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欧几里得(/ˈjuːklɪd/;古希腊语:Εὐκλείδης;约公元前 300 年活跃)是一位古希腊数学家,主要从事几何学和逻辑学的研究。被称为 “几何学之父”,他最著名的成就是《几何原本》这部著作,它奠定了几何学的基础,直到 19 世纪初期,这些基础一直主导着该领域。他的体系,现被称为欧几里得几何学,结合了之前希腊数学家的理论创新与综合,包括厄多克索斯(Eudoxus of Cnidus)、希波克拉底(Hippocrates of Chios)、泰勒斯(Thales)和提阿托斯(Theaetetus)等人的理论。与阿基米德和佩尔加的阿波罗尼斯一起,欧几里得通常被认为是古代最伟大的数学家之一,也是数学史上最具影响力的人物之一。
关于欧几里得的生平知之甚少,绝大多数资料来源于几百年后学者普罗克洛斯(Proclus)和帕普斯(Pappus)的记载。中世纪的伊斯兰数学家创造了一个富有幻想色彩的生平,而中世纪拜占庭学者和早期文艺复兴学者则误将他与早期哲学家梅加拉的欧几里得混淆。现在普遍认为,欧几里得大部分时间都在亚历山大里亚度过,约生活在公元前 300 年,介于柏拉图的学生与阿基米德之间。也有一些猜测认为,欧几里得曾在柏拉图学园学习,后来在穆萨尤姆教授数学;他被认为是将早期的柏拉图学派传统与后来的亚历山大里亚学派传统连接起来的桥梁。
在《几何原本》中,欧几里得通过少数公理推导出定理。他还撰写了关于透视学、圆锥曲线、球面几何、数论和数学严谨性的著作。除了《几何原本》,欧几里得还写了光学领域的基础性著作《光学》,以及其他较不为人知的作品,如《数据》和《现象》。关于《几何分割》和《镜面反射学》是否为欧几里得所作,学术界仍有争议。欧几里得还被认为撰写了许多已经失传的作品。
“Euclid” 这个英语名字是古希腊名字 Eukleídes(Εὐκλείδης)的英文化版本。[4][a] 它来源于 “eu-”(εὖ;意为 “好”)和 “klês”(-κλῆς;意为 “名声”),意思是 “著名的,荣耀的”。[6] 在英语中,"Euclid"通过转喻有时指代他最著名的作品《几何原本》,或其副本,[5] 有时也被当作 “几何” 的同义词。[2]
与许多古希腊数学家一样,关于欧几里得的生平细节大多未知。[7] 他被认为是四部大部分存世的著作的作者——《几何原本》、《光学》、《数据》、《现象》——但除此之外,关于他的确切信息几乎没有。[8][b] 传统的叙述主要依赖于公元 5 世纪普罗克洛斯在其《欧几里得《几何原本》第一卷注释》中的记载,以及公元 4 世纪初亚历山大的帕普斯的一些轶事。[4][c]
根据普罗克洛斯的说法,欧几里得生活在柏拉图(公元前 347 年去世)的几位追随者之后,并且在数学家阿基米德(公元前 287 年–公元前 212 年)之前;[d] 具体来说,普罗克洛斯将欧几里得置于托勒密一世统治时期(公元前 305/304–282 年)。[7][8][e] 欧几里得的出生日期不详;一些学者估计大约在公元前 330 年[11][12] 或公元前 325 年,[2][13] 但其他学者则避免做出推测。[14] 假设他是希腊血统,[11] 但他的出生地未知。[15][f] 普罗克洛斯认为欧几里得遵循柏拉图的传统,但没有确凿的证据可以证实这一点。[17] 他不太可能与柏拉图同代,因此通常推测他是柏拉图的学生,在雅典的柏拉图学园接受教育。[18] 历史学家托马斯·希思支持这一理论,指出大多数有能力的几何学家都生活在雅典,包括许多欧几里得依赖的前人的工作;[19] 历史学家米哈利斯·西亚拉罗斯认为这只是一个猜测。[4][20] 无论如何,欧几里得的著作内容表明他熟悉柏拉图几何学的传统。[11]
