海森伯群（综述）

贡献者： 待更新

　　 本文根据 CC-BY-SA 协议转载翻译自维基百科相关文章

　　 在数学中，海森堡群 $H$（以维尔纳·海森堡命名）是由如下形式的 $3 \times 3$ 上三角矩阵组成的群： $$ \begin{pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}~ $$ 其运算为矩阵乘法。元素 $a, b, c$ 可以取自任意含幺交换环，常见的选择是实数环（得到所谓的 “连续海森堡群”）或整数环（得到 “离散海森堡群”）。

　　 连续海森堡群出现在对一维量子力学系统的描述中，尤其是在 Stone–von Neumann 定理的语境下。更一般地，可以考虑与 $n$ 维系统相关的海森堡群，最一般的情况则对应于任意的辛向量空间。

1. 三维情形

　　 在三维情形下，两个海森堡矩阵的乘积为： $$ \begin{pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a' & c' \\ 0 & 1 & b' \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a + a' & c + ab' + c' \\ 0 & 1 & b + b' \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.~ $$ 由其中的 $ab'$ 项可以看出，该群是非阿贝尔群。

　　 海森堡群的中性元是单位矩阵，其逆元由下式给出： $$ \begin{pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -a & ab - c \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.~ $$ 该群是二维仿射群 $\mathrm{Aff}(2)$ 的一个子群：$\begin{pmatrix}1 & a & c \\0 & 1 & b \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ 作用在 $(\vec{x}, 1)$ 上时，对应的仿射变换为：$\begin{pmatrix}1 & a \\0 & 1\end{pmatrix} \vec{x} +\begin{pmatrix}c \\b\end{pmatrix}$.三维情形下有若干重要的例子。

连续海森堡群

　　 若 $a, b, c$ 为实数（在实数环 $\mathbf{R}$ 中），则得到连续海森堡群 $H_{3}(\mathbf{R})$。

　　 它是一个 3 维幂零实李群。

　　 除了作为实 $3 \times 3$ 矩阵的表示外，连续海森堡群在函数空间中还有若干不同的表示。根据 Stone–von Neumann 定理，在同构意义下，海森堡群 $H$ 存在唯一的不变的不可约酉表示，其中其中心通过一个给定的非平凡特征作用。

　　 这一表示有若干重要的实现方式（或模型）：在薛定谔模型中，海森堡群作用在平方可积函数空间上；在θ表示中，它作用在上半平面上的全纯函数空间上；其名称源自其与θ函数的联系。

离散海森堡群

　　 如果 $a, b, c$ 是整数（在环 $\mathbf{Z}$ 中），则可以得到离散海森堡群 $H_{3}(\mathbf{Z})$。这是一个非阿贝尔的幂零群。它有两个生成元： $$ x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}~ $$ 并且满足如下关系式： $$ z = x y x^{-1} y^{-1}, \quad xz = zx, \quad yz = zy,~ $$ 其中 $$ z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}~ $$ 是 $H_{3}$ 的中心的生成元。（注意：矩阵 $x, y, z$ 的逆元，只需把对角线上方的 1 替换成−1。）

　　 根据 Bass 定理，它具有 4 阶的多项式增长率。

　　 群中的任意元素都可以通过下式生成： $$ \begin{pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = y^{b} z^{c} x^{a}.~ $$

模 $p$ 的海森堡群（当 $p$ 是奇素数时）

　　 如果取 $a, b, c \in \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$，其中 $p$ 为奇素数，那么就得到模 $p$ 的海森堡群。它是一个阶为 $p^{3}$ 的群，生成元为 $x, y$，并且满足以下关系： $$ z = x y x^{-1} y^{-1}, \quad x^{p} = y^{p} = z^{p} = 1, \quad xz = zx, \quad yz = zy.~ $$ 在奇素数阶有限域上的海森堡群的类似物称为额外特殊群，更准确地说，是指数为 $p$ 的额外特殊群。更一般地，如果一个群 $G$ 的导出子群包含在其中心 $Z$ 内，那么映射 $G/Z \times G/Z \;\to\; Z$ 就是一个阿贝尔群上的斜对称双线性算子。

