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在牛顿力学中,动量(复数:momenta 或 momentums;更具体地称为线动量或平动动量)是物体质量与速度的乘积。它是一个矢量量,具有大小和方向。如果物体的质量为
牛顿的第二运动定律指出,物体动量的变化率等于作用在其上的合力。动量依赖于参考系,但在任何惯性系中都是守恒量,意味着如果一个封闭系统不受外力影响,其总动量保持不变。动量在狭义相对论中也守恒(采用修正的公式),并在电动力学、量子力学、量子场论和广义相对论中以修正的形式得到保留。它表达了时空的基本对称性之一:平移对称性。
经典力学的高级表述,如拉格朗日力学和哈密顿力学,允许选择包含对称性和约束的坐标系。在这些系统中,守恒量是广义动量,而一般情况下这不同于上述的动能动量。广义动量的概念被延续到量子力学中,在那里它成为作用于波函数的算符。动量算符和位置算符通过海森堡不确定性原理相联系。
在电磁场、流体动力学和可变形体等连续系统中,可以定义动量密度,即每单位体积的动量(体积特定的量)。动量守恒的连续体版本导致了诸如流体的纳维-斯托克斯方程或可变形固体或流体的柯西动量方程等方程。
动量是一个矢量量,具有大小和方向。由于动量具有方向性,因此可以用它来预测物体碰撞后的运动方向和速度。下面描述的是动量在一维中的基本性质。矢量方程与标量方程几乎相同(见多维情况)。
粒子的动量通常用字母
作为一个矢量,动量具有大小和方向。例如,一个质量为 1 kg 的模型飞机,以 1 m/s 的速度正北方向平稳飞行,其相对于地面的动量为 1 kg⋅m/s,方向为正北。
一个粒子系统的动量是它们各自动量的矢量和。如果两个粒子分别有质量
如果作用在粒子上的净力
在假设质量
示例:一个质量为 1 kg 的模型飞机从静止加速到正北方向的速度 6 m/s,所需时间为 2 秒。产生这种加速度所需的净力为 3 牛顿(正北方向)。动量的变化为 6 kg⋅m/s(正北方向)。动量的变化率为 3 (kg⋅m/s)/s(正北方向),其数值上等于 3 牛顿。
在封闭系统(即不与周围环境交换任何物质且不受外力作用的系统)中,总动量保持不变。这一事实被称为动量守恒定律,由牛顿运动定律隐含推导出来。[4][5] 例如,假设两个粒子相互作用。根据第三定律,它们之间的作用力大小相等,但方向相反。如果粒子编号为 1 和 2,第二定律表示
动量是一个可测量的量,且测量结果取决于参考系。例如,如果一架质量为 1000 kg 的飞机以 50 m/s 的速度在空中飞行,其动量可以计算为 50,000 kg·m/s。如果飞机迎着 5 m/s 的逆风飞行,那么相对于地球表面的速度只有 45 m/s,其动量计算为 45,000 kg·m/s。这两种计算都同样正确。在两个参考系中,动量的任何变化都与相关的物理定律一致。
假设
如果一个粒子在第一个参考系中的速度为
改变参考系通常可以简化运动的计算。例如,在两个粒子的碰撞中,可以选择一个参考系,使其中一个粒子开始时处于静止状态。另一个常用的参考系是质心参考系——即随质心一起运动的参考系。在该参考系中,总动量为零。
如果两个具有已知动量的粒子碰撞并合并在一起,那么可以使用动量守恒定律来确定合并后物体的动量。如果碰撞结果是两个粒子分离,动量守恒定律则不足以确定每个粒子的动量。如果碰撞后已知其中一个粒子的动量,则该定律可以用来确定另一个粒子的动量。或者,如果碰撞后的总动能已知,也可以利用该定律来确定每个粒子碰撞后的动量。[8] 动能通常不会守恒。如果动能守恒,这种碰撞称为弹性碰撞;如果不守恒,则称为非弹性碰撞。