在《帕普斯集》中,帕普斯提到阿波罗尼乌斯曾与欧几里得的学生一起在亚历山大学习,这表明欧几里得曾在那里工作并创立了一个数学传统。[8][21][19] 该城市由亚历山大大帝于公元前 331 年建立,[22] 托勒密一世自公元前 306 年起统治,使其在亚历山大帝国分裂后的混乱战争中拥有相对的稳定性。[23] 托勒密开始了希腊化进程,并委托建造许多建筑,建立了庞大的穆塞翁学术机构,这是当时的一个领先教育中心。[15][g] 推测欧几里得是穆塞翁最早的学者之一。[22] 欧几里得的死亡日期不详;有学者推测他大约在公元前 270 年去世。[22]
欧几里得通常被称为 “亚历山大城的欧几里得”,以区分他与早期的哲学家梅加拉的欧几里得(苏格拉底的弟子,曾出现在柏拉图的对话录中),两者在历史上常常被混淆。[4][14] 公元 1 世纪的罗马编年史家瓦勒留斯·马西穆斯(Valerius Maximus)错误地将欧几里得的名字与欧多克索斯(公元前 4 世纪的数学家)互换,误将他作为柏拉图派遣给询问如何立方倍增的人们的数学家。[26] 由于这一提到大约百年之前的数学欧几里得,欧几里得与梅加拉的欧几里得在中世纪拜占庭文献中(现在已失传)混淆,最终导致欧几里得这位数学家被附上了两位人物生平的细节,并被描述为 “梅加拉人”(Megarensis)[4][28]。拜占庭学者西奥多·梅托基特斯(约 1300 年)明确地将这两位欧几里得混为一谈,印刷商埃尔哈德·拉特多尔特(Erhard Ratdolt)也在其 1482 年版的《元素》拉丁语版中沿用了这种说法。[27] 在数学家巴托洛梅奥·赞贝尔蒂(Bartolomeo Zamberti)于 1505 年翻译《元素》时,将有关两位欧几里得的现存生平片段附在了前言中,此后相关出版物都沿用了这一辨识方法。[27] 后来的文艺复兴学者,尤其是彼得·拉姆斯(Peter Ramus),重新评估了这一观点,并通过年代学问题和早期文献中的矛盾证明其错误。[27]
中世纪阿拉伯文献提供了大量关于欧几里得生平的信息,但这些资料完全无法验证。[4] 大多数学者认为这些资料的真实性存疑;[8] 赫斯特别指出,这些虚构的内容是为了加强这位受人尊敬的数学家与阿拉伯世界的联系。[17] 也有许多关于欧几里得的轶事,虽然它们的历史性尚不确定,这些故事 “将他描绘为一位和蔼可亲、温和的老人”。[29] 最著名的故事是普罗克卢斯(Proclus)讲述的关于托勒密问欧几里得是否有比读《元素》更快捷的几何学习方式,欧几里得回答说:“没有王道可以走捷径。”[29] 这一轶事值得怀疑,因为在斯托巴乌斯(Stobaeus)中也记录了梅内克莫斯(Menaechmus)与亚历山大大帝之间非常相似的互动。[30] 这两段记载均写于公元 5 世纪,且没有注明来源,且都未出现在古希腊文献中。[31]
关于欧几里得约公元前 300 年的活动的任何确定性日期都受到当时缺乏直接提及的质疑。[4] 欧几里得的最早原始提及出现在阿波罗尼乌斯(Apollonius)写给《圆锥曲线》序言中的信中(公元前 2 世纪初):“《圆锥曲线》第三卷包含许多令人惊讶的定理,这些定理对于解方程和求解空间位置的解的数目非常有用。其中大多数,特别是最精妙的,是新的。当我们发现这些定理时,我们意识到欧几里得并没有完成三线和四线的定位,只完成了一个偶然的片段,而且即使那个片段也做得不太好。”[26] 《元素》推测至少部分在公元前 3 世纪就已流传,因为阿基米德和阿波罗尼乌斯都理所当然地使用了其中的一些命题;[4] 然而,阿基米德采用了与《元素》不同的比例理论的早期版本。[8] 《元素》中所含材料的最古老物理副本可追溯至公元 100 年左右,在埃及奥克里恩库斯的废墟中发现的纸草纸片上。[26] 直接引用《元素》且日期明确的最早文献出现在公元 2 世纪,由盖伦(Galen)和阿弗罗狄西亚的亚历山大(Alexander of Aphrodisias)提及;到那时,《元素》已经成为标准的学校教材。[26] 一些古希腊数学家提到欧几里得时,通常称他为 “ὁ στοιχειώτης”(“《元素》的作者”)。[32] 在中世纪,一些学者认为欧几里得不是历史人物,而他的名字来源于希腊数学术语的误传。[33]
