柯西-施瓦茨不等式（综述）

                     

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　　 本文根据 CC-BY-SA 协议转载翻译自维基百科 相关文章。

　　 柯西–施瓦茨不等式（也称为柯西–布尼亚科夫斯基–施瓦茨不等式）是对内积空间中两个向量的内积绝对值的一个上界，其上界由这两个向量范数的乘积给出。它被认为是数学中最重要且应用最广泛的不等式之一。

　　 向量的内积可以用于描述有限和（通过有限维向量空间）、无穷级数（通过序列空间中的向量）以及积分（通过希尔伯特空间中的向量）。柯西于 1821 年首次发表了关于求和形式的不等式。相应的积分形式的不等式由布尼亚科夫斯基于 1859 年发表，赫尔曼·施瓦茨于 1888 年发表了积分形式的现代证明。

1. 不等式的表述

　　 柯西–施瓦茨不等式指出，对于内积空间中的任意两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，都有： $$ |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2 \leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \cdot \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle~ $$ 其中，$\langle \cdot , \cdot \rangle$ 表示内积运算。例如，实数或复数的点积就是常见的内积形式。每一个内积都对应一个欧几里得 $\ell_2$ 范数，也叫做 “标准范数” 或 “诱导范数”，记作 $|\mathbf{u}|$，其定义为： $$ |\mathbf{u}\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle},~ $$ 其中 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle$ 总是一个非负实数（即使内积是复值的）。对上述不等式两边取平方根，就可以得到柯西–施瓦茨不等式更常见的形式，用范数表示为： $$ |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|~ $$ 当且仅当 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 线性相关时，上述不等式取等号。\(^\text{[8][9][10]}\)

2. 特殊情形

Sedrakyan 引理 —— 正实数情形

　　 Sedrakyan 不等式，又称为 Bergström 不等式、Engel 形式、Titu 引理（或 T2 引理），表述如下：对于实数 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 和正实数 $v_1, v_2, \dots, v_n$，有： $$ \frac{(u_1 + u_2 + \cdots + u_n)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n} \leq \frac{u_1^2}{v_1} + \frac{u_2^2}{v_2} + \cdots + \frac{u_n^2}{v_n},~ $$ 或者用求和符号表示为： $$ \left( \sum_{i=1}^{n} u_i \right)^2 \bigg/ \sum_{i=1}^{n} v_i \leq \sum_{i=1}^{n} \frac{u_i^2}{v_i}.~ $$ 这个不等式是柯西–施瓦茨不等式的直接推论，具体地，可以将其看作是在欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中对向量点积应用柯西–施瓦茨不等式得到的。

　　 方法是令： $$ u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}}, \quad v_i' = \sqrt{v_i},~ $$ 将其代入向量内积后即可得出上述不等式。这种形式在处理分式型不等式（尤其是分子为完全平方形式）时尤其有用。

$R^2$ —— 平面

图
图 1：欧几里得平面单位圆中的柯西–施瓦茨不等式

　　 实向量空间 $\mathbb{R}^2$ 表示二维平面。它也是二维欧几里得空间，其中的内积就是点积。若 $\mathbf{u} = (u_1, u_2),\quad \mathbf{v} = (v_1, v_2)$ 则柯西–施瓦茨不等式变为： $$ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 = (\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta)^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2,~ $$ 其中 $\theta$ 是向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 之间的夹角。

　　 上述形式也许是最容易理解此不等式的方式，因为余弦的平方最大为 1，当且仅当两个向量方向相同或相反时达到最大值。该不等式也可用向量坐标 $u_1$、$u_2$、$v_1$ 和 $v_2$ 表示为： $$ (u_1 v_1 + u_2 v_2)^2 \leq (u_1^2 + u_2^2)(v_1^2 + v_2^2),~ $$ 其中等号成立的充要条件是向量 $(u_1, u_2)$ 与向量 $(v_1, v_2)$ 共线（同向或反向），或其中一个为零向量。