弹性碰撞
弹性碰撞是指没有动能转化为热能或其他形式能量的碰撞。完美弹性碰撞可能发生在物体不接触的情况下,例如在原子或核散射中,电排斥力使物体分开。卫星绕行行星的弹弓效应也可视为完美的弹性碰撞。两个台球的碰撞是一个几乎完全弹性碰撞的例子,由于它们的高刚性,但当物体接触时总会有一些能量损耗。[9]
两个物体之间的正面弹性碰撞可以通过沿穿过物体的直线的一维速度来表示。如果在碰撞前速度为
非弹性碰撞
在非弹性碰撞中,一部分碰撞物体的动能被转化为其他形式的能量(例如热能或声能)。例如,交通事故中,[11]动能的损失表现为车辆的损坏;电子将部分能量传递给原子(如在弗兰克-赫兹实验中);[12]以及在粒子加速器中,动能转化为以新粒子形式出现的质量。
在完全非弹性碰撞(如虫子撞上挡风玻璃)中,碰撞后两个物体具有相同的运动状态。一次正面非弹性碰撞可以通过一维速度来表示,即沿通过物体的直线。如果在碰撞前速度分别为
碰撞的非弹性程度可以通过恢复系数
真实的运动既有方向也有速度,必须用矢量表示。在具有
通过使用质心参考系的简单构造,可以表明,如果一个静止的弹性球体被一个移动的球体撞击,碰撞后两个球体会以直角方向分开运动(如图所示)。[16]
动量的概念在解释变质量物体(如喷射燃料的火箭或吸积气体的恒星)的行为时起着基础性作用。在分析此类物体时,将物体的质量视为随时间变化的函数:
这个方程的推导过程中,必须同时追踪物体的动量和喷出/吸积物质(
牛顿定律在许多类型的运动中应用起来较为困难,因为这些运动受到约束的限制。例如,算盘上的珠子被限制在导线沿线上移动,摆锤的摆球被限制在固定的枢轴距离处摆动。许多此类约束可以通过将普通的笛卡尔坐标转换为一组可能数量较少的广义坐标来引入。[18] 为了在广义坐标下解决力学问题,已开发出精细的数学方法。这些方法引入了广义动量(也称为正则动量或共轭动量),它扩展了线性动量和角动量的概念。为了与广义动量区分,质量和速度的乘积也称为机械动量、动能动量或运动学动量。[6][19][20] 下面介绍了两种主要方法。
在拉格朗日力学中,拉格朗日量被定义为动能
在此数学框架中,广义动量与广义坐标相关联。其分量定义为
如果某个坐标
即使广义坐标只是普通的空间坐标,共轭动量也不一定是普通的动量坐标。一个例子可以在电磁学部分找到。
在哈密顿力学中,拉格朗日量(一个广义坐标和其导数的函数)被替换为哈密顿量,该量是广义坐标和动量的函数。哈密顿量定义为
动量守恒是空间均匀性(平移对称性)的数学结果(空间中的位置是动量的共轭量)。也就是说,动量守恒源于物理定律不依赖于位置;这是诺特定理的一个特殊情况。[25] 对于不具有这种对称性的系统,可能无法定义动量守恒。动量守恒不适用的示例包括广义相对论中的弯曲时空[26]或凝聚态物理中的时间晶体。[27][28][29][30]
连续体中的守恒
在流体力学和固体力学等领域中,跟踪单个原子或分子的运动是不现实的。因此,材料必须通过一个连续体来近似描述,其中在每一点上存在一个粒子或流体小体,分配给它的是附近小区域中原子的属性的平均值。特别是,它具有密度
考虑一个处于静水平衡的水柱,所有的力都处于平衡状态,水体静止不动。在任何给定的水滴上,有两种力平衡。第一种是重力,直接作用在内部的每个原子和分子上。每单位体积的重力为
改变水滴动量的力包括压力梯度和重力。此外,表面力可以使水滴发生变形。在最简单的情况下,剪切应力
考虑粘度的影响,牛顿流体不可压缩流动的动量平衡方程为:
动量平衡方程可以扩展到更广泛的材料,包括固体。对于具有方向
