罗素悖论（综述）

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　　 在数学逻辑中，罗素悖论（也称为罗素反义命题）是由英国哲学家和数学家伯特兰·罗素于 1901 年提出的一个集合论悖论。罗素悖论表明，任何包含不受限制的理解原理的集合论都会导致矛盾。根据不受限制的理解原理，对于任何足够明确定义的属性，都存在一个集合，包含所有且仅包含具有该属性的对象。设 $R$ 为所有不属于自身的集合的集合（这个集合有时被称为 “罗素集合”）。如果 $R$ 不属于自身，则根据其定义，它必须属于自身；然而，如果它属于自身，那么它就不属于自身，因为它是所有不属于自身的集合的集合。由此产生的矛盾就是罗素悖论。用符号表示如下：

　　 设 $$R=\{x\mid x\notin x\}$$ 那么 $$R\in R⟺R\notin R$$ 罗素还展示了该悖论的一个版本可以在德国哲学家和数学家戈特洛布·弗雷格所构建的公理化系统中推导出来，从而破坏了弗雷格试图将数学归约为逻辑的尝试，并对逻辑主义的程序提出了质疑。避免该悖论的两种有影响力的方式都在 1908 年提出：罗素的类型理论和泽梅洛集合论。特别是，泽梅洛的公理限制了无限理解原理。随着亚伯拉罕·弗兰克尔的进一步贡献，泽梅洛集合论发展成了现在标准的泽梅洛–弗兰克尔集合论（当包含选择公理时，通常称为 ZFC）。罗素和泽梅洛解决悖论的主要区别在于，泽梅洛修改了集合论的公理，同时保持了标准的逻辑语言，而罗素则修改了逻辑语言本身。ZFC 的语言，在托拉夫·斯科勒姆的帮助下，最终被证明是第一阶逻辑的语言。[4]

　　 该悖论早在 1899 年就由德国数学家恩斯特·泽梅洛独立发现。[5]然而，泽梅洛并未发表这一想法，这一想法仅为大卫·希尔伯特、埃德蒙德·胡塞尔和哥廷根大学的其他学者所知。在 1890 年代末，现代集合论的创始人乔治·康托尔就已经意识到他的理论会导致矛盾，他通过信件告诉希尔伯特和理查德·德德金德。[6]

1. 非正式的呈现

　　 大多数常见的集合都不是它们自己的成员。我们称一个集合为 “正常的”，如果它不是它自己的成员；如果它是它自己的成员，则称其为 “非正常的”。显然，每个集合必须是正常的或非正常的。例如，考虑平面上的所有正方形的集合。这个集合本身不是平面上的一个正方形，因此它不是它自己的成员，因此是正常的。相比之下，包含所有非正方形的补集本身不是平面上的正方形，因此它是它自己的成员，因此是非正常的。

　　 现在我们考虑所有正常集合的集合 $R$，并尝试确定 R 是正常的还是非正常的。如果 $R$ 是正常的，那么它将包含在所有正常集合的集合中（即它自身），因此它是非正常的；另一方面，如果 $R$ 是非正常的，它就不包含在所有正常集合的集合中（即它自身），因此它是正常的。这导致了一个结论：$R$ 既不是正常的，也不是非正常的：这就是罗素悖论。

2. 正式的呈现

　　 “天真集合论” 这个术语有多种用法。在一种用法中，天真集合论是一个形式理论，使用一阶语言并具有二元非逻辑谓词 $\in$，包括外延公理： $$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(\mathrm{\forall }z(z\in x⟺z\in y)⟹x=y)$$ 以及不受限制的理解公理模式： $$\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x(x\in y⟺\phi (x))$$ 对于任何谓词 $\phi$，其中 $x$ 是 $\phi$ 中的自由变量。将 $x\notin x$ 代入 $\phi (x)$ 得到： $$\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x(x\in y⟺x\notin x)$$ 然后通过存在性实例化（重用符号 $y$）和全称实例化，我们得到： $$y\in y⟺y\notin y$$ 这是一个矛盾。因此，这种天真集合论是不一致的。[7]

