泛函分析笔记 3

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1. 3.1 Orthonormal Series

正交归一系（orthonormal system）： $(u_{k} | u_{m}) = δ_{k, m}$ 对所有 $k, m$ 成立
令 $X$ 为实 Hilbert 空间， ${u_{0}, u_{1}, \dots}$ 为 $X$ 中至多可数的正交归一系。对有限正交归一系，如果 $u = \sum_{n = 0}^{N} (u_{n} | u) u_{n}$ 对所有 $u \in X$ 成立，它就叫做完备的（complete）。对可数的正交归一系，令 $s_{m} := \sum_{n = 0}^{m} (u_{n} | u) u_{n}$ ，如果 $u = lim_{m \to \infty} s_{m}$ 对所有 $u \in X$ 成立，它就叫做完备的（complete）
有限的正交归一系在 Hilbert 空间 $X$ 中是完备的当且仅当它是 $X$ 的一组基底
令 ${u_{n}}$ 为 Hilbert 空间中可数的正交归一系。如果无穷级数 $u = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} u_{n}$ 对某个 $u \in X$ 收敛，那么 $c_{n} = (u_{n} | u)$ 对所有 $n$ 成立
Bessel inequality： $\sum_{n = 0}^{m} {| (u_{n} | u) |}^{2} \leq {| u |}^{2}$ 对所有 $u \in X$ 和 $m$ 成立
Convergence criterion：令 ${u_{n}}$ 为 Hilbert 空间 $X$ 中的可数正交归一系。那么 $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} u_{n}$ 收敛当且仅当 $\sum_{n = 0}^{\infty} {| c_{n} |}^{2}$ 收敛
令 ${u_{n}}$ 为可数正交归一系，那么以下两个条件等效：(1) 它在 $X$ 中是完备的。(2) 它的 linear hull（span）在 $X$ 中是稠密的
对 Hilbert 空间 $X$ 中可数完备的正交归一系 ${u_{n}}$ ：(1) Parseval equation： $(u | v) = \sum_{n = 0}^{\infty} {\bar{c}}_{n} (u) c_{n} (v)$ ，(2) ${‖ u ‖}^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} {| (u_{n} | u) |}^{2}$ ，(3) 如果 $(u_{n} | u) = 0$ 对所有 $n$ 和固定的 $u \in X$ 成立，那么 $u = 0$
对每个 $u \in L_{2} (- π, π)$ ，傅里叶级数收敛。即 $lim_{m \to \infty} \int_{- π}^{π} [u (x) - a_{0} / 2 - \sum_{k} a_{k} \cos k x + b_{k} \sin k x]^{2} d x = 0$

2. 3.5 Unitary Operators

令 $X$ 和 $Y$ 为 $K$ 上的希尔伯特空间。算符 $U : X \to Y$ 叫做 unitary 当且仅当 $U$ 是线性的，满射的，且 $(U v | U w) = (v | w)$ 对所有 $v, w \in X$ 成立
如果算符 $U$ 是 unitary 的，那么它就是双射的，连续的，且 $‖ U v ‖ = ‖ v ‖$ 对所有 $v \in X$ 成立。而且，存在逆算符 $U^{- 1} : Y \to X$ ，同样是 unitary 的

3. 3.6 The Extension Principle

对 Banach 空间 $X$ 和 $Y$ ，令线性算符 $A : D \subseteq X \to Y$ 的范数为有限值， $D \subseteq X$ 是稠密线性的。那么 (1) $A$ 可以唯一地拓展（extended）到 $A : X \to Y$ 上，范数仍然为有限。（2）如果 $A$ 在 $D$ 上的紧算符，那么拓展后也是紧算符

4. 3.7 Applications to the Fourier Transformation

$S$ 空间：包含所有 $C^{\infty}$ 函数 $u : R \to C$ ，满足 ${‖ u ‖}_{p, q} < \infty$ 对所有 $p, q = 0, 1, \dots$ 成立。其中 ${‖ u ‖}_{p, q} := sup_{x \in R} (1 + {| x |}^{p}) \sum_{n = 0}^{q} | u^{(n)} (x) |$ 。极限 $u_{n} \to u$ 以 ${‖ u ‖}_{p, q}$ 为准
$S$ 空间中的函数叫做在无穷远处 rapidly decreasing。且满足 $| \int_{- \infty}^{\infty} u^{(n)} (x) d x | < \infty$ 对所有 $n = 0, 1, \dots$ 成立。且分部积分的边界项为零
傅里叶变换 $F : S \to S$ 是线性的连续双射的。反傅里叶变换同样是连续的
傅里叶变换 $F : S \to S$ 可以唯一地拓展到酉算符 $F : L_{2}^{C} (R) \to L_{2}^{C} (R)$ 。注意 $C_{0}^{\infty} (R)_{C} \subseteq S \subseteq L_{2}^{C} (R)$

5. 3.8 The Fourier Transform of Tempered General Functions

$S^{'}$ 定义为所有线性连续映射 $T : S \to C$ 。 $T$ 叫做 tempered generalized functions 或者 tempered distributions
定义 $(F T) (u) := T (F u)$ （ $u \in S$ ）
算符 $F : S^{'} \to S^{'}$ 是线性且双射的
令 $v : R \to C$ 为可测的有界函数。算符 $T (u) = \int_{- \infty}^{\infty} v (x) u (x) d x$ （ $\forall u \in S$ ）。那么 $T \in S^{'}$
令 $y \in R$ ，定义 tempered delta distribution $δ_{y}$ ： $δ_{y} (u) := u (y)$ （ $\forall u \in S$ ）。那么 (1) $δ_{y} \in S^{'}$ ，(2) $F δ_{y} = (2 π)^{- 1 / 2} ‘ ‘ e^{- i k y} "$ ，(3) $(2 π)^{- 1 / 2} F^{- 1} (‘ ‘ e^{- i k y} ") = δ_{y}$ 。其中定义 $‘ ‘ e^{- i k y} " (u) := \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k y} u (k) d k$ （ $\forall u \in S$ ）

6. Problems

Tensor Product $X \otimes Y$

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