博苏克-乌拉姆定理（综述）

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图 1：对跖的

　　在数学中，博苏克–乌拉姆定理指出：每一个从 $n$ 维球面 $S^n$ 到 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 的连续函数，必定存在一对对踵点被映射到同一个点。这里，对踵点指的是位于球面上、从球心看方向完全相反的两点。

　　形式化表述：若 $f: S^n \to \mathbb{R}^n$ 是一个连续函数，则存在 $x \in S^n$ 使得 $f(-x) = f(x)$。

　　特例说明：当 $ n = 1$：这意味着地球赤道上总存在一对正对着的点，它们的温度相同。这个结论也适用于任何圆周。注意这依赖于温度在空间中连续变化这一假设，而这在现实中不一定成立 $^\text{[1]}$。

　　当 $ n = 2 $：可以解释为地球表面在任意时刻总存在一对对踵点，它们的温度和气压完全相同（假设这两个物理量都在空间中连续变化）。

　　与奇函数等价的其他表述：记 $ S^n $ 为 $n$ 维球面，$ B^n $ 为 $n$ 维单位球体：

若 $g: S^n \to \mathbb{R}^n$ 是一个连续奇函数（即 $g(-x) = -g(x)$），则存在 $x \in S^n$ 使得 $g(x) = 0$。
若 $g: B^n \to \mathbb{R}^n$ 是一个连续函数，且在边界 $S^{n-1}$ 上为奇函数，那么必存在 $x \in B^n$ 使得 $g(x) = 0$。

1. 历史

　　据 Matoušek（2003 年第 25 页）记载，博苏克–乌拉姆定理最早的历史性表述出现在 Lyusternik 与 Shnirel'man 于 1930 年的著作中。第一个正式的证明由卡罗尔·博苏克于 1933 年给出，他将这一问题的提出归功于斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆。自那以后，许多作者都给出了该定理的不同证明方式，这些证明被 Steinlein（1985）汇总整理。

2. 等价表述

　　以下命题与博苏克–乌拉姆定理是等价的 $^\text{[2]}$：

关于奇函数的表述

　　一个函数 $g$ 被称为奇函数（也称为对极函数或保对极函数），如果对于每一个 $x$，都有 $g(-x) = -g(x)$

　　博苏克–乌拉姆定理等价于以下两个命题：

　　 1. 每一个连续的奇函数 $g : S^n \to \mathbb{R}^n$ 都有零点。
2. 不存在从 $S^n$ 到 $S^{n-1}$ 的连续奇函数。

　　证明：博苏克–乌拉姆定理等价于命题 (1)

　　 ($\Longrightarrow$) 如果博苏克–乌拉姆定理成立，那么它当然对奇函数也成立。而对于奇函数 $g$，若有 $g(-x) = g(x)$ 则必须有 $g(x) = 0$，因为又有 $g(-x) = -g(x)$。所以每个连续奇函数都有零点。

　　 ($\Longleftarrow$) 对于任意连续函数 $f : S^n \to \mathbb{R}^n$，可以构造一个连续奇函数 $g(x) = f(x) - f(-x)$ 如果每个奇函数都有零点，那么 $g$ 存在某个零点 $x$，即 $f(x) = f(-x)$，从而得出博苏克–乌拉姆定理成立。

　　为了证明命题 (1) 与命题 (2) 等价，使用以下连续奇函数：

明显的包含映射 $i : S^{n-1} \to \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$
辐射投影映射 $p : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to S^{n-1}, \quad x \mapsto \frac{x}{|x|}$

　　证明如下：

　　 ((1) ⟹ (2))反设成立：若存在连续奇函数 $f : S^n \to S^{n-1}$，则复合映射 $i \circ f : S^n \to \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 是一个连续奇函数，这与 (1) 每个连续奇函数都有零点相矛盾（因为值域不含零点）。

　　 ((1) ⟸ (2))同样使用反设：若存在连续奇函数 $f : S^n \to \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 则 $p \circ f : S^n \to S^{n-1}$ 是连续奇函数，这与 (2) 不存在这样的映射相矛盾。因此，两者等价。

3. 证明

一维情形

　　一维情形可以使用中值定理（IVT）轻松证明。

　　设 $g(x) = f(x) - f(-x)$ 是一个定义在圆上的实值连续奇函数。随便取一个 $x$。若 $g(x) = 0$，则定理成立。否则，**不妨设** $g(x) > 0$。由于 $g$ 是奇函数，有 $g(-x) = -g(x) < 0$。由中值定理知，存在某点 $y \in S^1$ 使得 $g(y) = 0$，从而有 $f(y) = f(-y)$ 成立，证毕。

一般情形

　　 代数拓扑证明

　　假设存在一个奇连续函数 $h : S^n \to S^{n-1}$ 其中 $n > 2$（$n=1$ 的情形已在前面证明，$n=2$ 的情形可用基本覆盖空间理论处理）。由于 $h$ 是奇函数，我们可以考虑将它在对极点作用下传递到商空间中，于是得到一个在实射影空间之间的诱导连续映射： $h' : \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}$ 这个映射在基本群之间诱导同构。根据 Hurewicz 定理，它在系数为 $\mathbb{F}_2$（两个元素的有限域）的上同调环之间诱导如下同态： $$ H^*(\mathbb{RP}^n; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[a]/(a^{n+1}) \leftarrow H^*(\mathbb{RP}^{n-1}; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[b]/(b^n)~ $$ 其中 $b \mapsto a$。但这样一来，左侧的 $b^n = 0$ 被映射为 $a^n \neq 0$，矛盾！