3. 哲学意义

　　 在罗素悖论（以及同时期发现的其他类似悖论，如布拉利-福尔蒂悖论）之前，关于集合的一个普遍观念是 “外延集合的概念”，正如冯·诺伊曼和莫根斯坦所叙述的：

　　 集合是一个任意的对象集合，对于这些对象的性质和数量没有任何限制，这些对象是集合中的元素。集合的元素构成并决定了集合本身，元素之间没有任何顺序或关系。

　　 特别地，集合和适当类作为对象的集合之间没有区分。此外，集合中每个元素的存在被视为该集合存在的充分条件。然而，像罗素悖论和布拉利-福尔蒂悖论这样的悖论通过一些对象集合的例子，展示了这种集合观念的不可行性，尽管所有这些对象都是存在的，但它们并不能形成集合。

4. 集合论的回应

　　 根据经典逻辑的爆炸原理，从矛盾中可以证明任何命题。因此，像罗素悖论这样的矛盾在公理化集合论中的存在是灾难性的；因为如果任何公式都可以被证明为真，它就破坏了传统的真与假的意义。此外，由于集合论被视为所有其他数学分支公理化发展的基础，罗素悖论威胁到了整个数学的基础。这促使了 20 世纪初大量研究，旨在发展一种一致的（无矛盾的）集合论。

　　 1908 年，恩斯特·泽梅洛提出了一种集合论的公理化方法，通过用较弱的存在公理（如他的分离公理，Aussonderung）替换任意集合理解，从而避免了天真集合论中的悖论。（避免悖论并非泽梅洛的初衷，他的目的是记录他在证明良序定理时所使用的假设。）1920 年代，亚伯拉罕·弗兰克尔、托拉夫·斯科勒姆和泽梅洛本人对这一公理化理论进行修改，最终得出了称为 ZFC 的公理化集合论。自泽梅洛的选择公理不再具有争议后，这一理论得到了广泛接受，ZFC 一直保持到今天，成为公认的标准公理化集合论。

　　 ZFC 并不假设对于每一个属性，都存在一个包含所有满足该属性的事物的集合。相反，它断言，给定任何集合 $X$，$X$ 的任何子集，只要使用一阶逻辑可定义，就存在。由上文罗素悖论定义的对象 $R$ 无法作为任何集合 $X$ 的子集构造，因此在 ZFC 中它不是一个集合。在 ZFC 的某些扩展中，特别是在冯·诺伊曼–伯奈斯–哥德尔集合论中，像 $R$ 这样的对象被称为适当类。

　　 ZFC 对类型没有明确说明，尽管其累积层次结构有类似于类型的层次概念。泽尔梅洛本人从未接受斯科勒姆使用一阶逻辑语言来表述 ZFC。正如何塞·费雷罗斯所指出的，泽尔梅洛坚持认为，“用于区分子集的命题函数（条件或谓词）以及替代函数，可以是‘完全任意的’[ganz beliebig]”；现代对这一声明的解释是，泽尔梅洛希望引入高阶量化，以避免斯科勒姆悖论。大约在 1930 年，泽尔梅洛还引入了（显然是独立于冯·诺依曼的）基础公理，从而——正如费雷罗斯所观察到的——“通过禁止‘循环’和‘无根’集合，它 [ZFC] 融入了 TT [类型理论] 的一个关键动机——即‘论证类型的原则’”。泽尔梅洛偏好的这个包括基础公理的二阶 ZFC 允许了丰富的累积层次。费雷罗斯写道：“泽尔梅洛的‘层次’本质上与哥德尔和塔尔斯基提出的简单类型理论 [TT] 当代版本中的类型相同。我们可以将泽尔梅洛发展其模型的累积层次结构描述为一个允许无限类型的累积类型理论的宇宙。（一旦我们采用无定义的观点，放弃类是构造出来的这个想法，接受无限类型就不再是反自然的了。）因此，简单类型理论和 ZFC 现在可以看作是‘谈论’本质上相同的预期对象的系统。主要区别在于，类型理论依赖于强大的高阶逻辑，而泽尔梅洛使用了二阶逻辑，ZFC 也可以用一阶形式表述。累积层次结构的一阶‘描述’要弱得多，这一点通过可数模型的存在（斯科勒姆悖论）得到了体现，但它也享有一些重要的优势。”[10]

