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本文根据 CC-BY-SA 协议转载翻译自维基百科相关文章。
在数学中，交换环（通常是一个域）$K$ 上的结合代数 $A$ 是一个环 $A$，并且带有一个从 $K$ 到 $A$ 的中心（center）的环同态。因此，它是一种代数结构，包含加法、乘法和数量乘法（即由 $K$ 中元素通过环同态的像所定义的乘法）。加法和乘法运算共同赋予 $A$ 环的结构；加法和数量乘法运算共同赋予 $A$ $K$-模或向量空间的结构。在本文中，我们也使用 $K$-代数 一词来指代 $K$ 上的结合代数。
$K$-代数的一个标准例子是定义在交换环 $K$ 上的方阵环，采用通常的矩阵乘法。
一个交换代数是乘法交换的结合代数，或者等价地，是同时也是交换环的结合代数。
在本文中，假设结合代数都有一个乘法单位元，记作 $1$；为强调这一点，有时称为有单位结合代数。在数学的一些领域中不做这一假设，这类结构称为非有单位结合代数。我们也假设所有的环都是有单位的，并且所有的环同态都是保单位元的。
每个环都是它的中心上的结合代数，也是整数环 $\mathbb{Z}$ 上的结合代数。
设 $R$ 是一个交换环（因此 $R$ 也可以是一个域）。一个结合的 $R$-代数 $A$（或更简单地称为 $R$-代数 $A$）是一个环 $A$，并且同时是一个 $R$-模，满足环加法与模加法是同一个运算，并且数量乘法满足 $$ r \cdot (xy) = (r \cdot x)y = x(r \cdot y)~ $$ 对所有 $r \in R$ 和代数中的 $x, y$ 成立。（这个定义意味着代数作为一个环是有单位的，因为假设环必须有乘法单位元。）
等价地，一个结合代数 $A$ 是一个环，并且带有一个从 $R$ 到 $A$ 的中心的环同态。如果 $f$ 是这样的同态，则数量乘法为 $(r, x) \mapsto f(r) x$（此处乘法是环乘法）；如果给定了数量乘法，则该环同态由 $r \mapsto r \cdot 1_A$ 给出。（另见下文 “由环同态导出” 一节。）每个环都是一个结合的 $\mathbb{Z}$-代数，其中 $\mathbb{Z}$ 表示整数环。
一个交换代数是一个乘法交换的结合代数，或者等价地，是一个同时也是交换环的结合代数。
这个定义等价于说：一个有单位的结合 $R$-代数是 $R$-Mod（即 $R$-模的单（幺）积范畴）中的一个幺半群对象。按照定义，一个环是阿贝尔群范畴中的幺半群对象；因此，结合代数的概念可以通过将阿贝尔群范畴替换为模范畴而得到。
进一步推广这一思想，一些作者将 “广义环” 定义为某个行为类似于模范畴的其他范畴中的幺半群对象。实际上，这种重新解释使得我们可以避免对代数 $A$ 的元素做显式引用。例如，结合律可以用如下方式表达：根据模张量积的泛性质，乘法（即 $R$-双线性映射）对应于一个唯一的 $R$-线性映射 $$ m: A \otimes_R A \to A~ $$ 结合律则对应于以下恒等式： $$ m \circ (\operatorname{id} \otimes m) = m \circ (m \otimes \operatorname{id})~ $$
一个结合代数本质上等价于一个像落在中心中的环同态。确实，假设给定一个环 $A$ 和一个环同态 $\eta : R \to A$ 其像落在 $A$ 的中心，那么可以通过定义 $$ r \cdot x = \eta(r) x~ $$ （对所有 $r \in R$ 和 $x \in A$）使 $A$ 成为一个 $R$-代数。反过来，如果 $A$ 是一个 $R$-代数，取 $x = 1$，同样的公式又定义了一个像落在中心的环同态 $ \eta : R \to A$。
如果一个环是交换的，那么它等于它的中心，因此一个交换的 $R$-代数可以简单地定义为：一个交换环 $A$ 连同一个交换环同态 $\eta : R \to A$。上述出现的环同态 $\eta$ 通常称为结构映射。在交换情形下，可以考虑这样一个范畴：其对象是固定 $R$ 的环同态 $R \to A$，即交换的 $R$-代数；其态射是 “在 $R$ 下” 的环同态 $A \to A'$，即图 $R \to A \to A'$ 等于 $R \to A'$ 也就是交换环范畴在 $R$ 下的余切范畴。素谱函子 Spec 然后给出这个范畴与 Spec $R$ 上的仿射概形范畴之间的反等价。
如何削弱交换性假设是非交换代数几何以及近来的导出代数几何的研究主题。参见：泛矩阵环。
