阿瑟·凯利（综述）

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　　 阿瑟·凯利（Arthur Cayley，FRS，1821 年 8 月 16 日－1895 年 1 月 26 日）是英国数学家，主要从事代数方面的研究。他帮助创立了现代英国纯数学学派，并在剑桥大学三一学院担任教授长达 35 年。

　　 他提出了如今被称为凯利-哈密顿定理的观点——即每个方阵都是其自身特征多项式的根，并验证了 2 阶和 3 阶矩阵的情况。[1]他是第一个定义抽象群概念的人，抽象群是满足某些运算规律的集合，[2]区别于艾瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）对置换群的定义。在群论中，凯利表、凯利图以及凯利定理都以他命名，而在组合数学中，也有凯利公式以纪念他。

1. 早年生活

　　 阿瑟·凯利于 1821 年 8 月 16 日出生在英国伦敦的里士满。他的父亲亨利·凯利是航空工程师乔治·凯利的远亲，来自约克郡的一个古老家族，并作为商人定居在俄罗斯圣彼得堡。他的母亲是玛丽亚·安托尼娅·道蒂（Maria Antonia Doughty），威廉·道蒂的女儿。根据一些作家的说法，她是俄罗斯人，但她父亲的名字表明她有英格兰血统。他的兄弟是语言学家查尔斯·巴戈特·凯利。阿瑟在圣彼得堡度过了他生命的最初八年。1829 年，他的父母定居在伦敦的布莱克希斯，阿瑟在那里上了一所私立学校。

　　 14 岁时，他被送到国王学院学校。年轻的凯利喜欢复杂的数学问题，学校的校长注意到他在数学方面的天赋，并建议父亲不要让儿子从事商业工作，而是送他去剑桥大学学习。

2. 教育

　　 17 岁时，凯利开始在剑桥大学三一学院学习，在那里他在希腊语、法语、德语、意大利语以及数学方面表现出色。此时，分析学会的事业已取得胜利，剑桥数学杂志由格雷戈里（Gregory）和罗伯特·莱斯利·埃利斯（Robert Leslie Ellis）创办。20 岁时，凯利向该杂志投稿了三篇论文，这些论文的主题受到了他阅读约瑟夫·路易·拉格朗日的《解析力学》和拉普拉斯的一些著作的启发。

　　 凯利在剑桥的导师是乔治·皮科克（George Peacock），他的私人教练是威廉·霍普金斯（William Hopkins）。他通过赢得高级学者（Senior Wrangler）和第一个史密斯奖学金（Smith's Prize）顺利完成了本科课程。接下来，他计划获得硕士学位，并通过竞争考试赢得奖学金。[3]他继续在剑桥大学居住了四年，在此期间，他接收了一些学生，但他的主要工作是为数学杂志准备 28 篇论文。

3. 法律事业

　　 由于奖学金的任期有限，他必须选择一个职业；像德·摩根一样，凯利选择了法律，并于 1846 年 4 月 20 日以 24 岁的年龄被录取为林肯律师协会（Lincoln's Inn）的成员。[4]他专攻不动产转让。在参加律师资格考试期间，他曾前往都柏林聆听威廉·罗文·汉密尔顿关于四元数的讲座。

　　 他的朋友 J.J. 西尔维斯特（J. J. Sylvester），比他大五岁，曾在剑桥大学与他为同学，当时是一名常驻伦敦的精算师；他们常一起在林肯律师协会的院子里散步，讨论不变量和协变理论。在这十四年间，凯利创作了大约二三百篇论文。[5]

4. 教授职位

　　 大约在 1860 年，剑桥大学的卢卡谢恩数学教授席位（牛顿的讲座）被新的萨德莱尔教授职位所补充，该职位是由萨德莱夫人遗赠的基金资助的，42 岁的凯利成为第一位担任此职的人。他的职责是 “阐明和教授纯数学的原理，并致力于该科学的进步。” 他放弃了收入丰厚的法律事业，选择了一个 modest 的工资，但他从未后悔这一决定，因为它使他能够将精力投入到自己最喜爱的事业中。他立即结婚并定居在剑桥，并且（与哈密尔顿不同）享受着非常幸福的家庭生活。曾经，大学时期的朋友西尔维斯特表达了对凯利宁静家庭生活的羡慕，而未婚的西尔维斯特则终其一生不得不与世界作斗争。

