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在数学中，泊松代数是一种带有李括号的结合代数，并且该李括号满足莱布尼茨法则；也就是说，括号运算同时是一个导子。泊松代数在哈密顿力学中自然出现，同时在量子群研究中也处于核心地位。带有泊松代数结构的流形称为泊松流形，其中辛流形和泊松–李群是特殊情形。该代数的名称是为了纪念西美昂·德尼·泊松。
一个泊松代数是定义在域 $K$ 上的向量空间，配备了两个双线性运算 $\cdot$ 和 $\{,\}$，并满足以下性质：
最后一个性质通常允许对该代数给出多种不同的表述，下面的例子中会有所体现。
泊松代数出现在多种情境中。
在一个辛流形上，所有取实值的光滑函数空间构成一个泊松代数。在辛流形上，每一个实值函数 $H$ 都会诱导一个向量场 $X_H$，称为哈密顿向量场。于是，对于任意两个定义在辛流形上的光滑函数 $F$ 和 $G$，泊松括号可定义为： $$ \{F,G\} = dG(X_F) = X_F(G).~ $$ 这个定义部分上之所以一致，是因为泊松括号起到导子的作用。等价地，可以将括号 $\{,\}$ 定义为： $$ X_{\{F,G\}} = [X_F, X_G],~ $$ 其中 $[,]$ 表示李导数。
当辛流形是带有标准辛结构的 $\mathbb{R}^{2n}$ 时，泊松括号取著名的形式： $$ \{F,G\} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i}.~ $$ 类似的思想也适用于泊松流形，它通过允许辛双向量退化来推广辛流形的概念。
李代数的张量代数具有泊松代数结构。在关于普遍包络代数的文章中可以找到一个非常具体的构造。
构造过程如下：首先构造该李代数底层向量空间的张量代数。张量代数就是该向量空间所有张量积的 “不交并”（即直和 $\oplus$）。然后可以证明，李括号能够一致地提升到整个张量代数上：它满足乘积法则以及泊松括号的 Jacobi 恒等式，因此当被提升时，它就是泊松括号。此时，运算对 $\{,\}$ 与 $\otimes$ 便形成了一个泊松代数。需要注意的是，$\otimes$ 既不是交换的，也不是反交换的；它只是结合的。
因此，可以得出一个一般性的结论：任意李代数的张量代数都是泊松代数。而普遍包络代数则是通过对该泊松代数结构取商而得到的。
若 $A$ 是一个结合代数，那么通过施加对易子 $[x,y] = xy - yx$ 可以将其转化为一个泊松代数（因此也是一个李代数），记作 $A^L$。需要注意的是，这里得到的 $A^L$ 不应与上一节所述的张量代数构造混淆。如果愿意，也可以对其应用张量代数的构造，但那会得到一个不同的泊松代数，而且规模更大。
对于一个顶点算子代数 $(V, Y, \omega, 1)$，其商空间 $V / C_2(V)$ 是一个泊松代数，其中 $\{a, b\} = a_0 b$，并且 $a \cdot b = a_{-1} b$。对于某些顶点算子代数，这些泊松代数是有限维的。
泊松代数可以通过两种不同的方式赋予 $\mathbb{Z}_2$-分次。这两种方式分别得到泊松超代数和 Gerstenhaber 代数。它们的区别在于括号对分次的影响。
对于泊松超代数，分次由下式给出： $$ |\{a,b\}| = |a| + |b|,~ $$ 而在 Gerstenhaber 代数中，括号会使分次降低 1： $$ |\{a,b\}| = |a| + |b| - 1.~ $$ 在这两种表达式中，$|a| = \deg a$ 表示元素 $a$ 的分次；通常，这个分次刻画了 $a$ 是如何由生成元的偶积或奇积分解而成的。Gerstenhaber 代数通常出现在 BRST 量子化中。
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