欧几里得以他的十三卷著作《几何原本》最为人知(古希腊文:Στοιχεῖα;Stoicheia),被认为是他的代表作。[3][35] 其中大部分内容来源于早期的数学家,包括欧多克索斯、希奥斯的希波克拉底、塔勒斯和西阿图斯,而其他一些定理则被柏拉图和亚里士多德提及。[36] 由于《几何原本》本质上取代了许多早期并且现已失传的希腊数学,因此很难区分欧几里得的工作与其前辈的工作。[37][h] 古典学者马克斯·阿斯珀(Markus Asper)总结道:“显然,欧几里得的成就在于将公认的数学知识整理成一个有条理的结构,并增加新的证明以填补空白”,而历史学家塞拉菲娜·库莫(Serafina Cuomo)则将其描述为一个 “结果的宝库”。[38][36] 尽管如此,西阿拉罗斯(Sialaros)进一步指出:“《几何原本》令人瞩目的紧密结构展示了超越单纯编辑的作者控制。”[9]
《几何原本》并不仅仅讨论几何学,正如有时人们所认为的那样。[37] 它通常被分为三个主题:平面几何(第 1–6 卷)、基础数论(第 7–10 卷)和立体几何(第 11–13 卷)——尽管第 5 卷(关于比例)和第 10 卷(关于无理线)并不完全符合这一划分。[39][40] 该书的核心是散布在其中的定理。[35] 使用亚里士多德的术语,这些定理大致可以分为两类:“第一原理” 和 “第二原理”。[41] 第一类包括被标记为 “定义”(古希腊文:ὅρος 或 ὁρισμός)、“公设”(αἴτημα)或 “共同概念”(κοινὴ ἔννοια)的陈述;[41][42] 只有第一卷包括公设——后来的公理——和共同概念。[37][i] 第二类由命题组成,呈现时伴有数学证明和图示。[41] 不清楚欧几里得是否将《几何原本》视为一本教科书,但其呈现方式使其成为一种自然的教科书选择。[9] 整体而言,作者的语气保持一般性和非个人化。[36]
目录
NO. | 公设 |
设定如下公设: | |
1. | 从任何一点到任何一点画一条直线[j] |
2. | 将一条有限的直线在同一方向上延伸 |
3. | 以任意点为中心,任意距离画一个圆 |
4. | 所有直角都相等 |
5. | 如果一条直线与两条直线相交,使得同一侧的内角小于两个直角,那么这两条直线如果无限延长,将在内角小于两个直角的一侧相交 |
NO. | 共同概念设 |
1. | 等于同一事物的事物也相互相等 |
2. | 如果相等的东西加上相等的东西,则整体相等 |
3. | 如果相等的东西从相等的东西中减去,则剩余部分相等 |
4. | 相互重合的事物相等 |
5. | 整体大于部分 |
《几何原本》第 1 卷是整本书的基础。[37] 它以一系列 20 个定义开始,涉及基本的几何概念,如直线、角度和各种规则的多边形。[44] 然后,欧几里得提出了 10 个假设(见右表),分为五个公设(公理)和五个共同概念。[45][k] 这些假设旨在为随后的每个定理提供逻辑基础,即作为一个公理系统。[46][l] 共同概念仅涉及量的比较。[48] 虽然公设 1 到 4 相对简单,[m] 第 5 个公设被称为平行公设,并且特别著名。[48][n] 第 1 卷还包括 48 个命题,可以大致分为以下几类:关于平面几何的基本定理和三角形全等的命题(1–26);平行线(27–34);三角形和梯形的面积(35–45);以及毕达哥拉斯定理(46–48)。[48] 最后一项包括现存的最早的毕达哥拉斯定理证明,西阿拉罗斯将其描述为 “非常精妙”。[41]
