不动点迭代（Matlab 绘图）

贡献者： ACertainUser

预备知识　Matlab 画图

　　不动点迭代法也是一种求解方程（或函数零点） $f (x) = 0$ 的经典方法。

图 1：不动点迭代求解

x = φ (x) = 0.2 x^{2}

的 Cobweb 图

图 2：对

x = \cos x

的不动点迭代更形象地展现了"Cobweb"（“蛛网”）恐蜘蛛者慎入

　　为了使用不动点迭代，先得改写方程的形式：

\begin{matrix} (1) & f (x) = 0 \Rightarrow x = φ (x), \end{matrix}

使

x = φ (x)

等式成立的

x

就是

φ (x)

的不动点，亦即

f (x) = 0

的解。

　　不动点迭代的迭代公式是

\begin{matrix} (2) & x_{k + 1} = φ (x_{k}) k = 0, 1, 2, . . ., \end{matrix}

其中

x_{0}

是人为选定的、对解的初始猜测。如果满足收敛条件¹，那么迭代结果将收敛于不动点

x

：

lim_{k \to + \infty} x_{k} = x .

　　以下的 Matlab 代码粗糙地实现了不动点迭代，同时做出了过程的 Cobweb 示意图：

clc
clear

f = @(x) 0.2*x.^2;
x(1) = 4;

hold on
axis equal

for i=1:100
  if i~=1
    x(i) = f(x(i-1));
  end

  line([x(i) x(i)],[0 f(x(i))],'Color','r');
  scatter(x(i),0);
  text(x(i),-0.1,[int2str(i)],'fontsize',12);

  if i~=1
    line([x(i - 1) x(i)],[f(x(i-1)) f(x(i-1))],'Color','b');
    line([x(i) x(i)],[f(x(i - 1)) f(x(i))],'Color','b');
  end

  if i~=1 && abs(x(i) - x(i-1)) < 0.01
    break;
  end
end

if x(i) < x(1)
  _x = x(i)-0.5:0.01:x(1)+0.5;
else
  _x = x(1)-0.5:0.01:x(i)+0.5;
end

_y = f(_x);
plot(_x, _y,'k');
plot(_x, _x,'k');

1. ^ 参考你的数值计算课本

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