　　 然而，若要求 $G/Z$ 是有限向量空间，就必须要求 $G$ 的 Frattini 子群包含在中心中；而若要求 $Z$ 是 $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ 上的一维向量空间，则必须要求 $Z$ 的阶为 $p$。因此，如果 $G$ 不是阿贝尔群，那么 $G$ 就是一个额外特殊群。如果 $G$ 是额外特殊群，但其指数不是 $p$，那么下面给出的关于辛向量空间 $G/Z$ 的一般构造并不会得到与 $G$ 同构的群。

模 2 的海森堡群

　　 模 2 的海森堡群阶为 8，并且同构于二面体群 $D_{4}$（即正方形的对称群）。注意到如果 $$ x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},~ $$ 那么 $$ xy = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad yx = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.~ $$ 元素 $x$ 和 $y$ 对应于两个相隔 $45^\circ$ 的反射，而 $xy$ 和 $yx$ 对应于 $90^\circ$ 的旋转。其余的反射是 $xyx$ 与 $yxy$，而 $180^\circ$ 的旋转则由 $xyxy \; (= yxyx)$ 给出。

2. 海森堡代数

　　 海森堡群 $H$（在实数域上）的李代数 $\mathfrak{h}$ 称为海森堡代数。\(^\text{[1]}\) 它可以表示为如下形式的 $3 \times 3$ 矩阵空间 \(^\text{[2]}\)： $$ \begin{pmatrix} 0 & a & c \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a, b, c \in \mathbb{R}.~ $$ 下列三个元素构成 $\mathfrak{h}$ 的一组基： $$ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.~ $$ 这些基元素满足以下对易关系： $$ [X, Y] = Z, \quad [X, Z] = 0, \quad [Y, Z] = 0.~ $$ “海森堡群” 这一名称的动机来自于上述关系，它们与量子力学中的正则对易关系形式相同： $$ [\hat{x}, \hat{p}] = i \hbar I, \quad [\hat{x}, i \hbar I] = 0, \quad [\hat{p}, i \hbar I] = 0,~ $$ 其中 $\hat{x}$ 是位置算符，$\hat{p}$ 是动量算符，$\hbar$ 是普朗克常数。

　　 海森堡群 $H$ 具有一个特殊性质：指数映射是一个从李代数 $\mathfrak{h}$ 到群 $H$ 的一一对应的满射 \(^\text{[3]}\)： $$ \exp \begin{pmatrix} 0 & a & c \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a & c + \tfrac{ab}{2} \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.~ $$

在共形场论中

　　 在共形场论中，“海森堡代数” 一词被用来指代上述代数的无限维推广。它由元素 $a_{n}, \quad n \in \mathbb{Z}$ 所张成，并满足以下对易关系： $$ [a_{n}, a_{m}] = \delta_{n+m,0}.~ $$ 在重新缩放之后，这实际上就是上述有限维海森堡代数的可数无穷多个拷贝。

3. 更高维度

　　 在更高维的欧几里得空间中，以及更一般的辛向量空间上，可以定义更一般的海森堡群 $H_{2n+1}$。最简单的一般情形是维数为 $2n+1$ 的实海森堡群，其中 $n \geq 1$ 为任意整数。作为矩阵群，$H_{2n+1}$（或者记为 $H_{2n+1}(\mathbb{R})$，表示这是定义在实数域 $\mathbb{R}$ 上的海森堡群）被定义为一类 $(n+2)\times(n+2)$ 的实矩阵群，其矩阵形式为： $$ \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{a} & c \\ \mathbf{0} & I_{n} & \mathbf{b} \\ 0 & \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix},~ $$ 其中：
$\mathbf{a}$ 是长度为 $n$ 的行向量；
$\mathbf{b}$ 是长度为 $n$ 的列向量；
$I_{n}$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵。