两个 $R$-代数之间的同态是一个 $R$-线性的环同态。具体来说，如果 $\varphi : A_1 \to A_2$ 是一个结合代数同态，当且仅当满足以下条件： $$ \begin{aligned} \varphi(r \cdot x) &= r \cdot \varphi(x)\\ \varphi(x + y) &= \varphi(x) + \varphi(y)\\ \varphi(xy) &= \varphi(x)\varphi(y)\\ \varphi(1) &= 1 \end{aligned}~ $$ 其中 $r \in R$，$x, y \in A_1$。所有 $R$-代数及其代数同态构成一个范畴，通常记作 R-Alg。
交换 $R$-代数的子范畴可以刻画为余切范畴 $R / \mathbf{CRing}$，其中 $\mathbf{CRing}$ 是交换环范畴。
最基本的例子是一个环本身；它是其中心或中心中任何子环上的代数。特别地，任何交换环都是其任意子环上的代数。其他例子在代数及数学的其他领域中也非常多见。
子代数
一个 $R$-代数 $A$ 的子代数是 $A$ 的一个子集，它既是一个子环，又是一个子模。也就是说，它必须在加法、环乘法、数量乘法下封闭，并且必须包含 $A$ 的单位元。
商代数
设 $A$ 是一个 $R$-代数。$A$ 中任意一个环论意义下的理想 $I$ 自动是一个 $R$-模，因为 $r \cdot x = (r 1_A) x$。这使得商环 $A / I$ 具有 $R$-模的结构，实际上也具有 $R$-代数的结构。因此，$A$ 的任何环同态像也是一个 $R$-代数。
直积
一族 $R$-代数的直积是环论意义下的直积。它通过显然的数量乘法成为一个 $R$-代数。
自由积
可以用类似于群自由积的方式构造 $R$-代数的自由积。自由积是 $R$-代数范畴中的余积。
张量积
两个 $R$-代数的张量积也自然是一个 $R$-代数。更多细节参见代数的张量积。给定一个交换环 $R$ 和任意环 $A$，张量积 $R \otimes_{\mathbb{Z}} A$ 可以通过如下定义赋予 $R$-代数的结构：$r \cdot (s \otimes a) = (rs \otimes a)$。将 $A$ 映射到 $R \otimes_{\mathbb{Z}} A$ 的函子是左伴随于将一个 $R$-代数映射到它的底层环（忽略模结构）的函子。另见：换环
自由代数
自由代数是由符号生成的代数。如果施加交换性条件，即对换子取商，那么就得到一个多项式代数。
设 $A$ 是一个定义在交换环 $R$ 上的结合代数。由于 $A$ 特别是一个模，我们可以取它的对偶模 $A^*$。先验地，$A^*$ 不一定具有结合代数的结构。然而，如果 $A$ 带有额外的结构（即 Hopf 代数的结构），那么它的对偶也会成为一个结合代数。
例如，取 $A$ 为一个紧群 $G$ 上的连续函数环。此时，$A$ 不仅是一个结合代数，它还带有余乘法和余单位，定义为：$\Delta(f)(g, h) = f(gh), \quad \varepsilon(f) = f(1)$。\(^\text{[1]}\) 这里的 “余-” 是指它们满足代数公理中通常乘法和单位元的对偶条件。因此，对偶 $A^*$ 是一个结合代数。余乘法和余单位在构造结合代数表示的张量积时也非常重要（参见下文 “表示” 一节）。
给定一个定义在交换环 $R$ 上的结合代数 $A$，包络代数 $A^e$ 定义为 $$ A^e = A \otimes_R A^{op} \quad \text{或} \quad A^e = A^{op} \otimes_R A~ $$ 具体采用哪一种定义取决于作者。\(^\text{[2]}\)
注意：一个 $A$-双模恰好是一个 $A^e$-左模。
设 $A$ 是一个定义在交换环 $R$ 上的代数。则 $A$ 是一个右 $A^e := A^{op} \otimes_R A$-模，其作用定义为：$x \cdot (a \otimes b) = a x b$ 根据定义，若乘法映射 $A \otimes_R A \to A : x \otimes y \mapsto xy$ 可以作为一个 $A^e$-线性映射分裂，则称 $A$ 是分离的。\(^\text{[3]}\) 其中，$A \otimes A$ 作为 $A^e$-模的作用定义为：$(x \otimes y) \cdot (a \otimes b) = a x \otimes y b$。 等价地，\(^\text{[b]}\) 若 $A$ 作为 $A^e$-模是投射的，则称 $A$ 是分离的。因此，$A$ 的 $A^e$-投射维数，有时称为 $A$ 的双维数，用来度量 $A$ 的 “非分离性”。
设 $A$ 是定义在域 $k$ 上的一个有限维代数。那么 $A$ 是一个 Artin 环。
