电荷在磁场中的圆周运动（电磁学入门）

贡献者： ACertainUser

　　 电荷在磁场中的圆周运动是一类经典问题。根据圆周运动以及磁场力始终垂直于速度方向的特性 ($ \boldsymbol{\mathbf{F}} = q \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} $)，我们可以做出如下推论：

• 运动圆心在垂直入射速度的直线上
• 出射速度沿轨迹的切线方向，同时垂直于与圆心的连线
• 圆周运动中，电荷速度方向改变，但速率从不改变

　　 此外，我们还有几个重要公式：

• $R=\frac{mv}{qB}~.$ 运动半径与初速度有关
• $T=\frac{2\pi m}{qB}~.$ 运动周期与初速度无关
• $t = \frac{\theta}{2\pi} T\text{(弧度制)}= \frac{\theta}{360^\circ } T\text{(角度制)}~.$ 运动所需时间与轨迹的圆心角有关

　　 其中，$R$ 是圆周运动半径，$m$ 是电荷质量，$v$ 是电荷入射速率，$q$ 是电荷带电量，$B$ 是磁场强度，$T$ 是周期（电荷在磁场中完整运动一圈所需的时间），$t$ 是运动时长(电荷从入射到出射所需时间)，$\theta$ 是圆心角。

　　 相应的推导也很简单： $$ \left \{ \begin{aligned} F&=m\frac{v^2}{R}\\ F&=qvB\\ \end{aligned} \Rightarrow R=\frac{mv}{qB} \right. ~, $$ $$ \left \{ \begin{aligned} v=R\cdot\omega\\ \omega = \frac{2\pi}{T}\\ R=\frac{mv}{qB} \end{aligned} \Rightarrow R=\frac{mR\cdot\omega}{qB}=\frac{mR\cdot\frac{2\pi}{T}}{qB} \Rightarrow T=\frac{2\pi m}{qB} \right. ~. $$