　　 最初，萨德莱尔教授的薪水仅足够在学年中的一个学期讲课，但 1886 年的大学财政改革为其讲座提供了资金，使得讲座可以扩展至两个学期。在许多年里，他的课程仅有几位完成考试准备的学生参加，但改革后，出席人数约为十五人。他通常会讲解他当前的研究课题。

　　 至于他在数学科学进步方面的职责，他出版了一系列漫长而富有成效的论文，涵盖了纯数学的各个领域。他还成为了许多国内外学会的常驻评审，负责评估数学论文的价值。

　　 1872 年，他被授予三一学院荣誉院士称号，三年后成为正式院士，担任有薪职位。大约在这个时候，他的朋友们为他捐款，送上了一幅肖像画。麦克斯韦写了一篇致辞，赞扬凯利的主要著作，包括《n 维解析几何章节》；《行列式理论》；《矩阵理论论文》；《偏斜曲面的论文，也叫做螺旋曲面》；以及《三次螺旋曲线的描绘》。[6]

　　 除了在代数方面的工作外，凯利还对代数几何作出了基础性的贡献。凯利和萨尔蒙发现了立方曲面上的 27 条直线。凯利构造了所有投影三维空间曲线的周空间。[7]他创立了有规律曲面的代数几何理论。他在组合数学方面的贡献包括通过生成函数的开创性使用，计算了 $n$ 个标记顶点上的 $n^{n-2}$ 棵树。

　　 1876 年，他出版了《椭圆函数论》一书。他对女性大学教育运动表现出浓厚的兴趣。在剑桥，第一所女子学院是吉尔顿学院和纽纳姆学院。在吉尔顿学院的早期，他直接参与了教学工作，并且在许多年里，他担任了纽纳姆学院理事会主席，对学院的进展一直保持着浓厚的兴趣，直至最后。

　　 1881 年，他收到了当时麦克斯韦担任剑桥大学数学教授的约翰斯·霍普金斯大学（位于巴尔的摩）的邀请，邀请他进行一系列讲座。他接受了邀请，并于 1882 年上半年在巴尔的摩讲授关于阿贝尔函数和θ函数的主题。

　　 1893 年，凯利成为荷兰皇家艺术与科学院的外籍会员。[8]

5. 英国学会会长

　　 1883 年，凯利成为了英国科学促进会的会长。会议在英格兰北部的南港举行。由于会长的致辞是会议中的重要公众活动之一，并吸引了具有一般文化背景的听众，因此通常会尽量避免使用过于技术性的内容。凯利（1996 年）以《纯数学的进展》为主题进行致辞。

6. 《论文集》

　　 1889 年，剑桥大学出版社开始出版他的论文集，这让他十分欣慰。他亲自编辑了其中七卷四开本，尽管当时正饱受严重的内疾折磨。他于 1895 年 1 月 26 日去世，享年 73 岁。他的葬礼在三一学院教堂举行，英国的顶尖科学家们出席了仪式，甚至来自俄罗斯和美国的官方代表也前来悼念。

　　 其余的论文由他的继任者、萨德利里安数学教授安德鲁·福赛斯编辑，总共十三卷四开本，收录了 967 篇论文。他的研究成果至今仍被广泛使用，仅在 21 世纪就已被 200 多篇数学论文引用。

　　 凯莱至生命最后一刻仍钟爱小说阅读和旅行。他对绘画和建筑尤为喜爱，并练习水彩画，这在绘制数学图示时偶尔派上用场。

7. 遗产

　　 凯莱被安葬在剑桥的米尔路公墓。

　　 由洛厄斯·凯托·狄金森（Lowes Cato Dickinson）于 1874 年所绘的凯莱肖像以及由威廉·朗梅德（William Longmaid）于 1884 年所绘的肖像，现收藏于剑桥大学三一学院。

