它是通过使用基于李代数 \(\mathfrak{g}\) 的基林形式来表达的，基林形式是一个对称双线性形式，定义如下： \[ K(u, v) = \operatorname{tr}(\operatorname{ad}(u) \operatorname{ad}(v))~ \] 其中，\(\operatorname{tr}\) 表示线性算子的迹。具体地：一个李代数 \(\mathfrak{g}\) 是半简单的当且仅当基林形式是非退化的。一个李代数 \(\mathfrak{g}\) 是可解的当且仅当：\(K(\mathfrak{g}, [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]) = 0\)[30]

分类

　　李代数的列维分解定理表明，特征为零的有限维李代数可以表示为其可解极大理想和一个半简单李代数的半直积。[31] 此外，特征为零的半简单李代数是简单李代数的直积，如前所述。这将注意力集中在分类简单李代数的问题上。

　　有限维的简单李代数在代数封闭域 \(F\) 上，特征为零的情况下，由基林和卡尔坦在 19 世纪 80 年代和 90 年代使用根系进行了分类。具体而言，每个简单李代数属于以下类型之一：\(A_n\)、\(B_n\)、\(C_n\)、\(D_n\)、\(E_6\)、\(E_7\)、\(E_8\)、\(F_4\) 或 \(G_2\)。[32] 其中，类型为 \(A_n\) 的简单李代数是 \(\mathfrak{sl}(n+1,F)\)，类型为 \(B_n\) 的是 \(\mathfrak{so}(2n+1,F)\)，类型为 \(C_n\) 的是 \(\mathfrak{sp}(2n,F)\)，类型为 \(D_n\) 的是 \(\mathfrak{so}(2n,F)\)。其他五种类型被称为例外李代数。

　　特征为零的有限维简单李代数在 \(\mathbb{R}\) 上的分类更为复杂，但它也被卡尔坦解决了（参见简单李群以获取等效的分类）。可以通过考虑其复化李代数 \(\mathfrak{g} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}\) 来分析一个李代数 \(\mathfrak{g}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上的情况。

　　在 2004 年之前，有限维简单李代数在特征 \(p > 3\) 的代数封闭域上的分类工作由理查德·厄尔·布洛克、罗伯特·李·威尔逊、亚历山大·普雷梅特和赫尔穆特·斯特拉德完成。（参见受限李代数#简单李代数的分类。）结果表明，正特征情况下的简单李代数比特征为零的情况要多得多。

8. 与李群的关系

　　尽管李代数可以独立研究，但历史上它们是作为研究李群的工具而产生的。

　　李群与李代数之间的关系可以总结如下：每个李群确定一个李代数（具体来说，是单位元处的切空间）。反之，对于每个有限维李代数 \(\mathfrak{g}\)，都有一个连接的李群 \(G\)，其李代数为 \(\mathfrak{g}\)。这就是李的第三定理；参见贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式。这个李群不是唯一确定的；然而，任何两个具有相同李代数的李群在局部上是同构的，更强的说，它们具有相同的普遍覆盖。例如，特殊正交群 SO(3) 和特殊单位群 SU(2) 具有同构的李代数，但 SU(2) 是 SO(3) 的一个单连通的二重覆盖。

　　对于单连通李群，存在一个完全对应关系：取李代数可以得到从单连通李群到特征为零的有限维李代数的范畴等价。[33]

　　李代数与李群之间的对应关系在多个方面得到应用，包括李群的分类和李群的表示论。对于有限维表示，实李代数的表示与对应的单连通李群的表示之间存在一个范畴等价。这简化了李群的表示理论：通常，使用线性代数来分类李代数的表示要比分类李群的表示更容易。

　　每个连通的李群与其普遍覆盖（模离散中心子群）同构。[34] 所以，一旦知道了李代数，分类李群就只是计算中心的离散子群的问题。例如，卡尔坦已分类了实半简单李代数，因此，半简单李群的分类已经得到了很好的理解。