群结构

　　 这确实是一个群，其乘法运算如下所示： $$ \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{a} & c \\ \mathbf{0} & I_{n} & \mathbf{b} \\ 0 & \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{a}' & c' \\ \mathbf{0} & I_{n} & \mathbf{b}' \\ 0 & \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{a} + \mathbf{a}' & c + c' + \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}' \\ \mathbf{0} & I_{n} & \mathbf{b} + \mathbf{b}' \\ 0 & \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix},~ $$ 并且 $$ \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{a} & c \\ \mathbf{0} & I_{n} & \mathbf{b} \\ 0 & \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -\mathbf{a} & -c + \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \\ \mathbf{0} & I_{n} & -\mathbf{b} \\ 0 & \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0} & 0 \\ \mathbf{0} & I_{n} & \mathbf{0} \\ 0 & \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix}.~ $$

李代数

　　 海森堡群是一个单连通李群，其李代数由如下形式的矩阵组成： $$ \begin{bmatrix} 0 & \mathbf{a} & c \\ \mathbf{0} & 0_{n} & \mathbf{b} \\ 0 & \mathbf{0} & 0 \end{bmatrix},~ $$ 其中：
$\mathbf{a}$ 是长度为 $n$ 的行向量；
$\mathbf{b}$ 是长度为 $n$ 的列向量；
$0_{n}$ 是 $n \times n$ 的零矩阵。
设 $e_{1}, \ldots, e_{n}$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 的标准基，并定义： $$ p_{i} = \begin{bmatrix} 0 & e_{i}^{T} & 0 \\ \mathbf{0} & 0_{n} & \mathbf{0} \\ 0 & \mathbf{0} & 0 \end{bmatrix}, \quad q_{j} = \begin{bmatrix} 0 & \mathbf{0} & 0 \\ \mathbf{0} & 0_{n} & e_{j} \\ 0 & \mathbf{0} & 0 \end{bmatrix}, \quad z = \begin{bmatrix} 0 & \mathbf{0} & 1 \\ \mathbf{0} & 0_{n} & \mathbf{0} \\ 0 & \mathbf{0} & 0 \end{bmatrix}.~ $$ 由此得到的李代数满足以下正则对易关系： $$ [p_{i}, q_{j}] = \delta_{ij} z, \quad [p_{i}, z] = 0, \quad [q_{j}, z] = 0,~ $$ 其中 $p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, z$ 是代数的生成元。

　　 特别地，$z$ 是海森堡李代数的中心元。需要注意的是，海森堡群的李代数是幂零的。

指数映射

　　 设 $$ u = \begin{bmatrix} 0 & \mathbf{a} & c \\ \mathbf{0} & 0_{n} & \mathbf{b} \\ 0 & \mathbf{0} & 0 \end{bmatrix},~ $$ 它满足 $u^{3} = 0_{n+2}$.指数映射计算为： $$ \exp\left(u\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} u^{k} = I_{n+2} + u + \tfrac{1}{2} u^{2} = \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{a} & c + \tfrac{1}{2}\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \\ \mathbf{0} & I_{n} & \mathbf{b} \\ 0 & \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix}.~ $$ 任意幂零李代数的指数映射，都是该李代数与其唯一对应的连通、单连通李群之间的一个微分同胚。

　　 除了涉及维度和李群的表述外，如果我们将 $\mathbf{R}$ 替换为任意交换环 $A$，上述讨论同样适用。相应的群记作 $H_{n}(A)$。

　　 在进一步假设素数 2 在环 $A$ 中可逆的条件下，指数映射同样成立，因为它退化为有限项的求和，并且形式与上式相同（例如，$A$ 可以是奇素数 $p$ 的剩余类环 $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$，或任何特征为 0 的域）。