$R^n$：n 维欧几里得空间

　　 在具有标准内积（即点积）的欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中，柯西–施瓦茨不等式变为： $$ \left( \sum_{i=1}^{n} u_i v_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} u_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} v_i^2 \right).~ $$ 在此情形下，柯西–施瓦茨不等式可以仅使用初等代数证明，其关键是注意到右侧与左侧之差为： $$ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (u_i v_j - u_j v_i)^2 \geq 0,~ $$ 或者通过考虑如下关于 $x$ 的二次多项式： $$ (u_1 x + v_1)^2 + \cdots + (u_n x + v_n)^2 = \left( \sum_i u_i^2 \right) x^2 + 2 \left( \sum_i u_i v_i \right) x + \sum_i v_i^2.~ $$ 由于该多项式恒为非负，因此它至多有一个实根，因而其判别式小于等于零，即： $$ \left( \sum_i u_i v_i \right)^2 - \left( \sum_i u_i^2 \right) \left( \sum_i v_i^2 \right) \leq 0.~ $$ 这就得出了柯西–施瓦茨不等式。

$C^n$：n 维复空间

　　 若 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$，其中 $\mathbf{u} = (u_1, \ldots, u_n), \quad \mathbf{v} = (v_1, \ldots, v_n)$（其中 $u_1, \ldots, u_n \in \mathbb{C}$，$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{C}$），并且若向量空间 $\mathbb{C}^n$ 上的内积定义为标准复数内积： $$ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle := u_1 \overline{v_1} + \cdots + u_n \overline{v_n},~ $$ 其中上划线表示复共轭，那么柯西–施瓦茨不等式可以更明确地写为： $$ \left| \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \right|^2 = \left| \sum_{k=1}^n u_k \overline{v_k} \right|^2 \leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \cdot \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = \left( \sum_{k=1}^n u_k \overline{u_k} \right) \left( \sum_{k=1}^n v_k \overline{v_k} \right) = \left( \sum_{j=1}^n |u_j|^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n |v_k|^2 \right).~ $$ 即： $$ \left| u_1 \overline{v_1} + \cdots + u_n \overline{v_n} \right|^2 \leq \left( |u_1|^2 + \cdots + |u_n|^2 \right) \left( |v_1|^2 + \cdots + |v_n|^2 \right).~ $$

$L^2$ 空间

　　 对于平方可积复值函数所构成的内积空间，有如下不等式成立： $$ \left| \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\, \overline{g(x)}\, dx \right|^2 \leq \left( \int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2\, dx \right) \left( \int_{\mathbb{R}^n} |g(x)|^2\, dx \right).~ $$ 这个不等式是 Hölder 不等式的一个特例。 翻译如下：

3. 应用

分析学中的应用

　　 在任意内积空间中，**三角不等式**可以由柯西–施瓦茨不等式推导出来，推导如下： $$ \|\mathbf{u} + \mathbf{v} \|^2 = \langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{u} + \mathbf{v} \rangle = \|\mathbf{u}\|^2 + \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2~ $$ 由于 $$ \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle = \overline{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}~ $$ 所以： $$ \|\mathbf{u} + \mathbf{v} \|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + 2\operatorname{Re} \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2~ $$ 应用柯西–施瓦茨不等式（CS）得： $$ \leq \|\mathbf{u}\|^2 + 2|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| + \|\mathbf{v}\|^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 + 2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{v}\|^2 = (\|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|)^2~ $$ 对两边取平方根，得到三角不等式： $$ \|\mathbf{u} + \mathbf{v} \| \leq \|\mathbf{u} \| + \|\mathbf{v} \|~ $$ 此外，柯西–施瓦茨不等式还可用于证明：内积是关于其自身诱导的拓扑结构下的连续函数。\(^\text{[11][12]}\)

几何学

　　 柯西–施瓦茨不等式使我们能够将 “两向量之间的角度” 这一概念扩展到任意实内积空间中，其定义为：\(^\text{[13][14]}\) $$ \cos \theta_{\mathbf{u}\mathbf{v}} = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}.~ $$ 柯西–施瓦茨不等式证明了该定义是合理的，因为右侧表达式的值始终位于区间 $[ -1, 1 ]$ 之间，这就为我们将（实）Hilbert 空间视为欧几里得空间的推广提供了正当性。 在复内积空间中，也可以使用这个不等式来定义角度，不过需要取右侧表达式的绝对值或实部，\(^\text{[15][16]}\)—— 这种方法在从量子保真度中提取度量时尤其常见。

