华东师范大学 2001 年 考研 量子力学

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1. (15 分)

　　 证明 $i({\hat{P}}_x^2\hat{X}-\hat{X}{\hat{P}}_x^2)$ 是厄米算符。

2. (20 分)

　　 已知一维系统解出其定态薛定谔方程 $\hat{H}{\psi }_n(x)=E_n{\psi }_n(x),{\psi }_n(x)$ 为实数，在 $t=0$ 时刻，对系统进行测量，发现 $\frac{1}{2}$ 的几率得能量 $E_1$ 有 $\frac{1}{3}$ 的几率得能量 $E_2$，有 $\frac{1}{6}$ 的几率得能量 $E_3$。请:

　　 (a)按实系数写出 $t=0$ 时刻波函数 $\psi (x,t=0)$

　　 (b)求出 $t$ 时刻波函数 $\psi (x,t)$

　　 (c)求出 $t$ 时刻能量的测量值

　　 (d)求出 $t$ 时刻位置 $X$ 的期待值。(提示：可用 $X_{ij}=\int {\psi }_i^{\ast }{x}_{j}dx$ 表示)。

3. (20 分)

　　 设泡利矩阵 ${\hat{\sigma }}_x,{\hat{\sigma }}_Y$ 满足 ${\hat{\sigma }}_x^2={\hat{\sigma }}_Y^2=1$, 且 ${\hat{\sigma }}_x{\hat{\sigma }}_Y+{\hat{\sigma }}_Y{\hat{\sigma }}_x=0,$ 求：

1. 在 ${\hat{\sigma }}_Y$ 表象中，算符 ${\hat{\sigma }}_x\cdot {\hat{\sigma }}_Y$ 的矩阵表示。
2. 在 ${\hat{\sigma }}_Y$ 表象中，算符 $\widehat{{\sigma }_x}$ 的本征值和本征函数。

4. (15 分)

　　 如果类氢原子核不是点电荷，而是半径为 $r_0$ 的电荷均匀分布的小球，根据电动力学知，当 $r>r_0$，荷电小球外，势能分布与点电荷产生的势能一样，但在 $r<r_0$ 时，势能为 $$-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\left[\frac{Z{e}^2}{r_0}(\frac{3}{2}-\frac{r^2}{2r_0^2})\right]$$ 请计算此对应于类氢原子基态能量的第一极修正。

　　 类氢原子基态波函数：$${\mathrm{\Psi }}_{100}=\sqrt{\frac{Z}{\pi a^3}}{e}^{-Zr/a}\text{，当 }r<r_0\text{ 时，}\frac{r}{a}\to 0$$