4. 表示论

　　 海森堡群的酉表示论相当简单——后来由 Mackey 理论推广——而且正是它在量子物理中被引入的动机，如下所述。

　　 对于每个非零实数 $\hbar$，可以定义海森堡群 $H_{2n+1}$ 的一个不可约酉表示 $\Pi_{\hbar}$，它作用在希尔伯特空间 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ 上，其定义公式为 \(^\text{[4]}\)： $$ \bigg[\Pi_{\hbar} \begin{pmatrix} 1 & \mathbf{a} & c \\ 0 & I_{n} & \mathbf{b} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \psi \bigg](\mathbf{x}) = e^{i\hbar c} e^{i \mathbf{b}\cdot \mathbf{x}} \psi(\mathbf{x} + \hbar \mathbf{a})~ $$ 这种表示称为薛定谔表示。它的动机来自于量子力学中位置算符与动量算符的指数形式的作用。参数 $\mathbf{a}$ 表示在位置空间中的平移；参数 $\mathbf{b}$ 表示在动量空间中的平移；参数 $c$ 给出一个整体的相位因子。需要这个相位因子才能形成一个真正的算符群，因为位置空间的平移与动量空间的平移是不对易的。

　　 关键结果是石–冯·诺伊曼定理，它表明：海森堡群的每一个（强连续的）不可约酉表示，只要其中心的作用是非平凡的，那么它必然与某个 $\Pi_{\hbar}$（对应某个 $\hbar$）等价 \(^\text{[5]}\)。换句话说，它们都等价于定义在 $2n$ 维辛空间上的 Weyl 代数（或 CCR 代数）。

　　 由于海森堡群是 $\mathbb{R}^{2n}$ 的一个一维中心扩张，所以它的不可约酉表示也可以被看作是 $\mathbb{R}^{2n}$ 的不可约酉投射表示。从概念上讲，上面给出的表示就是经典相空间 $\mathbb{R}^{2n}$ 上平移对称群的量子力学对应物。量子版本只是 $\mathbb{R}^{2n}$ 的一个投射表示，这一点在经典层面就已经有所暗示。相空间中平移的哈密顿生成元是位置函数和动量函数。然而，它们在 Poisson 括号下的张成并不构成一个李代数，因为 $\{x_{i}, p_{j}\} = \delta_{i,j}$.实际上，位置函数、动量函数再加上常数函数的张成，才在 Poisson 括号下构成一个李代数。这个李代数是交换李代数 $\mathbb{R}^{2n}$ 的一个一维中心扩张，同构于海森堡群的李代数。

5. 在辛向量空间上的情形

　　 海森堡群的一般抽象形式可以由任意辛向量空间构造而成 \(^\text{[6]}\)。例如，设 $(V, \omega)$ 是一个有限维实辛向量空间（因此 $\omega$ 是 $V$ 上的一个非退化斜对称双线性形式）。在 $(V, \omega)$ 上的海森堡群 $H(V)$（或简记为 $V$）是集合 $V \times \mathbf{R}$，并赋予如下群运算： $$ (v, t) \cdot (v', t') = \big(v + v', \; t + t' + \tfrac{1}{2}\omega(v, v')\big).~ $$ 海森堡群是加法群 $V$ 的一个中心扩张。因此存在如下精确序列： $$ 0 \;\longrightarrow\; \mathbf{R} \;\longrightarrow\; H(V) \;\longrightarrow\; V \;\longrightarrow\; 0.~ $$ 任意辛向量空间都承认一个 Darboux 基 $\{e_{j}, f_{k}\}_{1 \le j,k \le n}$，满足 $\omega(e_{j}, f_{k}) = \delta_{jk}$，其中 $V$ 的维数为 $2n$（必然是偶数）。在这个基的表示下，每个向量可以分解为： $$ v = q^{a} e_{a} + p_{a} f^{a}.~ $$ 这里的 $q^{a}$ 与 $p_{a}$ 是正则共轭坐标。