　　因此，假设不成立，也就是说，不存在这样的奇连续函数 $h$，这就证明了 Borsuk–Ulam 定理。

　　另外，也可以证明一个更强的结论：任何从 $S^{n-1} \to S^{n-1}$ 的奇映射，其度数为奇数。从这个结论也可以推出 Borsuk–Ulam 定理。

　　 组合证明

　　 Borsuk–Ulam 定理可以由 Tucker 引理推导而来 $^\text{[2][4][5]}$。

　　设 $g : S^n \to \mathbb{R}^n$ 是一个连续的奇函数。由于 $g$ 在紧空间上连续，它是一致连续的。因此，对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $S^n$ 上任意两点的距离小于 $\delta$ 时，它们在 $g$ 下的像之间的距离也小于 $\epsilon$。

　　接下来，对 $S^n$ 进行一个边长至多为 $\delta$ 的**三角剖分**。对每个顶点 $v$ 赋予一个标签 $l(v) \in \{\pm 1, \pm 2, \dots, \pm n\}$，具体规则如下：

标签的绝对值是使 $g(v)$ 中某坐标的绝对值最大的那个坐标索引：$|l(v)| = \arg \max_k |g(v)_k|$
标签的符号为该坐标上的符号：$l(v) = \operatorname{sgn}(g(v)_{|l(v)|}) \cdot |l(v)|$

　　由于 $g$ 是奇函数，即满足 $g(-v) = -g(v)$，所以标签满足：$l(-v) = -l(v)$ 因此这是一个奇标记，可应用 Tucker 引理。根据该引理，存在一对相邻顶点 $u, v$，使得 $l(u) = -l(v)$。不妨设 $l(u) = 1, l(v) = -1$，这说明：在 $g(u)$ 与 $g(v)$ 中，第 1 个坐标为最大坐标分量且 $g(u)_1 > 0$，$g(v)_1 < 0$ 由于剖分边长不超过 $\delta$，所以 $g(u)$ 和 $g(v)$ 的欧几里得距离小于等于 $\epsilon$，特别地：$|g(u)_1 - g(v)_1| = |g(u)_1| + |g(v)_1| \leq \epsilon$ 由于 $g(u)_1 > 0, g(v)_1 < 0$，它们符号相反。于是有 $|g(u)_1| \leq \epsilon$ 而第 1 个坐标是最大坐标分量，所以对所有 $k \in \{1, \dots, n\}$，都有 $|g(u)_k| \leq \epsilon$ 因此整向量的范数满足 $|g(u)| \leq c_n \epsilon$ 其中 $c_n$ 是一个仅依赖于 $n$ 和所选范数的常数。由于上面结论对任意 $\epsilon > 0$ 都成立，且 $S^n$ 是紧空间，必然存在某点 $u$，使得 $|g(u)| = 0$ 即 $g(u) = 0$ 从而证明了 Borsuk–Ulam 定理。

4. 推论

没有任何 $\mathbb{R}^n$ 的子集与 $S^n$ 同胚：即不存在一个 $\mathbb{R}^n$ 中的子集与 $n$ 维球面 $S^n$ 拥有相同的拓扑结构。
火腿三明治定理：对于 $\mathbb{R}^n$ 中任意的 $n$ 个紧致集合 $A_1, A_2, \dots, A_n$，总能找到一个超平面将每个集合划分为测度相等的两部分。

等价命题

　　上文已展示如何从 Tucker 引理推出 Borsuk–Ulam 定理，反过来也是成立的：也可以从 Borsuk–Ulam 定理推出 Tucker 引理。因此，这两个定理是等价的。存在一类不动点定理，它们通常存在三种彼此等价的表述形式：1. 拓扑代数形式 2. 组合数学形式 3. 集合覆盖形式这些不同形式可以用完全不同的方法分别证明，但它们之间又可以相互归约。此外，每一列中最下方的命题都可以推出其所在列上方的命题 $^\text{[6]}$。

图 2

5. 推广

在最初的 Borsuk–Ulam 定理中，函数 $f$ 的定义域是单位 $n$ 维球面（即单位 $n$ 维球体的边界）。更一般地，当 $f$ 的定义域是 $\mathbb{R}^n$ 中任何开、有限、对称并包含原点的子集的边界时，该定理仍然成立（这里 “对称” 是指：如果 $x$ 在该子集中，则 $-x$ 也在其中）$^\text{[7]}$。
更进一步地，设 $M$ 是一个紧致的 $n$ 维黎曼流形，若 $f: M \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是连续函数，则对于任意给定的 $\delta > 0$，总存在一对点 $x, y \in M$，使得：$f(x) = f(y)$，且 $x$ 与 $y$ 之间存在一条长度为 $\delta$ 的测地线连接 $^\text{[8][9]}$。
现在考虑一个将每个点映射到其对跖点的函数 $A(x) = -x$。注意：$A(A(x)) = x.$ 原始的 Borsuk–Ulam 定理声称，存在某个点 $x$，使得：$f(A(x)) = f(x).$ 更一般地，对于所有满足 $A(A(x)) = x$ 的函数 $A$，该定理都成立 $^\text{[10]}$。然而，对任意函数 $A$ 并不总是成立 $^\text{[11]}$。

