卡尔·威尔施特拉斯

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　　 卡尔·西奥多·威尔斯特拉斯（/ˈvaɪərˌstrɑːs, -ˌʃtrɑːs/；德语：Weierstraß [ˈvaɪɐʃtʁaːs]；1815 年 10 月 31 日 – 1897 年 2 月 19 日）是一位德国数学家，常被称为 “现代分析学之父”。尽管他未获得大学学位，但他学习了数学并接受了教师培训，最终教授数学、物理学、植物学和体育学。[3] 他后来获得了荣誉博士学位，并成为柏林大学的数学教授。

　　 威尔斯特拉斯做出了许多贡献，其中包括形式化函数连续性的定义和复分析，证明了中值定理和博尔查诺–威尔斯特拉斯定理，并利用后者研究闭合有界区间上连续函数的性质。

1. 传记

　　 威尔斯特拉斯出生于西法兰西省恩尼格尔洛附近的一个名为奥斯滕费尔德的村庄，来自一个天主教家庭。[4]

　　 卡尔·威尔斯特拉斯是威廉·威尔斯特拉斯和西奥多拉·冯德福尔斯特的儿子，前者是政府官员，后者是天主教的莱茵兰人。他对数学的兴趣始于他在帕德博恩的提奥多里亚努姆中学时。毕业后，他被送往波恩大学，准备为政府工作；为此，他的学习方向应该是法律、经济和金融，这与他自己希望学习数学的愿望发生了直接冲突。他通过忽视计划中的课程，继续私下学习数学，最终导致他未能获得学位而离开了大学。

　　 威尔斯特拉斯继续在明斯特学院（当时以数学闻名）学习数学，且他的父亲为他争取到了一所明斯特师范学校的位置；他在那里的努力最终使他获得了该市的教师资格。在这一学习期间，威尔斯特拉斯听取了克里斯托夫·古德曼的讲座，并对椭圆函数产生了兴趣。

　　 1843 年，他在西普鲁士的德意志克罗内教书，1848 年起，他在布劳恩斯贝格的霍西亚努姆中学任教。[5] 除了数学，他还教授物理学、植物学和体育学。[4] 在某个时期，威尔斯特拉斯可能与他朋友卡尔·威廉·博尔哈特的寡妇有一个私生子（"弗朗茨"）。[6][有争议 – 讨论]

　　 1850 年后，威尔斯特拉斯经历了长期的疾病，但他依然能够发表具有足够质量和原创性的数学文章，令他赢得了声誉和殊荣。Königsberg 大学于 1854 年 3 月 31 日授予他荣誉博士学位。1856 年，他在柏林的工业学院（该学院原为培养技术工人的机构，后来与建筑学院合并，成为位于查尔滕堡的技术高等学府，现为柏林工业大学）担任教职。1864 年，他成为了柏林弗里德里希·威廉大学的教授，该校后来成为柏林洪堡大学。

　　 1870 年，55 岁的威尔斯特拉斯遇到了索菲亚·科瓦列夫斯卡娅，并在未能为她争取到大学入学资格后，开始私下辅导她。他们之间建立了富有成效的智力关系，并且个人关系也远超普通的师生关系。他辅导了她四年，视她为自己最好的学生，帮助她获得了海德堡大学的博士学位，且无需进行口头答辩。

　　 从 1870 年到 1891 年她去世期间，科瓦列夫斯卡娅与威尔斯特拉斯保持通信。当他得知她去世的消息时，他烧毁了她的信件。大约 150 封他写给她的信件被保留下来。雷因哈德·贝林教授发现了她在 1883 年抵达斯德哥尔摩并被任命为斯德哥尔摩大学私人讲师时写给威尔斯特拉斯的信件草稿。[7]

　　 威尔斯特拉斯在生命的最后三年行动不便，并于 1897 年 2 月 19 日在柏林因肺炎去世。[8]

2. 数学贡献

微积分的健全性

　　 威尔斯特拉斯对微积分的健全性非常感兴趣，当时微积分的基础定义尚不明确，因此许多重要的定理无法以足够的严谨性证明。尽管博尔查诺早在 1817 年就已经发展出了一个相对严谨的极限定义（甚至可能更早），但他的工作在多年后才为大多数数学界所知，而许多数学家对于极限和函数的连续性只有模糊的定义。

　　 \(\Delta-\epsilon\) 证明的基本思想可以说最早出现在柯西在 1820 年代的作品中。[9][10] 柯西并没有明确区分区间上的连续性和一致连续性。特别是在他 1821 年出版的《分析课程》中，柯西认为（逐点）连续函数的（逐点）极限本身是（逐点）连续的，而这一说法在一般情况下是错误的。正确的说法是，连续函数的一致极限是连续的（此外，一致连续函数的一致极限是一致连续的）。这一结果需要一致收敛的概念，而一致收敛首次在威尔斯特拉斯的导师克里斯托夫·古德曼的 1838 年论文中被注意到，古德曼观察到这一现象，但并未给出定义或进一步阐述。威尔斯特拉斯看到了这一概念的重要性，并且对其进行了形式化并广泛应用于微积分的基础中。

　　 威尔斯特拉斯所提出的函数连续性的正式定义如下：

　　 函数 \( f(x) \) 在 \( x = x_0 \) 处连续，当且仅当对于任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( \delta > 0 \)，使得对于定义域中的每个 \( x \)，满足 \( |x - x_0| < \delta \) 时，必有 \( |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \)。