　　 如果 $\{e_{j}, f_{k}\}_{1 \leq j,k \leq n}$ 是 $V$ 的一个 Darboux 基，那么取 $\{E\}$ 作为 $\mathbb{R}$ 的基，则 $\{e_{j}, f_{k}, E\}_{1 \leq j,k \leq n}$ 就是 $V \times \mathbb{R}$ 的相应基。此时，海森堡群中的一个向量可表示为： $$ v = q^{a} e_{a} + p_{a} f^{a} + tE.~ $$ 群运算变为： $$ (p, q, t) \cdot (p', q', t') = \big(p + p',\; q + q',\; t + t' + \tfrac{1}{2}(pq' - p'q)\big).~ $$ 由于海森堡群的底层流形是一个线性空间，因此李代数中的向量可以规范地与群中的向量对应。海森堡群的李代数由以下对易关系给出： $$ [(v_{1}, t_{1}), (v_{2}, t_{2})] = \omega(v_{1}, v_{2}),~ $$ 或者用 Darboux 基来写： $$ [e_{a}, f^{b}] = \delta_{a}^{b},~ $$ 并且所有其他对易子均为零。

　　 也可以用另一种方式来定义群运算，但它给出的群与我们刚刚定义的群是同构的。为避免混淆，我们使用 $u$ 代替 $t$，于是群中的一个向量表示为： $$ v = q^{a} e_{a} + p_{a} f^{a} + uE,~ $$ 其群运算为： $$ (p, q, u) \cdot (p', q', u') = \big(p + p',\; q + q',\; u + u' + pq'\big).~ $$ 群的一个元素 $$ v = q^{a} e_{a} + p_{a} f^{a} + uE~ $$ 可以表示为矩阵： $$ \begin{bmatrix} 1 & p & u \\ 0 & I_{n} & q \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},~ $$ 这就给出了 $H(V)$ 的一个忠实矩阵表示。在这种表述下，$u$ 与我们之前的 $t$ 的关系为 $u = t + \tfrac{1}{2}pq$，因此乘积的 $t$ 值为： $$ \begin{aligned} &u + u' + pq' - \tfrac{1}{2}(p+p')(q+q') \\ ={}& t + \tfrac{1}{2}pq + t' + \tfrac{1}{2}p'q' + pq' - \tfrac{1}{2}(p+p')(q+q') \\ ={}& t + t' + \tfrac{1}{2}(pq' - p'q), \end{aligned}~ $$ 与先前的结果一致。

　　 与上三角矩阵群的同构依赖于将 $V$ 分解为一个 Darboux 基，这等价于选择一个同构 $V \cong U \oplus U^{*}$。虽然新的群运算给出的群与上面定义的群同构，但带有这种运算的群有时被称为极化海森堡群，以提醒人们这种群运算依赖于基的选择（即 $V$ 的一个拉格朗日子空间的选择就是一次极化）。

　　 对于任意李代数，都存在唯一的连通、单连通李群 $G$。所有其他与 $G$ 拥有相同李代数的连通李群都具有形式 $G/N$，其中 $N$ 是 $G$ 的一个离散中心子群。在当前情形下，$H(V)$ 的中心是 $\mathbb{R}$，而唯一的离散子群同构于 $\mathbb{Z}$。因此，$H(V)/\mathbb{Z}$ 是另一个与其共享该李代数的李群。值得注意的是：这个李群不承认任何忠实的有限维表示；它不同构于任何矩阵群。不过，它确实拥有一个著名的无限维酉表示族。

6. 与 Weyl 代数的联系

　　 海森堡群的李代数 $\mathfrak{h}_{n}$ 如上所述 (1)，可以表示为一个矩阵李代数。Poincaré–Birkhoff–Witt 定理适用于确定其泛包络代数 $U(\mathfrak{h}_{n})$。在若干性质中，泛包络代数是一个结合代数，其中 $\mathfrak{h}_{n}$ 可以单射嵌入。