从第 7 卷开始,数学家本诺·阿特曼(Benno Artmann)指出:“欧几里得重新开始,前面各卷的内容都没有被使用。”[55] 第 7 至 10 卷涵盖了数论,第 7 卷首先提出了 22 个定义,涉及偶数、质数以及其他与算术相关的概念。[37] 第 7 卷包括了欧几里得算法,这是一个用于求两个数最大公约数的方法。[55] 第 8 卷讨论了几何级数,而第 9 卷包括了现在称为欧几里得定理的命题,即质数的数量是无限的。[37] 《几何原本》中,第 10 卷是最大且最复杂的一卷,讨论了在量的背景下的无理数。[41]
最后三卷(第 11 至 13 卷)主要讨论立体几何。[39] 第 11 卷通过引入 37 个定义,为接下来的两卷提供了背景。[56] 尽管它的基础性质类似于第 1 卷,但与后者不同,它没有公理系统或公设。[56] 第 11 卷的三个部分包括关于立体几何的内容(1–19),立体角(20–23)和平行六面体(24–37)。[56]
除了《几何原本》之外,至少有五部欧几里得的著作保存至今。这些作品遵循与《几何原本》相同的逻辑结构,包括定义和已证明的命题。
有四部其他著作可信地归于欧几里得,但已失传。[9]
《圆锥曲线》(The Conics)(古希腊文:Κωνικά)是一部四卷本的圆锥曲线综述,后来被阿波罗尼乌斯同名的更为全面的著作所取代。[58][57] 该作品的存在主要通过帕普斯的记载得知,他声称阿波罗尼乌斯的《圆锥曲线》前四卷大部分基于欧几里得的早期作品。[59] 历史学家亚历山大·琼斯[de]对这一说法提出质疑,认为证据稀少且没有其他资料可以佐证帕普斯的说法。[59]
《伪命题》(The Pseudaria)(古希腊文:Ψευδάρια;字面意思为 “谬误”)根据普罗克鲁斯的记载(70.1–18),这是一部关于几何推理的著作,旨在向初学者提供避免常见谬误的建议。[58][57] 除了它的范围和一些现存的内容外,关于它的具体内容知之甚少。[60]
《命题集》(The Porisms)(古希腊文:Πορίσματα;字面意思为 “推论”)根据帕普斯和普罗克鲁斯的记载,可能是三卷本的著作,包含大约 200 个命题。[58][57] 在这个语境中,“命题集” 一词并不指推论,而是指 “第三类命题——介于定理和问题之间——其目的是发现现有几何实体的特征,例如,寻找圆的中心”。[57] 数学家米歇尔·查尔斯(Michel Chasles)推测,这些现已失传的命题可能涉及现代横截线理论和投影几何的内容。[58][p]
《表面位置》(The Surface Loci)(古希腊文:Τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ)几乎没有已知内容,除了基于作品标题的推测。[58] 后来的记载表明,它可能讨论了圆锥和圆柱体等主题。[57]
欧几里得通常与阿基米德和佩尔加的阿波罗尼乌斯一起,被认为是古代最伟大的数学家之一。[11] 许多评论家认为他是数学历史上最具影响力的人物之一。[2] 《几何原本》所建立的几何体系长期主导了这一领域;然而,今天这一体系常被称为 “欧几里得几何”,以便将其与 19 世纪初发现的其他非欧几里得几何区分开来。[61] 以欧几里得命名的事物包括欧洲航天局(ESA)的欧几里得号宇宙飞船,[62] 月球上的欧几里得陨石坑,[63] 以及小行星 4354 欧几里得。[64]
《几何原本》常被认为是仅次于《圣经》的西方世界历史上最频繁翻译、出版和研究的书籍。[61] 与亚里士多德的《形而上学》一样,《几何原本》也许是最成功的古希腊著作,并且在中世纪的阿拉伯和拉丁世界中是主要的数学教科书。[61]
