基本概念

贡献者： addis; 钱昭霖

1. 描述一个态

　　我们用如下记号： $| α ⟩$ 来描述一个态，这种描述也称为 “右矢”。从某种程度上，它可以理解为我们线性代数里面学过的列矢量：

\begin{matrix} (1) & | α ⟩ = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　当然，这么写出来的话，肯定要指明我们是在怎样的一组坐标下面来进行这个描述的。一旦清楚的说明坐标了之后，这个态的意义也就明确了起来。在量子力学的课程中，一个很容易造成困扰的概念就是 “叠加态”。请大家一定记住，叠加态并不是什么奇怪的事情。比如，你在三维直角坐标系中，有一个点 $(1, 1, 1) / \sqrt{3}$ ，你会觉得 “不可思议！竟然可以同时处于 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的混合态” 吗？不会吧。所以，在量子力学里面，你也不必对此大惊小怪——大家其实是同样的数学结构。

　　有右矢自然就有左矢——从代数学的角度来讲，一个右矢对应的左矢，即是它的 Hermitian 共轭¹，通常会用 $h . c$ 来表示（Hermitian Conjugation）。共轭大家肯定知道，就是复数里面把辐角取反即可了，但是如果在此基础上再做一个转置的话，就构成了 Hermitian 共轭，形成了左矢，也就是一个行向量。

\begin{matrix} (2) & ⟨ α | = (x_{1}^{*} x_{2}^{*} \dots x_{n}^{*}) . \end{matrix}

　　举一个简单的例子，

例 1　

　　如果规定

\begin{matrix} (3) & | α ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} i \\ 1 \end{matrix}), \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (4) & ⟨ α | = \frac{1}{\sqrt{2}} (- i, 1) . \end{matrix}

　　左矢和右矢之间可以做内积，就像一个行矢量和列矢量做内积（乘法）一样，得到一个数 $⟨ α | β ⟩ = x \in C$ 。还是刚才那个例子，

例 2　

\begin{matrix} (5) & ⟨ α | α ⟩ = 1 . \end{matrix}

　　这样一组对应的左矢和右矢内积得 1 的称为单位向量，也叫归一的向量，归一的态，等等很多叫法。如果一个态没有归一，对它进行归一化的过程为

\begin{matrix} (6) & | β ⟩ \to \frac{| β ⟩}{\sqrt{⟨ β | β ⟩}} . \end{matrix}

　　这里面其实用到了内积的一个小性质： $⟨ α | β ⟩ = (⟨ β | α ⟩)^{*}$ 。读者可以验证一下。

　　我们说了这么久的态，但是我们知道在波动力学里面，我们描述一个态是利用它的波函数，一般是坐标的函数 $ψ (x)$ 。这个和我们的态有什么关系呢？

　　其实很有关系的。我先不着急透露，我们先想想内积的几何意义。 $⟨ α | β ⟩$ 是不是相当于求出 $| β ⟩$ 是有多少成分在 $| α ⟩$ 上么？也就是说，

\begin{matrix} (7) & | β ⟩ = ⟨ α | β ⟩ | α ⟩ + 与 | α ⟩ 垂直的成分 . \end{matrix}

　　那我们考虑这么一组态²， $| x ⟩$ ，它们代表一个态被完全的限制在了 $x$ 处无法移动。那么，一个归一的态 $| ψ ⟩$ 如果能写成坐标空间的波函数形式的话，其最有可能的样子就是

\begin{matrix} (8) & ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩ . \end{matrix}

　　由于无论是波函数还是态矢量（右矢），差一个复数相位都是不会有什么区别的，所以我们的粒子在 $x \to x^{'} + Δ x^{'}$ 找到的概率，就像一般的量子力学问题里面说的那样，是

\begin{matrix} (9) & \int_{x^{'}}^{x^{'} + Δ x^{'}} | ψ (x) |^{2} d x = \int_{x^{'}}^{x^{'} + Δ x^{'}} ⟨ ψ | x ⟩ ⟨ x | ψ ⟩ . \end{matrix}

　　如果对全空间积分，这个概率是 1，也就是说

\begin{matrix} (10) & \int_{- \infty}^{\infty} ⟨ ψ | x ⟩ ⟨ x | ψ ⟩ = 1 . \end{matrix}