　　 根据 Poincaré–Birkhoff–Witt 定理，它实际上是由如下单项式生成的自由向量空间： $$ z^{j} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{n}^{k_{n}} q_{1}^{\ell_{1}} q_{2}^{\ell_{2}} \cdots q_{n}^{\ell_{n}},~ $$ 其中所有指数均为非负整数。

　　 因此，$U(\mathfrak{h}_{n})$ 由如下实系数多项式组成： $$ \sum_{j, \vec{k}, \vec{\ell}} c_{j \vec{k} \vec{\ell}} \,\, z^{j} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{n}^{k_{n}} q_{1}^{\ell_{1}} q_{2}^{\ell_{2}} \cdots q_{n}^{\ell_{n}},~ $$ 并满足对易关系： $$ p_{k} p_{\ell} = p_{\ell} p_{k}, \quad q_{k} q_{\ell} = q_{\ell} q_{k}, \quad p_{k} q_{\ell} - q_{\ell} p_{k} = \delta_{k\ell} z, \quad zp_{k} - p_{k}z = 0, \quad zq_{k} - q_{k}z = 0.~ $$ 代数 $U(\mathfrak{h}_{n})$ 与 $\mathbb{R}^{n}$ 上具有多项式系数的微分算子代数密切相关，因为任意这样的算子都能唯一表示为如下形式： $$ P = \sum_{\vec{k}, \vec{\ell}} c_{\vec{k} \vec{\ell}} \,\, \partial_{x_{1}}^{k_{1}} \partial_{x_{2}}^{k_{2}} \cdots \partial_{x_{n}}^{k_{n}} x_{1}^{\ell_{1}} x_{2}^{\ell_{2}} \cdots x_{n}^{\ell_{n}}.~ $$ 这个代数称为 Weyl 代数。抽象理论表明，Weyl 代数 $W_{n}$ 是 $U(\mathfrak{h}_{n})$ 的一个商代数。不过，这一点也可以直接从上面的表示看出，即通过如下映射： $$ z^{j} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{n}^{k_{n}} q_{1}^{\ell_{1}} q_{2}^{\ell_{2}} \cdots q_{n}^{\ell_{n}} \;\;\mapsto\;\; \partial_{x_{1}}^{k_{1}} \partial_{x_{2}}^{k_{2}} \cdots \partial_{x_{n}}^{k_{n}} x_{1}^{\ell_{1}} x_{2}^{\ell_{2}} \cdots x_{n}^{\ell_{n}}.~ $$

7. 应用

Weyl 的量子力学参数化

　　 促使 Hermann Weyl 明确构造出海森堡群的应用，源于这样一个问题：为什么薛定谔绘景与海森堡绘景在物理上是等价的。抽象地说，其原因就是 Stone–von Neumann 定理：只要中心李代数元 $z$ 的作用被固定，那么其不可约酉表示在酉等价意义下是唯一的；代数中的非平凡元素全都等价于通常的位置算符与动量算符。

　　 因此，薛定谔绘景和海森堡绘景是等价的——它们只是这个本质上唯一的表示的两种不同实现方式。

Theta 表示

　　 同样的唯一性结果被 David Mumford 应用于离散海森堡群，在他关于阿贝尔簇的方程理论中。这个推广非常广泛，它概括了 Jacobi 椭圆函数中的处理方式，而后者对应于阶为 8 的模 2 海森堡群。最简单的情形就是海森堡群的 theta 表示，其中离散情形给出了 theta 函数。

傅里叶分析

　　 海森堡群也出现在傅里叶分析中，在某些 Stone–von Neumann 定理的表述中被使用。在这种情形下，海森堡群可以理解为作用在平方可积函数空间上；其结果是海森堡群的一个表示，有时称为 Weyl 表示。