柯西动量方程广泛适用于固体和液体的变形。应力和应变速率之间的关系取决于材料的特性。
声波
在介质中的扰动会引发震荡或波动,从其源点向外传播。在流体中,小的压力变化
动量分量
场中的粒子
在麦克斯韦方程中,粒子之间的力是由电场和磁场介导的。带电粒子
动量守恒
在牛顿力学中,动量守恒定律可以从作用力和反作用力法则推导出来,该法则表明每一个力都有一个相等且相反的力。在某些情况下,移动的带电粒子可以在非相反方向上相互施加力。[45] 尽管如此,粒子与电磁场的总动量仍然是守恒的。
真空
洛伦兹力会给粒子带来动量,因此根据牛顿第二定律,粒子必须将动量传递给电磁场。[46]
在真空中,每单位体积的动量为
介质
以上结果适用于真空中的微观麦克斯韦方程(或介质中非常小尺度的电磁力)。在介质中定义动量密度更为困难,因为电磁和机械的划分是任意的。电磁动量密度的定义被修改为:
进一步信息:动量算符 在量子力学中,动量被定义为一个作用于波函数的自伴算符。海森堡不确定性原理规定了在同一时间内对一个可观测系统的动量和位置的测量精度的限制。在量子力学中,位置和动量是共轭变量。
对于以位置为基描述的单粒子,动量算符可以写为:
对于有质量和无质量物体,相对论动量与相位常数
洛伦兹不变性
牛顿物理学假设绝对时间和空间独立于任何观察者存在,这引发了伽利略不变性,也意味着光速在不同参考系之间可能有所不同。然而,这与实际观测结果相悖。在狭义相对论中,爱因斯坦保留了运动方程不依赖于参考系的假设,同时假设光速
例如,考虑一个参考系相对于另一个参考系以
修改后的动量为:
四矢量表述
在狭义相对论理论中,物理量以四矢量形式表示,时间作为第四个坐标,加入三个空间坐标。这些矢量通常用大写字母表示,例如位置矢量
四动量的模等于
相对论能量-动量关系也适用于无质量粒子(如光子);设
平面波的四动量可以与波的四矢量相关联:[57]
约翰·菲洛波努斯
大约在公元 530 年,约翰·菲洛波努斯在《物理学评注》中提出了动量的概念,这是他对亚里士多德《物理学》的一种评论。亚里士多德认为,任何正在运动的物体都必须由某种东西持续推动。例如,一个被抛出的球必须依靠空气的流动来维持运动。菲洛波努斯指出亚里士多德这一说法的荒谬之处,即一个物体的运动居然是由阻碍它前进的同一空气所推动。他提出,物体在被抛出时获得了一种动力(impetus)。[58]
伊本·西那
在 1020 年,伊本·西那(拉丁化名字为阿维森纳)阅读了斐洛波努斯的著作,并在《治愈之书》中发表了他自己的运动理论。他同意投掷物会被投掷者赋予一种动力;但与斐洛波努斯不同的是,斐洛波努斯认为这种动力即便在真空中也会逐渐衰减,而伊本·西那认为这种动力是持久的,需要外部力量(如空气阻力)来消散它。[59][60][61]
彼得·奥利维,尚·布里丹
在 13 世纪和 14 世纪,彼得·奥利维和尚·布里丹研究并改进了斐洛波诺斯的工作,也可能参考了伊本·西那的理论。[61] 大约在 1350 年,布里丹被任命为巴黎大学校长,他提出了冲力与物体的重量和速度成正比。此外,布里丹的理论与他的前辈不同之处在于,他并不认为冲力会自我消散,而是认为物体会因为空气阻力和重力(可能会抵消其冲力)而停止运动。[62][63]
勒内·笛卡尔
在 1644 年出版的《哲学原理》(*Principia Philosophiae*)中,法国哲学家勒内·笛卡尔将 “运动量”(拉丁语:*quantitas motus*)定义为大小与速度的乘积,[64]并声称宇宙中的总运动量是守恒的。[64][65]
