信息熵简介

                     

贡献者: addis

  • 本文处于草稿阶段。

   给出一个 $N$ 元离散概率质量函数 $P(x_i)$($i=1,\dots,N$),信息熵定义为

\begin{equation} H = -\sum_{i=1}^N P(i) \log_2 P(x_i)~. \end{equation}
为什么要这么定义?若每个可能都是等概率的,那么 $P(x_i) = 1/N$,所以上式化简为
\begin{equation} H = \log_2 N~. \end{equation}
若要从这 $N$ 种可能性种指明一种,所需要的信息量就是 $H$ 比特。

   无论是在统计力学还是信息论种,简单来说,熵代表不确定的程度。在等可能的情况下,可能性更多,就越不确定。若 $N$ 固定不变,当各种可能的概率不完全相等时,根据式 1 不难验证 $H < \log_2 N$。这是因为 “知道哪种可能性更大” 本身也是一种信息。就像在做选择题时,如果对这道题完全不会,那么每个选项对考生来说都是等可能的,但如果朦胧地记得一些信息,就可能会对某个选项更有把握,信息熵就会变小。


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