8. 作为一个亚黎曼流形

　　 定义在实数域上的三维海森堡群 $H_{3}(\mathbb{R})$ 也可以理解为一个光滑流形，且是亚黎曼流形的一个简单例子 \(^\text{[7]}\)。给定点 $p = (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}$，在该点定义一个微分 1-形式 $\Theta$： $$ \Theta_{p} = dz - \tfrac{1}{2}(x \, dy - y \, dx).~ $$ 这个 1-形式属于 $\mathbb{R}^{3}$ 的余切丛；也就是说： $$ \Theta_{p} : T_{p}\mathbf{R}^{3} \to \mathbf{R}~ $$ 是切丛上的一个映射。令 $$ H_{p} = \{ v \in T_{p}\mathbf{R}^{3} \mid \Theta_{p}(v) = 0 \}.~ $$ 可以看出，$H$ 是切丛 $T\mathbb{R}^{3}$ 的一个子丛。在 $H$ 上的余度量由将向量投影到由 $x$-方向和 $y$-方向张成的二维空间上来给出。也就是说，若 $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$、$w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) \in T\mathbf{R}^{3}$，则其内积定义为： $$ \langle v, w \rangle = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2}.~ $$ 由此得到的结构将 $H$ 变成了海森堡群的流形。流形上的一个正交归一标架由以下李向量场给出： $$ X = \frac{\partial}{\partial x} - \tfrac{1}{2}y \frac{\partial}{\partial z}, \quad Y = \frac{\partial}{\partial y} + \tfrac{1}{2}x \frac{\partial}{\partial z}, \quad Z = \frac{\partial}{\partial z},~ $$

　　 它们满足关系式 $[X, Y] = Z$，而 $[X, Z] = [Y, Z] = 0$。作为李向量场，它们构成了群作用的一个左不变基。该流形上的测地线是螺旋线，在二维投影下为圆弧。也就是说，如果 $$ \gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))~ $$ 是一条测地线，那么其二维投影 $c(t) = (x(t), y(t))$ 就是一个圆弧，并且 $$ z(t) = \tfrac{1}{2} \int_{c} x \, dy - y \, dx,~ $$ 其中积分限制在二维平面上。换句话说，曲线的高度与圆弧所围成的圆的面积成正比，这可由格林公式得出。

9. 局部紧阿贝尔群的海森堡群

　　 更一般地，可以定义局部紧阿贝尔群 $K$ 的海森堡群，其中 $K$ 配备有一个 Haar 测度 \(^\text{[8]}\)。这样的群有一个 Pontrjagin 对偶群 $\hat{K}$，它由 $K$ 上所有取值于 $U(1)$ 的连续特征组成，并在赋予紧开拓扑后同样是一个局部紧阿贝尔群。与局部紧阿贝尔群 $K$ 相关联的海森堡群，是希尔伯特空间 $L^{2}(K)$ 的酉群中的一个子群，该子群由来自 $K$ 的平移算子和来自 $\hat{K}$ 的乘法算子生成。

　　 更具体地说，Hilbert 空间 $L^{2}(K)$ 由 $K$ 上平方可积的复值函数 $f$ 构成。平移算子：$K$ 中的平移在 $L^{2}(K)$ 上形成了 $K$ 的一个酉表示： $$ (T_{x} f)(y) = f(x+y), \quad x,y \in K.~ $$ 特征乘法算子：同样地，对偶群 $\hat{K}$ 中的特征也定义了酉算子： $$ (M_{\chi} f)(y) = \chi(y) f(y), \quad \chi \in \hat{K}.~ $$ 这些算子并不对易，而是满足： $$ \big(T_{x} M_{\chi} T_{x}^{-1} M_{\chi}^{-1} f\big)(y) = \overline{\chi(x)} f(y),~ $$ 即相当于乘上一个固定的模为 1 的复数。