　　 在 ZFC 中，给定一个集合 $A$，可以定义一个集合 $B$，它由 $A$ 中恰好那些不属于自身的集合构成。$B$ 不能属于 $A$，因为按照罗素悖论中的相同推理，$B$ 无法在 $A$ 中。这一变体的罗素悖论表明，没有任何集合包含一切。

　　 通过泽梅洛等人的工作，特别是约翰·冯·诺依曼的贡献，ZFC 所描述的某些人认为的 “自然” 对象的结构最终变得清晰：它们是冯·诺依曼宇宙 $V$ 的元素，$V$ 是通过对空集进行跨无限次幂集运算迭代构建的。因此，现在可以再次以非公理化的方式推理集合，而不会陷入罗素悖论，即通过推理 $V$ 的元素。是否适合以这种方式看待集合是数学哲学中不同观点之间的争议点。

　　 其他解决罗素悖论的方案，其基本策略更接近类型理论，包括奎因的新基础理论和斯科特–波特集合论。另一个方法是通过定义多重成员关系，并采用适当修改的理解方案，例如在双重扩展集合论中所做的那样。

5. 历史

　　 罗素于 1901 年 5 月或 6 月发现了这个悖论。[11][12] 根据他在 1919 年《数学哲学导论》中的自述，他 “试图发现康托尔证明不存在最大基数中的某个缺陷。”[13] 在 1902 年的一封信中，[14] 他向戈特洛布·弗雷格通报了在弗雷格 1879 年《 Begriffsschrift》中的悖论，并且将这个问题框定在逻辑和集合论的术语中，特别是通过弗雷格对函数的定义：[a][b]

　　 “我遇到的唯一困难点在于你指出（第 17 页 [上面第 23 页]）一个函数也可以作为不确定的元素。我以前曾认为如此，但现在由于以下的矛盾，我对这一观点产生了怀疑。设 $W$ 为谓词：是一个不能被自我断言的谓词。$W$ 能否被自我断言？从每个答案推导出相反的结论。因此我们必须得出结论，$W$ 不是一个谓词。同样，没有任何类（作为一个整体）包含那些每个被当作整体时不属于自己的类。从这个结论出发，我认为在某些情况下，一个可定义的集合[Menge]不能形成一个整体。”

　　 罗素在 1903 年《数学原理》中详细讨论了这个悖论，他在书中重复了他首次遇到这一悖论的经历：[15]

　　 “在离开基础性问题之前，有必要更详细地研究之前提到的关于不能自我断言的谓词的特殊矛盾……我可以提到，我是试图调和康托尔的证明时，才导致了这个悖论。”

　　 罗素在弗雷格准备《算术原理》第二卷时给弗雷格写信，讨论了这个悖论。[16] 弗雷格迅速回应了罗素；他的回信日期为 1902 年 6 月 22 日，并且在 1967 年 Heijenoort 的评论中刊登：Heijenoort 1967:126–127。弗雷格随后写了一篇附录，承认了这一悖论，[17] 并提出了一个解决方案，这个方案后来被罗素在《数学原理》中采纳，[18] 但有些人后来认为这个解决方案不令人满意。[19] 至于罗素，他的书籍已进入排版阶段，并且他在书中增加了一个关于类型论的附录。[20]

　　 恩斯特·泽梅洛在他 1908 年的《关于良序可能性的一个新证明》中（同时他也发布了 “第一个公理化集合论”）宣称自己早于罗素发现了康托尔天真集合论中的反论证。他表示：“然而，即便是罗素所给出的集合论反论证的基本形式，也本应说服他们（J. König、Jourdain、F. Bernstein），这些困难的解决方案并非应通过放弃良序性来寻找，而应通过适当限制集合的概念来解决。”[22] 注释 9 中，他明确提出了他的主张：

