指数衰减

贡献者： addis; int256

本文处于草稿阶段。

预备知识　一阶线性微分方程

　　指数衰减是十分常见的一种现象，例如在以下问题中：

　　一种原子核发生 $α$ 或 $β$ 等衰变后成为另一种原子核。这种转变对同一种核素的许多原子核并非同时发生，有的先衰变，有的后衰变。放射性物质中的原有核素的数量随时间推移逐渐减少，而整体的衰变速率与该时刻的衰变前的核素数量成正比。所以任何放射性物质在单独存在时都遵从指数衰减规律式。

　　即：¹衰变的速率和总量成正比，或者说每个粒子单位时间衰变的概率一样。

　　指数衰减的常见原因正是由于其微分方程形式的常见性： $y^{'} = α y .$

　　下面进行推导：

\begin{matrix} (1) & \frac{d N}{d t} = - λ N . \end{matrix}

方程的解

\begin{matrix} (2) & N (t) = N_{0} e^{- λ t} . \end{matrix}

将半衰期

T_{h}

定义为，原有这种粒子的一半发生衰变所需要的时间。满足

\begin{matrix} (3) & N (T_{h}) = \frac{N_{0}}{2} ⟺ e^{- λ T_{h}} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

解得

\begin{matrix} (4) & T_{h} = \frac{\ln 2}{λ} . \end{matrix}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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