《几何原本》的首个英文版由亨利·比林斯利(Henry Billingsley)和约翰·迪(John Dee)于 1570 年出版。[27] 数学家奥利弗·伯恩(Oliver Byrne)于 1847 年出版了一个著名版本,标题为《欧几里得几何原本的前六卷:使用彩色图表和符号代替字母,以便学习者更易理解》,其中包括旨在增强教学效果的彩色图表。[65] 大卫·希尔伯特(David Hilbert)编写了《几何原本》的现代公理化版本。[66] 爱德娜·圣文森特·米雷(Edna St. Vincent Millay)曾写道:“只有欧几里得曾直视赤裸的美。”[67]
a. 在现代英语中,“Euclid” 的发音为 /ˈjuːklɪd/。[5]
b. 欧几里得的作品还包括《分割论》,该作品在后来的阿拉伯文献中以残篇的形式保存下来。[9] 他还创作了许多失传的作品。[9]
c. 来自亚历山大帕帕斯的有关欧几里得的信息现在已失传,并通过普罗克鲁斯的《欧几里得几何原本第一卷注释》得以保存。[10]
d. 普罗克鲁斯可能是依据(现已失传的)公元前 4 世纪的数学历史著作进行工作的,这些著作由泰奥弗拉斯图斯和罗德岛的欧德穆斯编写。普罗克鲁斯明确提到赫拉克利亚的阿米克拉斯、梅那赫穆斯和他的兄弟狄诺斯特拉图斯、马格尼西亚的塞奥迪乌斯、基济库斯的阿瑟那乌斯、科洛丰的赫莫提穆斯以及门德的菲利普斯,并表示欧几里得是在这些人之后 “不过很久” 来到的。
e. 请参阅希思 1981 年,第 354 页,查阅普罗克鲁斯关于欧几里得生平的英文翻译。
f. 后来的阿拉伯文献称他是出生于现代黎巴嫩的提尔的希腊人,尽管这些说法被认为是可疑和推测性的。[8][4] 请参阅希思 1981 年,第 355 页,查阅阿拉伯文献的英文翻译。他长期被认为出生于梅加拉,但到文艺复兴时期,学者们得出结论认为他与梅加拉的哲学家欧几里得混淆了,[16] 参见 §身份与历史性。
g. 穆塞翁后来会包括著名的亚历山大图书馆,但它可能是在托勒密二世菲拉德尔弗斯(公元前 285-246 年)统治时期成立的。[24]
h.今天可用的《几何原本》版本也包括了 “后欧几里得” 数学内容,这些内容可能是后来的编辑所添加的,例如公元 4 世纪的数学家亚历山大城的提安(Theon)。
i.“公理” 一词代替 “公设” 的使用,源自普罗克鲁斯在他极具影响力的《几何原本》注释中所做的选择。普罗克鲁斯还将 “公理” 替换为 “常识”,但保留了 “公设” 一词。
j.另见:欧几里得关系
k.这些类别之间的区别并不立即显现;公设可能仅指代几何学,而常识则具有更广泛的范围。
l.数学家杰拉德·维尼马(Gerard Venema)指出,这一公理化体系并不完备:“欧几里得假设了比他在公设中所陈述的更多的内容。”
m.请参见希思(Heath 1908,第 195-201 页)关于公设 1 至 4 的详细概述
n.自古以来,关于第五公设的学术研究数量庞大,通常来自试图证明该公设的数学家——这将使其与其他四个无法证明的公设有所不同。
o.《几何原本》第五卷的内容很可能是从早期数学家那里获得的,可能是欧多克索斯(Eudoxus)提出的。
p.欲了解更多关于 “旁理”(Porisms)的信息,请参见琼斯(Jones 1986,第 547-572 页)。
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文章
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《几何原本》
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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