　　 许多数学术语以凯莱的名字命名，包括：

• 凯莱定理（Cayley's theorem）
• 凯莱-汉密尔顿定理（Cayley–Hamilton theorem）——线性代数中的重要定理
• 凯莱-巴克拉赫定理（Cayley–Bacharach theorem）
• 格拉斯曼-凯莱代数（Grassmann–Cayley algebra）
• 凯莱-门格行列式（Cayley–Menger determinant）
• 凯莱图（Cayley diagrams）——用于机械工程中寻找共轭连杆机构
• 凯莱-迪克森构造（Cayley–Dickson construction）
• 凯莱代数（八元数）（Cayley algebra, Octonion）
• 凯莱图（Cayley graph）
• 凯莱数（Cayley numbers）
• 凯莱六次曲线（Cayley's sextic）
• 凯莱表（Cayley table）
• 凯莱-珀瑟算法（Cayley–Purser algorithm）
• 凯莱公式（Cayley's formula）
• 凯莱-克莱因度量（Cayley–Klein metric）
• 凯莱-克莱因双曲几何模型（Cayley–Klein model of hyperbolic geometry）
• 凯莱Ω过程（Cayley's Ω process）
• 凯莱曲面（Cayley surface）
• 凯莱变换（Cayley transform）
• 凯莱结点三次曲面（Cayley's nodal cubic surface）
• 凯莱直纹三次曲面（Cayley's ruled cubic surface）
• 月球上的凯莱陨石坑（Cayley crater）——因此衍生出**凯莱地层**（Cayley Formation），一个以该陨石坑命名的地质单元
• 凯莱捕鼠器（Cayley's mousetrap）——一种纸牌游戏
• 凯莱数（Cayleyan）
• 沙勒-凯莱-布里尔公式（Chasles–Cayley–Brill formula）
• 超行列式（Hyperdeterminant）
• 奎皮安（Quippian）
• 四面体曲面（Tetrahedroid）

8. 参考书目

• 凯莱，阿瑟（Arthur Cayley）（2009）[1876]，《椭圆函数初等论》（*An Elementary Treatise on Elliptic Functions*），康奈尔大学图书馆，ISBN 978-1-112-28006-1，MR 0124532。
• 凯莱，阿瑟（Arthur Cayley）（2009）[1889]，《数学论文集》（*The Collected Mathematical Papers*），剑桥数学文库（共 14 卷），剑桥大学出版社，ISBN 978-1-108-00507-4，存档。
• 凯莱，阿瑟（Arthur Cayley）（1894），《复式记账原理》（*The Principles of Book-Keeping by Double Entry*），剑桥大学出版社。

9. 参见

• 以阿瑟·凯莱命名的事物列表（List of things named after Arthur Cayley）

10. 参考文献

1. 凯莱（1858），“关于矩阵理论的论文”（"A Memoir on the Theory of Matrices"），《伦敦皇家学会哲学汇刊》（Philosophical Transactions of the Royal Society of London），第 148 卷，第 24 页：“我已经在下一个最简单的情形，即阶数为 3 的矩阵中验证了该定理……但我认为没有必要在一般情况下，即任何阶的矩阵，都进行正式证明。”
2. 凯莱（1854），“关于群论，取决于符号方程θⁿ = 1”（"On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1"），《哲学杂志》第四系列，第 7 卷（42）：40–47。然而，也请参见对该定义的批评：MacTutor：《抽象群概念》（The abstract group concept）。
3. "Cayley, Arthur (CLY838A)"，剑桥校友数据库（A Cambridge Alumni Database），剑桥大学。
4. The Records of the Honorable Society of Lincoln's Inn, 第 II 卷，入学登记（1420-1893），伦敦：林肯律师学院（Lincoln's Inn），1896 年，第 226 页。
5. 福赛斯，安德鲁·拉塞尔（1901），“凯莱，阿瑟”（"Cayley, Arthur"），载于李·悉尼（Sidney Lee）编，《国家人物传记词典》（Dictionary of National Biography，第一增补卷），伦敦：史密斯、埃尔德公司（Smith, Elder & Co.）。
6. “致凯莱肖像基金委员会”（"To the Committee of the Cayley Portrait Fund"），1874 年。
7. A. 凯莱，《数学论文集》（Collected Mathematical Papers），剑桥（1891），第 4 卷，446−455 页。 W. V. D. 霍奇 和 D. 佩多，《代数几何方法》（*Methods of Algebraic Geometry*），剑桥（1952），第 2 卷，第 388 页。
8. “A. 凯莱（1821 - 1895）”，荷兰皇家艺术与科学院（Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences），2016 年 4 月 19 日检索。
9. “剑桥大学三一学院”（"Trinity College, University of Cambridge"），BBC《你的画作》（Your Paintings），2014 年 5 月 11 日存档，2018 年 2 月 12 日检索。