6. 参见

拓扑组合学
项链划分问题
火腿三明治定理
角谷定理
伊姆雷·巴拉尼

7. 注释

Jha, Aditya；Campbell, Douglas；Montelle, Clemency；Wilson, Phillip L.（2023 年 7 月 30 日）。“论连续体谬误：温度是连续函数吗？”《物理学基础》Foundations of Physics，第 53 卷第 4 期：第 69 页。Bibcode: 2023FoPh...53...69J。doi:10.1007/s10701-023-00713-x。hdl:1721.1/152272。ISSN 1572-9516。
Prescott, Timothy（2002）。《Borsuk–Ulam 定理的扩展》（本科论文）。哈维·马德学院。CiteSeerX: 10.1.1.124.4120。
Joseph J. Rotman，《代数拓扑导论》，1988 年，施普林格出版社，ISBN 0-387-96678-1（详见第 12 章）。
Freund, Robert M.；Todd, Michael J.（1982）。“Tucker 组合引理的构造性证明”。《组合理论杂志 A 辑》，第 30 卷第 3 期：321–325。doi:10.1016/0097-3165(81)90027-3。
Simmons, Forest W.；Su, Francis Edward（2003）。“通过 Borsuk–Ulam 与 Tucker 定理实现共识对半划分”。《数学社会科学》，第 45 期：15–25。doi:10.1016/s0165-4896(02)00087-2。hdl:10419/94656。
Nyman, Kathryn L.；Su, Francis Edward（2013），“一个直接蕴含 Sperner 引理的 Borsuk–Ulam 等价定理”，《美国数学月刊》，第 120 卷第 4 期：346–354，doi:10.4169/amer.math.monthly.120.04.346，JSTOR: 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346，MR: 3035127。
“Borsuk 不动点定理”，《数学百科全书》，EMS Press，2001 年 [1994 年版本]。
Hopf, H.（1944）。“若干已知映射与覆盖定理的推广”（德语原题：“Eine Verallgemeinerung bekannter Abbildungs-und Überdeckungssätze”）。《葡萄牙数学杂志》。
Malyutin, A. V.；Shirokov, I. M.（2023）。“关于 f-邻点的 Hopf 型定理”。《西伯利亚电子数学通报》，第 20 卷第 1 期：165–182。
Yang, Chung-Tao（1954）。“关于 Borsuk–Ulam、Kakutani–Yamabe–Yujobo 与 Dyson 定理”。《数学年刊》，第 60 卷第 2 期：262–282。doi:10.2307/1969632。JSTOR: 1969632。
Jens Reinhold；Faisal；Sergei Ivanov。“Borsuk–Ulam 的推广”，发表于 Math Overflow，检索时间：2015 年 5 月 18 日。

8. 参考文献

Borsuk, Karol（1933）。《关于 n 维欧几里得球体的三个定理》（德文）[Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre*]。发表于 Fundamenta Mathematicae，第 20 卷，第 177–190 页。doi:10.4064/fm-20-1-177-190。（PDF 已归档，存档时间：2022-10-09）
Lyusternik, Lazar；Shnirel'man, Lev（1930）。《变分问题中的拓扑方法》（俄文）[Topological Methods in Variational Problems]。莫斯科国立大学数学与力学研究所出版。
Matoušek, Jiří（2003）。《使用 Borsuk–Ulam 定理》（英文）[Using the Borsuk–Ulam Theorem]。柏林：施普林格出版社（Springer Verlag）。doi:10.1007/978-3-540-76649-0。ISBN: 978-3-540-00362-5。
Steinlein, H.（1985）。《Borsuk 对极定理及其推广与应用综述》。发表于《非线性分析中的拓扑方法》研讨会（Sém. Math. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN），第 95 卷，第 166–235 页。
Su, Francis Edward（1997 年 11 月）。《Borsuk–Ulam 蕴含 Brouwer 不动点定理：一种直接构造》（PDF）[Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction]。发表于《美国数学月刊》，第 104 卷第 9 期，第 855–859 页。CiteSeerX: 10.1.1.142.4935。doi:10.2307/2975293。JSTOR: 2975293。原始 PDF 已于 2008-10-13 归档。访问时间：2006-04-21。

9. 外部链接

[谁（还）在乎拓扑学？被偷的项链与 Borsuk–Ulam 定理（YouTube 视频）](https://www.youtube.com/results?search_query=borsuk+ulam+necklace)
[Borsuk–Ulam 探索器：一个交互式的 Borsuk–Ulam 定理演示平台](https://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/the-borsuk-ulam-explorer)

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