　　 因此，与 $K$ 相关联的海森堡群 $H(K)$，是 $K \times \hat{K}$ 的一种中心扩张，对应的群短正合列为： $$ 1 \;\longrightarrow\; U(1) \;\longrightarrow\; H(K) \;\longrightarrow\; K \times \hat{K} \;\longrightarrow\; 0.~ $$ 更一般的海森堡群可由上同调群 $H^{2}(K, U(1))$ 中的 2-余循环来描述。由于 $K$ 与其对偶群 $\hat{K}$ 之间存在对偶性，这给出了一个典范余循环，但通常还会存在其他的余循环。

　　 海森堡群在 $L^{2}(K)$ 上是不可约作用的。实际上，连续特征能够分离点 \(^\text{[9]}\)，因此任何与它们对易的 $L^{2}(K)$ 上的酉算子必然是一个 $L^{\infty}$ 乘子。而若该算子还与平移对易，则说明该乘子只能是常数 \(^\text{[10]}\)。

　　 一个 Stone–von Neumann 定理的推广版本（由 George Mackey 证明）同样适用于海森堡群 $H(K)$\(^\text{[11][12]}\)。在这里，傅里叶变换是 $L^{2}(K)$ 与 $L^{2}(\hat{K})$ 表示之间的唯一交织算子。详情可参见 Stone–von Neumann theorem#Relation to the Fourier transform 的讨论。

10. 参见

• 正则对易关系
• Wigner–Weyl 变换
• Stone–von Neumann 定理
• 投射表示
• 几何化猜想

11. 注释

1. Woit, Peter. Topics in Representation Theory: The Heisenberg Algebra (PDF).
2. Hall 2015. 命题 3.26。
3. Hall 2015. 第 2 章，习题 9。
4. Hall 2013. 命题 14.7。
5. Hall 2013. 定理 14.8。
6. Hans Tilgner, "A class of solvable Lie groups and their relation to the canonical formalism"，Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, 13 卷第 2 期 (1970)，第 103–127 页（2011-06-05 存档于 Wayback Machine）。
7. Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications*（Mathematical Surveys and Monographs, 卷 91），美国数学学会，2002 年，ISBN 0-8218-1391-9。
8. David Mumford (1991), Tata lectures on theta III*, *Progress in Mathematics, 卷 97, Birkhäuser。
9. Karl Heinrich Hofmann, Sidney A. Morris (2006), The structure of compact groups: a primer for students, a handbook for the expert, De Gruyter studies in mathematics 25 (第 2 修订版)，Walter de Gruyter，ISBN 9783110190069。
10. 这一论证在 Roger Howe (1980), "On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis", Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (2): 821–844 中出现了略有不同的表述，doi:10.1090/S0273-0979-1980-14825-9, MR 0578375。
11. George Mackey (1949), "On a theorem of Stone and von Neumann", Duke Mathematical Journal, 16 (2): 313–326, doi:10.1215/s0012-7094-49-01631-2。
12. A. Prasad (2009), "An easy proof of the Stone–von Neumann–Mackey theorem", *Expositiones Mathematicae*, 29: 110–118, arXiv:0912.0574, doi:10.1016/j.exmath.2010.06.001, S2CID 56340220。

12. 参考文献

• Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008). Geometry of Heisenberg Groups. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Hall, Brian C. (2013). Quantum Theory for Mathematicians. Graduate Texts in Mathematics, 卷 267, Springer. Bibcode:2013qtm..book.....H. ISBN 978-1461471158.
• Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics, 卷 222 (第二版). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Howe, Roger (1980). "On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis". Bulletin of the American Mathematical Society. 3 (2): 821–843. doi:10.1090/s0273-0979-1980-14825-9. MR 0578375.
• Kirillov, Alexandre A. (2004). "Ch. 2: Representations and Orbits of the Heisenberg Group". Lectures on the Orbit Method. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3530-0.
• Mackey, George (1976). The theory of Unitary Group Representations. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 978-0226500522.

13. 外部链接

• Groupprops, The Group Properties Wiki — Unitriangular matrix group UT(3,p)