Lapack 笔记

贡献者： addis

　　 Intel MKL 提供的 Lapack 函数搜索。

　　 如果有 Driver routine 就用尽量用，其次再选 Computational。

　　 问题类型

• linear equations/system of linear equations 线性方程组
• nonsymmetric eigenvalue problems 非对称或厄米矩阵本征值问题
• symmetric eigenvalue problems 对称或厄米矩阵本征值问题
• generalized symmetric-definite eigenvalue problems 广义对称或厄米正定矩阵本征值问题
• generalized nonsymmetric eigenvalue problems 广义非对称或厄米正定矩阵本征值问题
• linear least square (LLS) problems 线性最小二乘法问题
• generalized LLS problems 广义线性最小二乘法问题
• singular value decomposition 奇异值分解
• cosine-sine decomposition 余弦-正弦分解

　　 矩阵类型

• 对称矩阵
• 厄米矩阵
• 正交矩阵
• 酉矩阵
• 带对角矩阵
• 三对角矩阵

　　 以下是一些分类搜索结果

1. 线性方程组

Driver - 线性方程组 - 一般矩阵

• ?gesv 解方矩阵线性方程组，多个 RHS
• ?gesvx gesv 并提供误差
• ?gesvxx 用额外循环减小 gesv 的误差（mkl 特供，非标准）
• ?gbsv gesv 的带对角矩阵版本
• ?gbsvx gbsv 并提供误差
• ?gbsvxx 用额外循环减小 gbsv 的误差
• ?gtsv gesv 的三对角矩阵版本
• ?gtsvx gtsv 并提供误差

　　 结果优化

• 例如 ?gbsv 的结果可以用 ?gbrfs 进一步用迭代法缩小误差（矩阵的条件数越大，就越有效）。

求逆矩阵 - 一般矩阵

• ?getrf 可进行 LU 分解，然后 ?getri 求逆矩阵。注意没有 driver 可用。

2. 对称本征方程

Driver - 实对称矩阵本征方程 - 所有本征值和本征矢（可选）

• ?syev 对称矩阵的本征值和本征矢（可选）
• ?syevd syev 使用 divide and conquer 算法
• ?spev syev 用 packed storage
• ?spevd spev 用 packed storage
• ?sbev syev 用带对角矩阵
• ?sbevd sbev 用 divide and conquer 算法
• ?stev syev 使用三对角矩阵

3. 线性最小二乘法

• ?gels Uses QR or LQ factorization to solve a overdetermined or underdetermined linear system with full rank matrix.
• ?gelsy Computes the minimum-norm solution to a linear least squares problem using a complete orthogonal factorization of A.
• ?gelss Computes the minimum-norm solution to a linear least squares problem using the singular value decomposition of A.
• ?gelsd Computes the minimum-norm solution to a linear least squares problem using the singular value decomposition of A and a divide and conquer method.

4. 编译 Netlib 的 reference LAPACK

• 在 ubuntu 中可以直接用 apt install libblas-dev libblas64-dev liblapacke-dev liblapacke64-dev。
• 一般用 (C)BLAS 也需要用 LAPACK(E)，所以可以直接用 LAPACK 的源码编译，会把 Blas 和 lapack 一起编译。见 github。
• 编译时一些有用的选项如（可以用 cmake -LH 查看）

  cmake -DBUILD_INDEX64=OFF -DBUILD_SHARED_LIBS=ON \
      -DLAPACKE=ON -DCBLAS=ON  ../lapack-3.*/
  

• BUILD_INDEX64 选择是使用 32bit 的整数还是 64bit 的。
• BUILD_SHARED_LIBS 选择是编译 .so 库还是 .a 库。
• LAPACKE 和 CBLAS 选择是否编译 C 接口。
• BLAS++ 和 LAPACK++ 编译 C++ 接口。
• BUILD_HTML_DOCUMENTATION 生成 html 文档，需要 Doxygen。
• BUILD_TESTING 生成测试目录
• CMAKE_BUILD_TYPE 填 Release 或者 Debug
• CMAKE_INSTALL_PREFIX 安装目录，默认 /usr/local
• USE_OPTIMIZED_BLAS 和 USE_OPTIMIZED_LAPACK 使用其他 blas（例如 MKL），而不是 netlib 的 reference blas
• USE_XBLAS 内部四精度实现以及混合精度接口。见 “BLAS 简介”。

　　 安装的 Blas 文件

• /usr/local/include 中的 cblas.h，cblas_mangling.h。
• /usr/local/lib64 中的 libcblas.so或a 和 libcblas64.so或a
• 带 64 的是 BUILD_INDEX64=true 生成的，否则是 32 位整数。下同。
• cblas(64).so 会调用 blas(64).so。
• 另外还会调用 libgfortran.so 和 lbquadmath.so，下同。

　　 安装的 lapack 文件

• /usr/local/include 中的 lapack.h，lapacke.h，lapacke_config.h，lapacke_mangling.h，lapacke_utils.h。
• /usr/local/lib64 中的 liblapack.a或so 和 liblapacke64.a或so，以及 liblapacke.a或so 和 liblapack64.a或so
• lapacke(64).so 会调用 lapack(64).so 以及 blas(64).so

C 接口使用

• 32bit int 可以索引 2.15GB 的 char 数组，或者 17.18GB 的 double 数组，所以一般情况是够用的。
• #include <cblas.h> 以及 #include <lapacke.h> 即可。
• 注意头文件是默认使用 32 位整数的，即 #define CBLAS_INT int，#define lapack_int int。如果程序中要使用 64 位，需要在这两个 include 之前自定义 #define CBLAS_INT long long，#define lapack_int long long
• link 阶段使用 -l cblas.so 和 -l lapacke.so 即可。

5. 优化：内存对齐

• 对于高度优化的线性代数库，若传入的矩阵和矢量进行了数据对齐往往有助于提高效率。这是因为 CPU 的 SIMD 指令要求每个矢量的起始地址是某个数的整数倍，而这个数是 2 的某个指数，如 16, 32 字节。