　　指数映射不一定是局部同胚（例如，在圆的微分同胚群中，有一些微分同胚无限接近单位元，但不在指数映射的像中）。此外，根据现有的无限维李群的定义，一些无限维李代数并不来源于任何群。[35]

　　对于有限维群的无限维表示，李理论的适用性也不如有限维情况那样简洁。即便是加法群 \(G = \mathbb{R}\)，其无限维表示通常也不能通过微分来产生其李代数在同一空间上的表示，反之亦然。[36] 哈里什-钱德拉模的理论则为群和李代数的无限维表示提供了一种更为微妙的关系。

9. 实形式和复合化

　　给定一个复李代数 \({\mathfrak {g}}\)，如果一个实李代数 \({\mathfrak {g}}_0\) 的复合化 \({\mathfrak {g}}_0 \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}\) 同构于 \({\mathfrak {g}}\)，则称 \({\mathfrak {g}}_0\) 是 \({\mathfrak {g}}\) 的实形式。实形式不一定是唯一的；例如，\({\mathfrak {sl}}(2, \mathbb{C})\) 有两个实形式（同构下），分别是 \({\mathfrak {sl}}(2, \mathbb{R})\) 和 \({\mathfrak {su}}(2)\).[37]

　　给定一个半单复李代数 \({\mathfrak {g}}\)，它的一个分裂形式是一个分裂的实形式；即它有一个卡尔坦子代数，通过伴随表示作用且具有实特征值。分裂形式存在且唯一（同构下）。紧致形式是一个实形式，它是一个紧致李群的李代数。紧致形式也存在，且唯一（同构下）。[37]

10. 带有附加结构的李代数

　　一个李代数可以配备与李括号兼容的附加结构。例如，分级李代数是一个具有兼容分级的李代数（或更一般地，李超代数）。一个微分分级李代数还配有一个微分，使得底层的向量空间成为一个链复形。

　　例如，一个单连通拓扑空间的同伦群形成一个分级李代数，可以使用怀特海产品。在一个相关的构造中，丹尼尔·奎伦（Daniel Quillen）使用有理数 \(\mathbb{Q}\) 上的微分分级李代数，通过代数术语描述了有理同伦论。[38]

11. 李环

　　李代数的定义可以扩展到定义在任意交换环 \( R \) 上的李代数。具体而言，定义在环 \( R \) 上的李代数 \( {\mathfrak {g}} \) 是一个 \( R \)-模，配备一个交替的 \( R \)-双线性映射 \([ \ ,\ ] : {\mathfrak {g}} \times {\mathfrak {g}} \to {\mathfrak {g}}\)，该映射满足雅可比恒等式。定义在整数环 \( \mathbb{Z} \) 上的李代数有时称为李环。（这与李群的概念无直接关系。）

　　李环用于通过拉泽尔对应（Lazard correspondence）研究有限 \( p \)-群（对于素数 \( p \)）。有限 \( p \)-群的下中心因子是有限阿贝尔 \( p \)-群。通过将下中心因子的直和定义为李环结构，使用括号作为两个陪集代表的对易子；见下例。

　　 \( p \)-adic 李群与 \( p \)-adic 数域 \( \mathbb{Q}_p \) 上的李代数以及 \( p \)-adic 整数环 \( \mathbb{Z}_p \) 上的李代数相关。[40] 克劳德·谢瓦利（Claude Chevalley）构造有限李型群的一部分涉及展示一个复数域上的简单李代数是来源于一个整数环上的李代数，然后（更小心地）构造一个整数环上的群方案。[41]