概率论

　　 设 $X$ 和 $Y$ 为随机变量，则协方差不等式为：\(^\text{[17][18]}\) $$ \operatorname{Var}(X) \geq \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)^2}{\operatorname{Var}(Y)}.~ $$ 我们可以将随机变量的乘积的期望定义为内积： $$ \langle X, Y \rangle := \operatorname{E}(XY),~ $$ 在这种定义下，柯西–施瓦茨不等式变为： $$ |\operatorname{E}(XY)|^2 \leq \operatorname{E}(X^2)\operatorname{E}(Y^2).~ $$ 为了利用柯西–施瓦茨不等式证明协方差不等式，设：$\mu = \operatorname{E}(X), \quad \nu = \operatorname{E}(Y)$ 则有： $$ \begin{aligned} |\operatorname{Cov}(X, Y)|^2 &= |\operatorname{E}[(X - \mu)(Y - \nu)]|^2 \\ &= |\langle X - \mu, Y - \nu \rangle|^2 \\ &\leq \langle X - \mu, X - \mu \rangle \cdot \langle Y - \nu, Y - \nu \rangle \\ &= \operatorname{E}[(X - \mu)^2] \cdot \operatorname{E}[(Y - \nu)^2] \\ &= \operatorname{Var}(X) \cdot \operatorname{Var}(Y), \end{aligned}~ $$ 其中 $\operatorname{Var}$ 表示方差，$\operatorname{Cov}$ 表示协方差。

4. 证明

　　 除了下述方法外，柯西–施瓦茨不等式还有许多不同的证明方式。\(^\text{[19][5][7]}\) 在查阅其他资料时，读者常会遇到两个混淆点：第一，部分作者将内积符号 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 定义为对第二个变量是线性的（而非第一个变量）；第二，有些证明只在数域为实数 $\mathbb{R}$ 时成立，不适用于复数域 $\mathbb{C}$。\(^\text{[20]}\) 本节将给出以下定理的两种证明方式：

　　 柯西–施瓦茨不等式设$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 是任意内积空间中的向量，其标量域为 $\mathbb{F}$，其中 $\mathbb{F}$ 为实数域 $\mathbb{R}$ 或复数域 $\mathbb{C}$。

　　 则有： $$ \left| \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \right| \leq \|\mathbf{u}\| \, \|\mathbf{v}\|~ $$ （柯西–施瓦茨不等式）

　　 当且仅当 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 线性相关时，上述不等式取等号。

　　 进一步地，如果： $$ \left| \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \right| = \|\mathbf{u}\| \, \|\mathbf{v}\|~ $$ 且 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，则： $$ \mathbf{u} = \frac{ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle }{ \|\mathbf{v}\|^2 } \, \mathbf{v}.~ $$ 在下面所给出的两个证明中，针对至少有一个向量为零（或者等价地，当 $\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\| = 0$ 时）的平凡情形，其证明过程是相同的。为了避免重复，下面只给出一次该情形的证明。这一部分也包含了上文中 “等号成立的判别条件” 中较容易的一部分证明：即证明了如果 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 线性相关，则有 $$ \left| \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \right| = \|\mathbf{u}\| \, \|\mathbf{v}\|.~ $$

　　 平凡部分的证明：向量为 $\mathbf{0}$ 的情形，以及等号成立判别条件中的一个方向的证明：

　　 按定义，若且唯若其中一个向量是另一个的数倍，则 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 是线性相关的。若 $\mathbf{u} = c\mathbf{v}$，其中 $c$ 是某个标量，则有： $$ |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| = |\langle c\mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle| = |c\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle| = |c| \|\mathbf{v}\|\|\mathbf{v}\| = \|c\mathbf{v}\|\|\mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|~ $$ 这就表明在柯西–施瓦茨不等式中等号成立。若 $\mathbf{v} = c\mathbf{u}$（即 $\mathbf{v}$ 是 $\mathbf{u}$ 的倍数），则有： $$ |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| = |\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle| = \|\mathbf{v}\|\|\mathbf{u}\|~ $$ 特别地，如果 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 中至少有一个是零向量，则二者必然线性相关（例如若 $\mathbf{u} = \mathbf{0}$，则有 $\mathbf{u} = c\mathbf{v}$，其中 $c = 0$）。因此，上述计算表明，在这种情况下柯西–施瓦茨不等式同样成立。