　　 “1903 年，第 366–368 页。我自己实际上在独立于罗素的情况下发现了这个反论证，并且在 1903 年前已将其告知包括希尔伯特教授在内的其他人。”[23]

　　 弗雷格将《算术原理》的一本副本寄给了希尔伯特；如上所述，弗雷格的最后一卷提到了罗素传达给弗雷格的悖论。在收到弗雷格的最后一卷后，希尔伯特于 1903 年 11 月 7 日写信给弗雷格，在信中提到，谈到罗素悖论时，他说：“我相信泽梅洛三四年前就发现了这个悖论。” 泽梅洛实际论证的书面记录后来在埃德蒙德·胡塞尔的遗稿中被发现。[24]

　　 1923 年，路德维希·维特根斯坦提出了以下方法来 “解决” 罗素悖论：

　　 “一个函数不能是它自己的参数的原因在于，函数的符号已经包含了其参数的原型，而它不能包含自身。假设函数F(fx)可以是它自己的参数：在这种情况下，就会出现命题F(F(fx))，其中外部函数 F 和内部函数 F 必须有不同的含义，因为内部函数的形式是O(fx)，而外部函数的形式是Y(O(fx))。只有字母‘F’是这两个函数的共同部分，但字母本身并不表示任何东西。如果我们把F(Fu)改为（做）：F(Ou) . Ou = Fu，这就解决了罗素的悖论。”（《逻辑哲学论》3.333）

　　 罗素和阿尔弗雷德·诺思·怀特海德写了三卷本的《数学原理》，希望实现弗雷格未能做到的目标。他们试图通过采用一种为此目的而设计的类型论来驱除天真集合论中的悖论。尽管他们在某种程度上成功地将算术建立在逻辑基础上，但并不明显他们是通过纯粹的逻辑手段做到的。虽然《数学原理》避免了已知的悖论，并且允许推导出大量的数学内容，但其系统也引发了新的问题。

　　 无论如何，库尔特·哥德尔在 1930 至 1931 年证明了，尽管《数学原理》中的大部分逻辑（现在被称为一阶逻辑）是完备的，但如果它是一致的，皮亚诺算术必定是不完备的。这在广泛的（但并非普遍的）看法中，被认为已经表明弗雷格的逻辑主义计划不可能完成。

　　 2001 年，在慕尼黑举办了庆祝罗素悖论发现一百周年的国际大会，其会议论文集已被出版。[12]

6. 应用版本

　　 有一些版本的这个悖论更接近现实生活的情况，可能对于非逻辑学家来说更容易理解。例如，理发师悖论假设有一个理发师，他剃所有不剃自己胡子的男人，而且只剃那些不剃自己胡子的男人。当人们思考理发师是否应该剃自己胡子时，一个类似的悖论开始显现。[25]

　　 对 “外行版本” 如理发师悖论的一个简单驳斥似乎是，根本没有这样的理发师存在，或者理发师不是男人，因此可以存在而不产生悖论。罗素悖论的核心在于，“这样的集合不存在” 意味着在给定理论中，集合的概念定义是不满意的。请注意 “这样的集合不存在” 和 “它是一个空集合” 之间的区别。这就像是 “没有桶” 和 “桶是空的” 之间的区别。

　　 上述情况的一个显著例外可能是格雷林–纳尔逊悖论，其中单词和意义是情境中的元素，而不是人和理发。尽管可以通过说这样的理发师不存在（且不可能存在）来轻松驳斥理发师悖论，但关于一个有意义定义的词语，却无法做出类似的回答。