如果 x 的大小是 y 的两倍,而速度是 y 的一半,那么两者的运动量相同。
[上帝]创造了物质及其运动...仅仅是通过任由事物按其自身规律运转,他就保持了同样的运动量……就像他在最初放置的那样。
这不应被理解为现代动量守恒定律的陈述,因为笛卡尔并没有将质量区分于重量和大小的概念。(质量的概念区别于重量,是牛顿在 1686 年引入的。)[66] 更重要的是,笛卡尔认为是速度而非速度矢量被守恒。因此,对于笛卡尔而言,如果一个运动的物体弹离一个表面,改变了方向但不改变速度,其运动量不会发生变化。[67][68][69]
伽利略在其 1638 年出版的《两门新科学》中,也使用意大利词*impeto*来描述类似于笛卡尔的运动量概念。
克里斯蒂安·惠更斯
在 1600 年代,克里斯蒂安·惠更斯早期就得出结论,笛卡尔关于两个物体弹性碰撞的定律一定是错误的,并且他制定了正确的定律。[70] 他认识到问题的伽利略不变性,这是一个重要的进展。[71] 然而,他的观点花了多年才得以传播。1661 年,他在伦敦亲自将这些理论传递给威廉·布朗克和克里斯托弗·雷恩。[72] 在 1666 年第二次英荷战争期间,斯宾诺莎在写给亨利·奥登堡的信中提到这些理论时言辞谨慎。[73] 实际上,惠更斯早在 1652-1656 年间就在手稿《物体碰撞运动》中研究出了这些结论。战争于 1667 年结束,惠更斯在 1668 年向皇家学会宣布了他的结果,并于 1669 年在《学者杂志》上发表了这些发现。[74]
约翰·沃利斯
1670 年,约翰·沃利斯在《力学即运动的几何学论》中提出了动量守恒定律:“物体的初始状态,无论是静止还是运动,将会持续不变”,以及 “如果力大于阻力,则会产生运动”。沃利斯使用 “动量” 来表示 “运动量”,用 “力” 来表示 “力的大小”。
戈特弗里德·莱布尼茨
1686 年,戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在《形而上学论》中提出了反对笛卡尔 “运动量守恒” 构想的论点,通过不同大小的物块从不同高度落下的例子。他指出,力是守恒的,但被解释为物体大小与速度之积的 “运动量” 并非守恒。
艾萨克·牛顿
1687 年,艾萨克·牛顿在《自然哲学的数学原理》(*Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica*)中,和沃利斯一样,表现出类似的措辞探索来描述数学上的动量。在他的定义 II 中,将 “运动量”(*quantitas motus*)定义为 “源于速度和物质量的共同作用”,明确了它是动量。[77]因此,当他在第二定律中提到 “运动的变化”(*mutatio motus*)与施加的力成正比时,通常被理解为指动量的变化,而不是指单纯的运动。[78]
约翰·詹宁斯
约翰·詹宁斯(*John Jennings*)在 1721 年出版了《杂集》(*Miscellanea*),其中动量在其当前的数学意义上首次得到验证,比牛顿《自然哲学的数学原理》最终版早了五年。动量 *M* 或 “运动量” 被定义为学生的 “矩形”,即 *Q* 和 *V* 的乘积,其中 *Q* 表示 “物质量”,*V* 表示 “速度”(即距离/时间)。
1728 年,《百科全书》(*Cyclopedia*)中写道:
任何物体的动量、冲力或运动量,是其速度(或在给定时间内运动的距离,见‘运动’)与其质量的乘积。
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