由于 $A$ 是 Artin 环，如果它是交换的，那么它是若干个 Artin 局部环的有限积，这些局部环的剩余域都是基域 $k$ 上的代数。此时，若 $A$ 是既约的 Artin 局部环，那么它是一个域。因此，下列条件是等价的 \(^\text{[4]}\)：
设 $\Gamma = \operatorname{Gal}(k_s / k) = \varprojlim \operatorname{Gal}(k'/k)$，即 $k$ 的有限 Galois 扩张的极限，它是一个完备拓扑群。那么映射 $$ A \mapsto X_A = \{k\text{-代数同态 } A \to k_s\}~ $$ 给出了有限维分离 $k$-代数范畴与带有连续 $\Gamma$-作用的有限集范畴之间的一个反等价。\(^\text{[5]}\)
由于一个单 Artin 环是一个除环上的（满的）矩阵环，如果 $A$ 是一个单代数，那么 $A = M_n(D)$ 即 $A$ 是一个除代数 $D$（定义在 $k$ 上）的 $n \times n$ 矩阵代数。更一般地，如果 $A$ 是一个半单代数，那么它是若干个矩阵代数（在不同的 $k$-除代数上）的有限积，这就是著名 Artin–Wedderburn 定理。
由于 $A$ 是 Artin 环，Jacobson 根的概念在此得以简化：对于一个 Artin 环，$A$ 的 Jacobson 根是所有（双边）极大理想的交集。（而在一般情形下，Jacobson 根是所有左极大理想或所有右极大理想的交集。）
Wedderburn 主定理陈述如下 \(^\text{[6]}\)：对于一个有限维代数 $A$，若 $I$ 是一个幂零理想，并且 $A / I$ 作为包络代数 $(A / I)^e$ 上的模的投射维数最多为 1，那么自然满射 $p : A \to A / I$ 是分裂的；也就是说，$A$ 包含一个子代数 $B$，使得 $p|_B : B \xrightarrow{\sim} A / I$ 是一个同构。当取 $I$ 为 Jacobson 根时，该定理特别说明：Jacobson 根与一个半单代数互补。此定理是李代数的 Levi 定理 的一个类似物。
设 $R$ 是一个 Noether 整环，且它的分式域为 $K$（例如，$R = \mathbf{Z}$，$K = \mathbf{Q}$）。在一个有限维的 $K$-向量空间 $V$ 中，格 $L$ 是 $V$ 的一个有限生成的 $R$-子模，并且能够生成 $V$；换句话说，$L \otimes_R K = V$。
设 $A_K$ 是一个有限维的 $K$-代数。序是在 $A_K$ 中的一个既是 $R$-子代数又是一个格的对象。通常来说，序的数量远少于格的数量；例如，$\frac{1}{2} \mathbf{Z}$ 是 $\mathbf{Q}$ 中的一个格，但它不是一个序（因为它不是一个代数）。\(^\text{[7]}\)
极大序是指在所有序中极大的序。
一个定义在域 $K$ 上的结合代数可以看作是一个 $K$-向量空间 $A$，它配备了一个双线性映射 $A \times A \to A$（有两个输入：乘数和被乘数，以及一个输出：积），以及一个态射 $K \to A$ 用来确定乘法单位元的数量倍。如果将双线性映射 $A \times A \to A$ 通过张量积的泛性质重新解释为一个线性映射（即 $K$-向量空间范畴中的态射）$A \otimes A \to A$,那么可以将定义在 $K$ 上的结合代数看作是一个 $K$-向量空间 $A$，它配备了两个态射（一个是 $A \otimes A \to A$，另一个是 $K \to A$），并且满足某些归结为代数公理的条件。利用范畴对偶将描述代数公理的交换图中的箭头反向，这两个态射就可以被 “对偶化”，从而定义了一个余代数的结构。
此外，还有一个抽象的 $F$-余代数（$F$-coalgebra）概念，其中 $F$ 是一个函子。这与上述余代数的概念有一定联系，但更为一般化。
一个代数 $A$ 的表示是一个代数同态 $\rho : A \to \operatorname{End}(V)$ 其中 $\operatorname{End}(V)$ 是某个向量空间（或模）$V$ 的自同态代数。$\rho$ 是代数同态的条件意味着：$\rho$ 保持乘法运算，即对所有 $x, y \in A$，$\rho(xy) = \rho(x)\rho(y)$,$\rho$ 将 $A$ 的单位元映射到 $\operatorname{End}(V)$ 的单位元，即 $V$ 的恒等自同态。
