指数衰减

                     

贡献者: addis; int256

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 一阶线性微分方程

   指数衰减是十分常见的一种现象,例如在以下问题中:

   一种原子核发生 $\alpha$ 或 $\beta$ 等衰变后成为另一种原子核。 这种转变对同一种核素的许多原子核并非同时发生,有的先衰变,有的后衰变。放射性物质中的原有核素的数量随时间推移逐渐减少,而整体的衰变速率与该时刻的衰变前的核素数量成正比。 所以任何放射性物质在单独存在时都遵从指数衰减规律式。

   即:1衰变的速率和总量成正比,或者说每个粒子单位时间衰变的概率一样。

   指数衰减的常见原因正是由于其微分方程形式的常见性: $$y' = \alpha y ~.$$

   下面进行推导:

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{N}}{\mathrm{d}{t}} = -\lambda N~. \end{equation}
方程的解
\begin{equation} N(t) = N_0 \mathrm{e} ^{-\lambda t}~. \end{equation}
将半衰期 $T_h$ 定义为,原有这种粒子的一半发生衰变所需要的时间。满足
\begin{equation} N(T_h) = \frac{N_0}{2} \iff \mathrm{e} ^{-\lambda T_h} = \frac{1}{2}~, \end{equation}
解得
\begin{equation} T_h = \frac{\ln 2}{\lambda}~. \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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