　　 这个悖论的一种戏剧化表现方式如下：假设每个公共图书馆都必须编制所有书籍的目录。由于目录本身也是图书馆的书籍之一，一些图书馆员将其包含在目录中以确保完整性；而另一些图书馆员则将其排除在外，因为目录作为图书馆的一本书是显而易见的。现在，假设所有这些目录被送到国家图书馆。部分目录将自己包括在内，而其他则没有。国家图书馆员编制了两个主目录——一个列出了所有包含自己的目录，另一个列出了所有没有包含自己的目录。

　　 问题是：这些主目录应该列出它们自己吗？“所有列出自己的目录的目录” 没有问题。如果图书馆员不将它包括在自己的列表中，它仍然是那些列出自己的目录的真实目录。如果他将其包括在内，它仍然是那些列出自己的目录的真实目录。然而，正如图书馆员在第一个主目录中不会犯错一样，他注定会在第二个主目录中失败。当涉及到 “所有不列出自己的目录的目录” 时，图书馆员不能将其包括在自己的列表中，因为那样它就会列出自己，从而属于另一个目录——那些列出自己的目录的目录。然而，如果图书馆员将其排除在外，那么目录就不完整。无论哪种方式，它都不可能成为一个真实的、不列出自己的目录的主目录。

7. 应用及相关主题

罗素式悖论

　　 如上所述，罗素悖论并不难扩展。以以下为例：

• 一个及物动词 ⟨V⟩，可以应用于其名词形式。 构成句子：

　　 “⟨V⟩ 所有（且仅有那些）不 ⟨V⟩ 自己的人。” 有时 “所有” 被替换为 “所有 ⟨V⟩ 者”。

　　 例如，“paint”（画）：

　　 “画家，画所有（且仅有那些）不画自己的人。” 或 “elect”（选举）：

　　 “选举者（代表），选举所有不选举自己的人。”

　　 在《生活大爆炸》第八季的剧集《天行者的干扰》中，谢尔顿·库珀分析了歌曲《Play That Funky Music》，得出结论认为歌词展示了罗素悖论的一个音乐示例。[26]

　　 符合这一模式的悖论包括：

• 理发师悖论（“刮胡子”）。
• 原始的罗素悖论（“包含”）：包含所有（不包含自己的）集合（容器）。
• 格雷林–纳尔逊悖论（“描述者”）：描述所有不描述自己的单词（描述者）。
• 理查德悖论（“表示”）：表示所有不表示自己的数字（表示者）的数字。 （在这个悖论中，所有数字的描述都被赋予了一个编号。这里称为 “表示所有不表示自己的数字的表示者” 是理查德式的。）
• “我在撒谎。”，即撒谎者悖论和埃皮门尼德悖论，它们的起源可以追溯到古代。
• 罗素–迈希尔悖论。

8. 相关悖论

• 布拉利-福尔蒂悖论，关于所有良序的顺序类型。
• 克利尼–罗斯悖论，利用自我否定的陈述证明原始的λ演算是不一致的。
• 库里的悖论（以哈斯凯尔·库里命名），不需要否定。
• 最小无趣整数悖论。
• 吉拉尔的悖论，类型理论中的悖论。

9. 另见

• 基本法则 V
• 康托尔对角线论证 – 集合论中的证明
• 哥德尔不完全性定理 – 数学逻辑中的限制性结果
• 希尔伯特的第一问题 – 数学逻辑中的命题
• 《论表示》
• 集合论悖论
• 奎因悖论
• 自指
• 自指悖论列表
• 奇异循环 – 在分层系统中经过多个层级的循环结构
• 普遍集合 – 包含所有对象的数学集合

10. 注释

　　
a.以下内容中，p. 17 指的是原版《概念符号》中的一页，p. 23 指的是同一页在 van Heijenoort 1967 版中的对应页。
b.值得注意的是，这封信直到 van Heijenoort 1967 年才出版——它与 van Heijenoort 的评论一起出现在 van Heijenoort 1967:124–125。