如果 $A$ 和 $B$ 是两个代数，$\rho : A \to \operatorname{End}(V)$ 和 $\tau : B \to \operatorname{End}(W)$ 是两个表示，则存在一个（典范的）表示 $A \otimes B \to \operatorname{End}(V \otimes W)$,它是张量积代数 $A \otimes B$ 在向量空间 $V \otimes W$ 上的表示。然而，对于同一个结合代数，并没有自然的方式定义两个表示的张量积，使得结果仍然是该代数的表示（而不是它与自身的张量积的表示），除非施加额外的条件。这里所说的 “表示的张量积” 指的是通常的意义：结果应当是同一个代数在积向量空间上的一个线性表示。施加这样的额外结构通常会引出 Hopf 代数或李代数 的概念，如下所示。
考虑如下情形：有两个表示 $\sigma : A \to \operatorname{End}(V), \quad \tau : A \to \operatorname{End}(W)$ 你可能会尝试构造一个张量积表示 $\rho : x \mapsto \sigma(x) \otimes \tau(x)$ 定义在积向量空间 $V \otimes W$ 上的作用方式为： $$ \rho(x)(v \otimes w) = \sigma(x)(v) \otimes \tau(x)(w)~ $$ 但这个定义不是线性的，因为对任意标量 $k \in K$，会有： $$ \rho(kx) = \sigma(kx) \otimes \tau(kx) = k \sigma(x) \otimes k \tau(x) = k^2 (\sigma(x) \otimes \tau(x)) = k^2 \rho(x)~ $$ 这表明 $\rho(kx) \ne k \rho(x)$，因此不满足线性性的基本要求。为了解决这个问题并恢复线性性，可以引入额外结构：定义一个代数同态 $\Delta: A \to A \otimes A$ 然后定义张量积表示为： $$ \rho = (\sigma \otimes \tau) \circ \Delta~ $$ 这个同态 $\Delta$ 被称为余乘法，如果它满足一定的公理（比如余结合性），就可以定义一个新的结构，称为余代数。如果将余乘法与原来的代数结构结合起来，使它们在一定意义下协同工作，那么得到的结构称为双代数。为了与结合代数的定义一致，这个余代数必须满足余结合性，如果代数是有单位的，则余代数也必须是有余单位的。进一步，如果我们再添加一个结构，称为反元，这个增强的双代数结构就称为 Hopf 代数。它不仅允许我们定义两个表示的张量积，还能定义两个表示之间的 Hom 模块（与群表示理论中的构造类似）。
我们可以尝试更巧妙地定义张量积表示。例如，考虑以下映射： $$ x \mapsto \rho(x) = \sigma(x) \otimes \mathrm{Id}_W + \mathrm{Id}_V \otimes \tau(x)~ $$ 使得它在张量积空间上的作用为： $$ \rho(x)(v \otimes w) = (\sigma(x)v) \otimes w + v \otimes (\tau(x)w)~ $$ 这个映射在 $x$ 上是线性的，因此不存在前面提到的线性性问题。然而，它不保持乘法结构： $$ \rho(xy) = \sigma(x)\sigma(y) \otimes \mathrm{Id}_W + \mathrm{Id}_V \otimes \tau(x)\tau(y)~ $$ 但通常这不等于： $$ \rho(x)\rho(y) = \sigma(x)\sigma(y) \otimes \mathrm{Id}_W + \sigma(x) \otimes \tau(y) + \sigma(y) \otimes \tau(x) + \mathrm{Id}_V \otimes \tau(x)\tau(y)~ $$ 这说明上述张量积的定义过于天真：它未能保留代数的乘法性质。一个显而易见的修正方法是使结构反对称，从而使中间的两项相互抵消。这正引出了李代数的概念。
一些作者使用 “结合代数” 一词来指代不一定具有乘法单位元的结构，因此他们也考虑不一定是幺射的代数同态。
一个非幺结合代数的例子是所有满足以下条件的函数 $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ 的集合：当 $x \to \infty$ 时，$f(x) \to 0$。
另一个例子是连续周期函数构成的向量空间，乘法定义为卷积乘积。
a.编辑说明：事实证明，在一些有趣的情形中，$A_e$ 是一个满矩阵环，因此更常见的约定是让矩阵从右边作用。
b.为了说明等价性，可以注意到：如果 $A \otimes_R A \to A$ 有一个截面，那么它可以用来构造一个满射的截面。
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