　　 因此，柯西–施瓦茨不等式只需要对非零向量进行证明，同时仅需证明等号成立条件中的非平凡方向。

通过毕达哥拉斯定理证明

　　 特殊情形 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 已在前文证明，因此下文假设 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$。设 $$ \mathbf{z} := \mathbf{u} - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{v}.~ $$ 由内积在第一个参数上的线性性可知： $$ \langle \mathbf{z}, \mathbf{v} \rangle = \left\langle \mathbf{u} - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{v}, \mathbf{v} \right\rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0.~ $$ 因此，$\mathbf{z}$ 是一个与 $\mathbf{v}$ 正交的向量（实际上，$\mathbf{z}$ 就是 $\mathbf{u}$ 在与 $\mathbf{v}$ 正交的平面上的投影）。因此，我们可以对下式应用毕达哥拉斯定理： $$ \mathbf{u} = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{v} + \mathbf{z}.~ $$ 由此得到： $$ \|\mathbf{u}\|^{2} = \left| \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \right|^{2} \|\mathbf{v}\|^{2} + \|\mathbf{z}\|^{2} = \frac{|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^{2}}{(\|\mathbf{v}\|^{2})^{2}} \cdot \|\mathbf{v}\|^{2} + \|\mathbf{z}\|^{2} = \frac{|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^{2}}{\|\mathbf{v}\|^{2}} + \|\mathbf{z}\|^{2} \geq \frac{|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^{2}}{\|\mathbf{v}\|^{2}}.~ $$ 将两边乘以 $\|\mathbf{v}\|^{2}$ 并取平方根，即得出柯西–施瓦茨不等式。 此外，若上式中的不等号实际为等号，则 $\|\mathbf{z}\|^{2} = 0$，因此 $\mathbf{z} = \mathbf{0}$；由 $\mathbf{z}$ 的定义可得出 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 线性相关。 反过来的情况已在本节开头证明，因此证明完成。

通过分析二次多项式的证明

　　 考虑任意一对向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$。定义函数 $p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，其定义为： $$ p(t) = \langle t \alpha \mathbf{u} + \mathbf{v}, t \alpha \mathbf{u} + \mathbf{v} \rangle~ $$ 其中 $\alpha$ 是满足 $|\alpha| = 1$ 且 $\alpha \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|$ 的复数。这样的 $\alpha$ 总是存在，因为当 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$ 时，可以简单地取 $\alpha = 1$。

　　 由于内积是正定的，$p(t)$ 只能取非负实数值。另一方面，利用内积的双线性性质，可以将 $p(t)$ 展开为： $$ \begin{aligned} p(t) &= \langle t \alpha \mathbf{u}, t \alpha \mathbf{u} \rangle + \langle t \alpha \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{v}, t \alpha \mathbf{u} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \\ &= t \alpha \cdot t \overline{\alpha} \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle + t \alpha \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + t \overline{\alpha} \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \\ &= \|\mathbf{u}\|^2 t^2 + 2 |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| t + \|\mathbf{v}\|^2. \end{aligned}~ $$ 因此，$p(t)$ 是一个二次多项式（除非 $\mathbf{u} = 0$，但这种情形已在前面讨论过）。由于 $p(t)$ 恒不小于零，其判别式必须小于等于零： $$ \Delta = 4 \left( |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2 - \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 \right) \leq 0.~ $$ 由此推出了柯西–施瓦茨不等式。\(^\text{[21]}\)

　　 关于等号成立的情形，当且仅当 $\Delta = 0$ 时成立，此时：$p(t) = \left( t \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\| \right)^2$ 取 $t_0 = -\|\mathbf{v}\|/\|\mathbf{u}\|$，则有：$p(t_0) = \langle t_0 \alpha \mathbf{u} + \mathbf{v}, t_0 \alpha \mathbf{u} + \mathbf{v} \rangle = 0$ 从而得到：$\mathbf{v} = -t_0 \alpha \mathbf{u}$ 也就是说，$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 线性相关。

5. 推广

　　 柯西–施瓦茨不等式存在多种推广形式。赫尔德不等式（Hölder's inequality）将其推广到了 $L^p$ 范数的情形。更一般地，它可以被看作是巴拿赫空间上线性算子范数定义的一个特殊情形（即当空间是希尔伯特空间时）。在算子理论的背景下，还有更广泛的推广，比如针对算子凸函数和算子代数的推广，其中定义域和/或值域被替换为 C\*-代数或 W\*-代数。