例子

　　以下是通过研究抽象群得到的李环的构造。对于群 \( G \) 的元素 \( x, y \)，定义交换子为 \([x,y] = x^{-1}y^{-1}xy\) 设 \( G = G_1 \supseteq G_2 \supseteq G_3 \supseteq \cdots \supseteq G_n \supseteq \cdots \) 是群 \( G \) 的一个滤波链，即一系列子群，使得对于所有 \( i, j \)，都有 \( [G_i, G_j] \subseteq G_{i+j} \)。（对于拉扎尔对应法，选择该滤波链为群 \( G \) 的下中心列。）则 \[ L = \bigoplus_{i \geq 1} G_i / G_{i+1}~ \] 是一个李环，群的乘法（在每个商群 \( G_i / G_{i+1} \) 上是交换的）定义了加法，而李括号 \(G_i / G_{i+1} \times G_j / G_{j+1} \to G_{i+j} / G_{i+j+1}\) 由群中的交换子给出： \[ [xG_{i+1}, yG_{j+1}] := [x,y] G_{i+j+1}~ \] 例如，关联到阶为 8 的二面体群下中心列的李环是定义域为 \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) 的 3 维海森堡李代数。[42]

12. 使用范畴论符号的定义

　　李代数的定义可以在范畴理论的语言中更抽象地重新表述。具体来说，可以通过线性映射（即向量空间范畴中的态射）来定义李代数，而无需考虑个别元素。（在这一节中，假设代数所定义的域的特征不为 2。）

　　对于李代数的范畴论定义，需要两个编织同构。如果 \( A \) 是一个向量空间，则交换同构 \( \tau: A \otimes A \to A \otimes A \) 定义为 \[ \tau(x \otimes y) = y \otimes x~ \] 循环置换编织同构 \( \sigma : A \otimes A \otimes A \to A \otimes A \otimes A \) 定义为 \[ \sigma = (\mathrm{id} \otimes \tau) \circ (\tau \otimes \mathrm{id})~ \] 其中 \( \mathrm{id} \) 是恒等态射。等价地，\( \sigma \) 定义为 \[ \sigma(x \otimes y \otimes z) = y \otimes z \otimes x~ \] 使用这种符号，李代数可以定义为一个对象 \( A \) 在向量空间范畴中，并且与一个态射 \[ [\cdot , \cdot] : A \otimes A \to A~ \] 一起满足以下两个态射等式： \[ [\cdot , \cdot] \circ (\mathrm{id} + \tau) = 0~ \] 以及 \[ [\cdot , \cdot] \circ ([\cdot , \cdot] \otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} + \sigma + \sigma^2) = 0.~ \]

13. 参见

仿射李代数
李代数的自同构
弗罗贝纽斯可积性定理（可积性等同于李子代数）
格尔凡德-弗克斯同调
霍普夫代数
李代数的指标
莱布尼茨代数
李代数同调
李代数扩展
李代数表示
李双代数
李余代数
李 \( n \)-代数
李运算
粒子物理学与表示理论
李超级代数
正交对称李代数
泊松代数
前李代数
量子群
莫亚尔代数
准弗罗贝纽斯李代数
准李代数
限制李代数
塞尔关系

14. 备注

　　 a.更一般地，可以定义李代数在任何交换环 \( R \) 上的概念：一个 \( R \)-模，配备一个交替的 \( R \)-双线性映射，且满足雅可比恒等式（见 Bourbaki（1989 年，第 2 节））。

15. 参考文献

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O'Connor & Robertson 2005.
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Bourbaki 1989, §1.2. 示例 1.
Bourbaki 1989, §1.2. 示例 2.
由于对易子（交换子）的反交换性，李代数中的左理想和右理想的概念是相同的。
Jacobson 1979, 第 28 页.
Bourbaki 1989, 第 I.1.1 节.
Humphreys 1978, 第 4 页.
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Serre 2006, 第一部分，第 VI.3 节.
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Serre 2006, 第一部分，第 IV 章.
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Erdmann & Wildon 2006, 定理 12.1.
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Varadarajan 1984, 第 3.9 节.
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Varadarajan 1984, 定理 2.7.5 和 3.15.1.
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Milnor 2010, 警告 1.6 和 8.5.
Knapp 2001, 第三章，第 3 节，问题 III.5.
Fulton & Harris 1991, §26.1.
Quillen 1969, 推论 II.6.2.
Khukhro 1998, 第 6 章.
Serre 2006, 第二部分，第 V.1 节.
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16. 来源

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