能均分定理

                     

贡献者: addis

   若一个系统有若干个自由度($x$ 或 $p$)对能量的贡献是其平方的函数,例如动能 $p_x^2/(2m)$,势能 $kx^2/2$,$ky^2/2$,等。那么其对热容的贡献就是 $kT/2$。

   用巨正则系宗证明

\begin{equation} \begin{aligned} Q &= \frac{1}{h^N} \int \exp\left(-\beta \sum_i \alpha_i x_i^2 - \beta \sum_i \gamma_i p_i^2\right) \,\mathrm{d}^{N}{x} \,\mathrm{d}^{N}{p} = \frac{1}{h} \int \exp\left(-\alpha_1 x_1^2 \beta\right) \,\mathrm{d}{x} \\ & \times \int \dots \times \int \dots \propto \sqrt{\frac{1}{\beta}} \times \dots \end{aligned}~ \end{equation}
这里只分析第一个自由度。系统能量为
\begin{equation} E = - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln Q = - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln \sqrt{\frac{1}{\beta}} - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln \dots = \frac{1}{2\beta} + \dots = \frac{1}{2}kT + \dots~ \end{equation}


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利