11. 参考文献

1. 罗素，伯特兰，《与弗雷格的通信》，载于《戈特洛布·弗雷格的哲学与数学通信》。汉斯·卡尔译，芝加哥大学出版社，芝加哥，1980 年。
2. 罗素，伯特兰，《数学原理》，第二版，重印，纽约：W.W. Norton & Company，1996 年。（首次出版于 1903 年。）
3. 欧文，A.D., 德语，H.（2021）。“罗素悖论”。《斯坦福哲学百科全书》（2021 年春季版），E.N. Zalta（编），[1]
4. A.A. 弗兰克尔；Y. 巴尔-希勒尔；A. 莱维（1973）。《集合论基础》。Elsevier 出版社，第 156-157 页。ISBN 978-0-08-088705-0。
5. 伯恩哈德·兰格，沃尔夫冈·托马斯：《泽梅洛发现 “罗素悖论”》，《数学史》8 期。
6. 沃尔特·普尔克特，汉斯·J. 伊尔高德：《数学人生——乔治·康托尔》，Birkhäuser，1986 年，ISBN 3-764-31770-1。
7. 欧文，安德鲁·大卫；德语，哈里（2014）。“罗素悖论”。载于 Zalta, Edward N.（编），《斯坦福哲学百科全书》。
8. R. Bunn, 《无限集合与数字》（1967 年），第 176-178 页，博士论文，英属哥伦比亚大学。
9. P. Maddy，《相信公理 I》（1988 年），符号逻辑学会。
10. José Ferreirós（2008 年）。《思维的迷宫：集合论的历史及其在现代数学中的作用》（第二版）。Springer 出版，§ 泽梅洛的累积层次，第 374-378 页。ISBN 978-3-7643-8350-3。
11. 《伯特兰·罗素自传》，乔治·艾伦与温宁有限公司，1971 年，第 147 页：“在复活节学期末[1901 年]，我回到了费恩赫斯特，开始着手写出数学的逻辑推导，这篇工作后来成为了《数学原理》。我认为这项工作几乎完成了，但在 5 月[强调]我遭遇了一个智力上的挫折[…]。康托尔证明了没有最大的数，而我认为世界上所有事物的数量应该是最大的。因此，我仔细检查了他的证明，并试图将其应用于所有事物的类。这使我开始考虑那些不是自身成员的类，并问这个类是否是自身的成员。我发现无论哪个答案，都会引发自相矛盾。”
12. Godehard Link（2004 年），《罗素悖论百年》，沃尔特·德·格鲁伊特出版社，第 350 页，ISBN 978-3-11-017438-0，检索日期：2016 年 2 月 22 日
13. 罗素 1920:136
14. 戈特洛布·弗雷格，迈克尔·比尼（1997 年），《弗雷格读本》，Wiley 出版社，第 253 页，ISBN 978-0-631-19445-3，检索日期：2016 年 2 月 22 日。也参见范·海耶努尔特 1967:124-125
15. 罗素 1903:101
16. 参见范·海耶努尔特对弗雷格致罗素信的评论，见范·海耶努尔特 1964:126
17. 范·海耶努尔特的评论，参见范·海耶努尔特 1967:126；弗雷格在开始分析时有这段极为诚实的评论：“几乎没有什么比在一项科学工作完成后，发现其基础之一被动摇更不幸的事了。正是在这种情况下，我收到了伯特兰·罗素先生的信件，而这时这本书的印刷工作已经接近完成”（《算术公理》第二卷附录，见《弗雷格读本》，第 279 页，迈克尔·比尼翻译）
18. 参见范·海耶努尔特的评论，参见范·海耶努尔特 1967:126。附加的文本如下： “注：弗雷格的《算术公理》第二卷，因出版时间较晚未能在附录中提到，包含了关于矛盾的有趣讨论（第 253–265 页），并提出了解决方案，认为应否认两个决定相等类的命题函数必须是等价的。由于这似乎非常可能是正确的解决方案，强烈建议读者仔细研究弗雷格在这一点上的论证”（罗素 1903:522）；其中缩写 Gg. 代表弗雷格的《算术公理》。Begriffsschriftlich abgeleitet。第一卷，耶拿，1893 年；第二卷，1903 年。
