华东师范大学 1997 年 考研 量子力学

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1. 一、10 分

　　 求对易关系 $[x, e^{-\beta p_x}] = ? \beta$ 为常数

2. 二、10 分

　　 若粒子在势场 V(x) 中运动，试证： $$\frac{d \langle x \rangle}{dt} = \frac{\langle p_x \rangle}{m}~$$

　　 $$\frac{d \langle p_x \rangle}{dt} = -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle~$$

　　 $\langle \quad \rangle$ 表示物理量的平均值。

3. 三、15 分

　　 利用角动量算符 $L_x$ 和 $L_y$ 组成升位算符 $L_+$ 和降位算符 $L_-$： $L\pm = L_x + i L_y \quad L_+ = (L_-)^\dagger$

　　 (1) 求解：$L_- L_+ = ? \quad L_+ L_- = ?$

　　 (2) 已知 $L_+ |l m \rangle = C_+ |lm + 1 \rangle, \quad L_- |lm \rangle = C_- |lm - 1 \rangle$ 求常数 C_+ 和 C_- 的值。

4. 四、15 分

　　 带电粒子 (电荷为 $q$) 在与磁场 $B$(沿 $z$ 轴)垂直的 $xy$ 平面内运动，取参考系 ($0, Bx, 0$)。

1. 写出此二维问题的哈密顿。
2. 求其定量本征值与本征函数。