　　 内积可用来定义正线性泛函。例如，在希尔伯特空间 $L^2(m)$ 上（其中 $m$ 是有限测度），标准内积可导出正泛函 $\varphi$，定义为：$\varphi(g) = \langle g, 1 \rangle$ 反过来，任意正线性泛函 $\varphi$ 在 $L^2(m)$ 上都可以用来定义内积：$ \langle f, g \rangle_{\varphi} := \varphi(g^* f)$ 其中 $g^*$ 是 $g$ 的逐点复共轭。在这种语言下，柯西–施瓦茨不等式可以写成 \(^\text{[22]}\)： $$ |\varphi(g^* f)|^2 \leq \varphi(f^* f) \, \varphi(g^* g)~ $$ 它可以逐字推广到 C\*-代数上的正泛函：

　　 C*-代数上正泛函的柯西–施瓦茨不等式\(^\text{[23][24]}\)——若 $\varphi$ 是 C\*-代数 $A$ 上的正线性泛函，则对所有 $a, b \in A$，有： $$ \left|\varphi \left(b^{*}a\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(b^{*}b\right)\varphi \left(a^{*}a\right).~ $$

　　 下面两个定理是算子代数中的进一步例子：

　　 Kadison–Schwarz 不等式\(^\text{[25][26]}\)（以理查德·卡迪森命名）——若 $\varphi$ 是一个单位正映射，则对于其定义域内的任意正规元 $a$，都有：$\varphi (a^{*}a)\geq \varphi \left(a^{*}\right)\varphi (a)$ 以及 $$ \varphi \left(a^{*}a\right)\geq \varphi (a)\varphi \left(a^{*}\right)~ $$ 这推广了如下事实： $$ \varphi \left(a^{*}a\right)\cdot 1 \geq \varphi (a)^{*}\varphi (a) = |\varphi (a)|^{2}~ $$ 当 $\varphi$ 是线性泛函时成立。当 $a$ 是自伴元素（即 $a = a^{*}$）时，这一结果有时被称为Kadison 不等式。

　　 柯西–施瓦茨不等式（针对 2-正映射的修正施瓦茨不等式）\(^\text{[27]}\) ——对于 C\*-代数间的 2-正映射 $\varphi$，对其定义域中的任意 $a, b$，有： $$ \varphi (a)^{*} \varphi (a) \leq \Vert \varphi (1) \Vert \cdot \varphi \left(a^{*}a\right)~ $$ 以及 $$ \Vert \varphi \left(a^{*}b\right)\Vert ^{2} \leq \Vert \varphi \left(a^{*}a\right)\Vert \cdot \Vert \varphi \left(b^{*}b\right)\Vert.~ $$ 另一个推广形式是一种细化形式，通过在柯西–施瓦茨不等式两端之间插值得到：

　　 Callebaut 不等式\(^\text{[28]}\) —— 对于实数 $0 \leq s \leq t \leq 1$，有

　　 $$ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^{1+s} b_i^{1-s} \right) \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^{1-s} b_i^{1+s} \right) \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^{1+t} b_i^{1-t} \right) \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^{1-t} b_i^{1+t} \right) \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^{2} \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^{2} \right).~ $$ 这个定理可以由 Hölder 不等式 推导而来 \(^\text{[29]}\)。同时，也存在适用于算子和矩阵张量积的非交换版本 \(^\text{[30]}\)。

　　 柯西–施瓦茨不等式以及 Kantorovich 不等式的若干矩阵形式也被应用于线性回归模型中 \(^\text{[31][32]}\)。

6. 参见

7. 注释

8. 引文

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  2. Bityutskov, V. I. (2001) [1994]，《布尼亚科夫斯基不等式》，《数学百科全书》，EMS 出版社。
  3. Ćurgus, Branko. “柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式”。数学系，西华盛顿大学。
  4. Joyce, David E. “柯西不等式（Cauchy's inequality）”（PDF）。数学与计算机科学系，克拉克大学。PDF 档案存档于 2022-10-09。
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  8. Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2012 年 12 月 6 日)。《傅里叶与小波分析》。施普林格科学与商业传媒，第 14 页。ISBN 9781461205050。
  9. Hassani, Sadri (1999)。《数学物理学：其基础的现代导论》施普林格出版社，第 29 页。ISBN 0-387-98579-4。等号成立当且仅当 <c|c> = 0 或 |c> = 0。根据 |c> 的定义，可得 |a> 与 |b> 必须成比例。
  10. Axler, Sheldon (2015)。《线性代数的正确打开方式》第 3 版。施普林格国际出版，第 172 页。ISBN 978-3-319-11079-0。该不等式当且仅当 u 与 v 之一为另一个的数量倍时取等号。
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9. 参考文献

10. 外部链接


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