　　 用简单的语言来说，函数 \( f(x) \) 在点 \( x = x_0 \) 处连续，当且仅当对于每个足够接近 \( x_0 \) 的 \( x \)，函数值 \( f(x) \) 足够接近 \( f(x_0) \)，其中 “足够接近” 通常取决于 \( f(x_0) \) 和 \( f(x) \) 之间所要求的接近程度。

　　 使用这个定义，他证明了中间值定理，并且证明了博尔查诺-威尔斯特拉斯定理，并利用该定理研究了闭区间上的连续函数的性质。

变分法

　　 威尔斯特拉斯在变分法领域也取得了进展。利用他帮助发展起来的分析工具，威尔斯特拉斯能够对变分法理论进行完整的重新表述，为现代变分法的研究铺平了道路。在几个公理中，威尔斯特拉斯建立了变分问题强极值存在的必要条件。他还帮助提出了威尔斯特拉斯-厄尔德曼条件，该条件为极值点在给定极值处具有拐角提供了充分条件，并允许人们找到给定积分的最小化曲线。

其他分析学定理

• 博尔查诺-威尔斯特拉斯定理
• 博斯通-威尔斯特拉斯定理
• 卡索拉提-威尔斯特拉斯定理
• 威尔斯特拉斯椭圆函数
• 威尔斯特拉斯函数
• 威尔斯特拉斯 M 检验
• 威尔斯特拉斯准备定理
• 林德曼-威尔斯特拉斯定理
• 威尔斯特拉斯分解定理
• 威尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化

3. 学生

• 埃德蒙德·胡塞尔（Edmund Husserl）

4. 荣誉与奖项

• 月球陨石坑 “威尔斯特拉斯” 及小行星 14100 “威尔斯特拉斯” 以他的名字命名。
• 此外，位于柏林的 “威尔斯特拉斯应用分析与随机过程研究所” 也是以他命名的。

5. 选定著作

• 《阿贝尔函数理论》 (1854)
• 《阿贝尔函数理论》 (1856)
• 《数学著作集-1》 (1894 年，柏林)
• 《数学著作集-2》 (1895 年，柏林)
• 《数学著作集-3》 (1903 年，柏林)
• 《阿贝尔超越函数的初步理论》 (1902 年，柏林)
• 《变分法的初步理论》 (1927 年，莱比锡)

6. 参见

• 以卡尔·威尔斯特拉斯命名的事物列表

7. 参考文献

1. "Weierstrass". Random House Webster's Unabridged Dictionary.
2. Duden. Das Aussprachewörterbuch. 第 7 版。柏林：Bibliographisches Institut，2015 年，ISBN 978-3-411-04067-4
3. Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm. (2018). In Helicon (编), *The Hutchinson Unabridged Encyclopedia with Atlas and Weather Guide*. [在线]. Abington: Helicon. 可从以下网址访问：http://libezproxy.open.ac.uk/login?url=（访问日期：2018 年 7 月 8 日）。
4. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (1998 年 10 月). "Karl Theodor Wilhelm Weierstrass". 圣安德鲁斯大学数学与统计学系，苏格兰。检索于 2014 年 9 月 7 日。
5. Elstrodt, Jürgen (2016), König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen (编辑), "卡尔·威尔斯特拉斯生命中的重要岁月", *Karl Weierstraß (1815–1897)* (德文)，威斯巴登：Springer Fachmedien Wiesbaden，页 11–51，doi:10.1007/978-3-658-10619-5_2，ISBN 978-3-658-10618-8，检索日期：2023 年 8 月 12 日
6. Biermann, Kurt-R.; Schubring, Gert (1996). "卡尔·威尔斯特拉斯传记的附录", *数学史*，圣地亚哥，CA：Academic Press，页 65–91。
7. Kuznetsov, Vadim B.（编辑）(2002). "由 Roger L. Cooke 编写的 S.V. 科瓦列夫斯卡娅传记"。*Kowalevski Property (Leeds, 2000)* CRM Proceedings & Lecture Notes，第 32 卷。美国数学学会，页 1–19，ISBN 978-0-8218-7330-4；请参见 2002 年书籍的第 7 页。在线文本
8. *Dictionary of Scientific Biography*，Gillispie, Charles Coulston，美国学术理事会。纽约，1970 年，页 223，ISBN 978-0-684-12926-6。OCLC 89822。
9. Grabiner, Judith V. (1983 年 3 月)，"是谁给了你ε？Cauchy 与严格微积分的起源" (PDF)，*美国数学月刊*，90 (3): 185–194，doi:10.2307/2975545，JSTOR 2975545，原文已存档（PDF），并于 2014 年 11 月 29 日从原文存档中取出。
10. Cauchy, A.-L. (1823)，"第七课—一些呈现为不确定形式的表达式的值，例如{\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ldots } 与有限差异和导数函数之间的关系"，*皇家工艺学校关于微积分的讲义摘要*，巴黎，第 44 页，2009 年 5 月 4 日已存档，2009 年 5 月 1 日检索。

8. 外部链接

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.，《卡尔·威尔斯特拉斯》，*MacTutor 数学史档案*，圣安德鲁斯大学
• 威尔斯特拉斯的原始出版物的数字化版本可以在柏林布兰登堡科学院的图书馆免费在线获取。
• 在*古腾堡计划*上的卡尔·威尔斯特拉斯作品
• 在*互联网档案馆*上的卡尔·威尔斯特拉斯相关作品