11. 来源

• 凯莱，阿瑟（Arthur Cayley）（1996）[1883]，“英国科学协会主席演讲”（"Presidential address to the British Association"），收录于埃瓦尔德，威廉（William Ewald）（编），《从康德到希尔伯特：数学基础文献集》（From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics），第 I、II 卷，牛津科学出版物，克拉伦登出版社·牛津大学出版社，页 542–573，ISBN 978-0-19-853271-2，MR 1465678。该文也被收录于《数学论文集》第 11 卷。
• 克里利，托尼（Tony Crilly）（1995），“维多利亚时代的数学家：阿瑟·凯莱（1821–1895）”（"A Victorian Mathematician: Arthur Cayley (1821–1895)"），《数学公报》（The Mathematical Gazette），第 79 卷（485），数学协会（The Mathematical Association），页 259–262，doi:10.2307/3618297，ISSN 0025-5572，JSTOR 3618297，S2CID 188006684。
• 克里利，托尼（Tony Crilly）（2006），《阿瑟·凯莱：维多利亚时代的数学桂冠》（Arthur Cayley. Mathematician laureate of the Victorian age），约翰·霍普金斯大学出版社，ISBN 978-0-8018-8011-7，MR 2284396。
• 麦克法兰，亚历山大（Alexander Macfarlane）（2009）[1916]，《十九世纪十位英国数学家的讲座》（Lectures on Ten British Mathematicians of the Nineteenth Century），数学专著系列（Mathematical monographs），第 17 卷，康奈尔大学图书馆，ISBN 978-1-112-28306-2（完整文本可在 Project Gutenberg 获取）。

12. 外部链接

• 奥康纳，约翰·J.；罗伯逊，埃德蒙·F.，“阿瑟·凯莱” (Arthur Cayley)，麦克图尔数学史档案 (MacTutor History of Mathematics Archive)，圣安德鲁斯大学。
• 数学家世系计划 (Mathematics Genealogy Project) 中的阿瑟·凯莱。
• 魏斯坦，埃里克·沃尔夫冈（编），“凯莱，阿瑟（1821–1895）” (Cayley, Arthur (1821–1895))，科学世界 (ScienceWorld)。
• 阿瑟·凯莱写给罗伯特·哈雷的信（1859–1863），可在线获取，存于理海大学 (Lehigh University) 的 “我仍然存在：书信、手稿与文献数字档案” (I Remain: A Digital Archive of Letters, Manuscripts, and Ephemera)。
• 萨尔蒙，乔治（1883 年 9 月 20 日），“科学名人. XXII.—阿瑟·凯莱” (Science Worthies. XXII.—Arthur Cayley)，《自然》(*Nature*)，第 28 卷，481–485 页，doi:10.1038/028481a0。
• 斯科特，夏洛特·安加斯（1895 年），“阿瑟·凯莱：生于 1821 年 8 月 16 日，卒于 1895 年 1 月 26 日” (*Arthur Cayley. Born August 16th, 1821. Died January 26th, 1895*)，《美国数学学会通报》(Bull. Amer. Math. Soc.)，第 1 卷（6）：133–141，doi:10.1090/s0002-9904-1895-00261-x，MR 1557369。