华东师范大学 1997 年 考研 量子力学

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1. 一、10 分

　　 求对易关系 $[x,e^{-\beta p_x}]=?\beta$ 为常数

2. 二、10 分

　　 若粒子在势场 V(x) 中运动，试证： $$\frac{d⟨x⟩}{dt}=\frac{⟨p_x⟩}{m}$$

　　 $$\frac{d⟨p_x⟩}{dt}=-⟨\frac{\partial V}{\partial x}⟩$$

　　 $⟨⟩$ 表示物理量的平均值。

3. 三、15 分

　　 利用角动量算符 $L_x$ 和 $L_y$ 组成升位算符 $L_{+}$ 和降位算符 $L_{-}$： $L\pm =L_x+i{L}_y{L}_{+}=(L_{-}{)}^{†}$

　　 (1) 求解：$L_{-}{L}_{+}=?L_{+}{L}_{-}=?$

　　 (2) 已知 $L_{+}|lm⟩=C_{+}|lm+1⟩,L_{-}|lm⟩=C_{-}|lm-1⟩$ 求常数 C_+ 和 C_- 的值。

4. 四、15 分

　　 带电粒子 (电荷为 $q$) 在与磁场 $B$(沿 $z$ 轴)垂直的 $xy$ 平面内运动，取参考系 ($0,Bx,0$)。

1. 写出此二维问题的哈密顿。
2. 求其定量本征值与本征函数。