19. Livio 表示：“虽然弗雷格确实做出了一些绝望的尝试来修正他的公理系统，但他未能成功。结论似乎是灾难性的……” Livio 2009:188。但是，范·海耶诺特在弗雷格（1902）致罗素的信件前的评论中详细描述了弗雷格提出的 “解决办法”——这件事涉及到 “将等式的一般化转化为值域的等式。对弗雷格而言，函数是某种不完全的‘未饱和’的东西”；这似乎与当代 “扩展中的函数” 概念相矛盾；请参见弗雷格在第 128 页的表述：“顺便说一句，我觉得‘一个谓词是对自身预言的’这个表达并不准确。……因此，我更愿意说‘一个概念是对其自身扩展的预言’[等等]”。但是，他在最终的建议中摇摆不定，认为函数作为扩展中的概念可以写作它的函数的谓词。范·海耶诺特引用了奎因的观点：“对于弗雷格‘解决办法’的晚期和深入研究，请参见奎因 1956：《关于弗雷格的解决办法》，《思维》64，145–159；重印在奎因 1955b：附录。量化理论的完备性。洛文海姆定理，作为奎因 1950 年第三版印刷本（1955 年）的一部分附带的小册子，并纳入修订版（1959 年），253—260”（参见范·海耶诺特 1967:649 中的参考文献）。
20. 拉塞尔在信中提到这一事实，参见范·海耶诺特在弗雷格（1902）致拉塞尔的信件前的评论，见于范·海耶诺特 1967:126。
21. 范·海耶诺特在泽梅洛（1908a）《集合论基础研究 I》前的评论，见于范·海耶诺特 1967:199。
22. 范·海耶诺特 1967:190-191。在前一节中，他强烈反对庞加莱所定义的 “自指性” 概念（这一概念很快也会被拉塞尔在其 1908 年《基于类型论的数学逻辑》中采用，参见范·海耶诺特 1967:150-182）。
23. 厄恩斯特·泽梅洛（1908）《关于良序的可能性的新证明》，见于范·海耶诺特 1967:183–198。Livio 2009:191 报道，泽梅洛 “在 1900 年就独立发现了拉塞尔悖论”；Livio 又引用了 Ewald 1996 和范·海耶诺特 1967（参见 Livio 2009:268）。
24. B. Rang 和 W. Thomas，"泽梅洛发现‘拉塞尔悖论’"，《数学历史》，第 8 卷第 1 期，1981 年，第 15–22 页。doi:10.1016/0315-0860(81)90002-1
25. "理发师悖论"。牛津参考。检索日期：2024 年 2 月 4 日。
26. "《Play That Funky Music》40 年前曾是榜首"。明尼苏达公共广播电台。2016 年 9 月 27 日。检索日期：2022 年 1 月 30 日。

12. 参考文献

• Potter, Michael（2004 年 1 月 15 日），《集合论及其哲学》，克拉伦登出版社（牛津大学出版社），ISBN 978-0-19-926973-0
• van Heijenoort, Jean（1967），《从弗雷格到哥德尔：数学逻辑的文献选集，1879–1931》（第三版，1976 年），美国马萨诸塞州剑桥：哈佛大学出版社，ISBN 0-674-32449-8
• Livio, Mario（2009 年 1 月 6 日），《上帝是数学家吗？》，纽约：西蒙与舒斯特出版社，ISBN 978-0-7432-9405-8

13. 外部链接

• Kaplan, Jeffrey (2022). '罗素悖论——一个深刻问题的简单解释'。YouTube。检索日期：2023 年 11 月 25 日。
• "《罗素悖论》。互联网哲学百科全书。
• Irvine, Andrew David (2016). '罗素悖论'。载于 Zalta, Edward N.（编）。《斯坦福哲学百科全书》。
• Weisstein, Eric W. '罗素反命题'。MathWorld。
• '罗素悖论'。Cut-the-Knot。检索日期：2023 年 11 月 25 日。"