　　这是一个平凡的结论，但是实际上这很有一点深意的，本章中间的部分可以看到。

　　捎带说一句，像 $⟨ x | α ⟩$ 这样，可以叫 $| α ⟩$ 的 $x$ 表象。类似的还有动量表象等。不同表象之间的变换等问题随后会讲。

2. 算符

　　首先介绍一个很重要的算符：单位算符。别急，这个是很无聊，但是却有很重要的作用。而且，我们介绍的并不是那么无聊的形式。

　　考虑一组完备正交归一的态 $| λ_{i} ⟩$ 。单位算符 $I$ 就可以写成

\begin{matrix} (11) & I = \sum_{i} | λ_{i} ⟩ ⟨ λ_{i} |, \end{matrix}

　　这就被称为 resolution of identity。为了便于理解，我们来举一个例子。

例 3　

　　三维空间一个矢量

\begin{matrix} (12) & v = v_{x} i + v_{y} j + v_{z} k . \end{matrix}

其中，

v_{x}, v_{y}, v_{z}

可以通过

⟨ i (o r j, k) | v ⟩

得到。

　　也就是说，

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} | v ⟩ & = v_{x} | i ⟩ + v_{y} | j ⟩ + v_{z} | k ⟩ = | i ⟩ ⟨ i | v ⟩ + | j ⟩ ⟨ j | v ⟩ + | k ⟩ ⟨ k | v ⟩ \\ = (| i ⟩ ⟨ i | + | j ⟩ ⟨ j | + | k ⟩ ⟨ k |) | v ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

　　正如式 11 ，我们有

\begin{matrix} (14) & | α ⟩ = \sum_{i} | λ_{i} ⟩ ⟨ λ_{i} | α ⟩, \end{matrix}

　　还有很多一般的关于算符的理论。相信通过前面的理解，我们知道算符在某一组特定的正交完备归一基 $| λ_{i} ⟩$ 下可以表示为矩阵，而矩阵元

\begin{matrix} (15) & A_{i j} = ⟨ λ_{i} | A | λ_{j} ⟩ . \end{matrix}

一个物理量显然是一个实数，这实际上要求了它对应的算符是 Hermitian 算符，即

\begin{matrix} (16) & \hat{A} = {\hat{A}}^{†}, i . e ., A_{i j} = A_{j i}^{*} . \end{matrix}

（实际上，在满足

PT

对称性下这两件事情并不完全一致，不是 Hermitian 算符也可以得到全部实数的本征值，在章中不考虑这种事情）而不是物理量的算符并不非要是 Hermitian 的，如

\begin{matrix} (17) & (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) & (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) . \end{matrix}

介绍几个重要的二维 Hermitian：

\begin{matrix} (18) & σ_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), σ_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{2} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), σ_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

上面四个矩阵被称为 Pauli 矩阵，有的时候也会写成四维（矩阵）矢量的形式，

σ

。

　　这四个矩阵十分重要，尤其是在研究自旋 $1 / 2$ 体系的时候。这部分内容在后面讲角动量的时候你会时常见到。

　　关于算符还有很多内容，考虑到这是一个启发性的讲义，这里就不赘述了。我们可以从 Exercise 里面逐步学习：

习题 1　

　　定义

\begin{matrix} (19) & \hat{A} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & \dots \\ 1 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \dots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & \dots \\ ⋱ \end{matrix}) . \end{matrix}

求出下面算符的本征态和对应的本征值：

\begin{matrix} (20) & \hat{H} = {\hat{A}}^{†} \hat{A} + \frac{1}{2} . \end{matrix}

　　接下来我们看一下算符的对易关系，其实与其相关的矩阵的对易关系想必你们都学过：

\begin{matrix} (21) & \begin{array}{r} [\hat{A}, \hat{B}] \overset{d e f}{\equiv} \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}, \\ {\hat{A}, \hat{B}} \overset{d e f}{\equiv} \hat{A} \hat{B} + \hat{B} \hat{A} . \end{array} \end{matrix}

这里不仅介绍了对易，也介绍了反对易。这两者同样常见，不同的是，前者经常出现于玻色体系，而后者经常出现于费米体系。

习题 2　

　　在习题 1 中，我们定义了算符 $\hat{A}$ 。那么，请计算

\begin{matrix} (22) & [\hat{A}, {\hat{A}}^{†}] = ? . \end{matrix}

习题 3　

　　试证明，对于 $\forall \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$

\begin{matrix} (23) & [\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]] + [\hat{B}, [\hat{C}, \hat{A}]] + [\hat{C}, [\hat{A}, \hat{B}]] = 0 . \end{matrix}

　　接下来简要介绍一下算符的完备性，证明暂时略去。可以证明的是，存在逆的 Hermitian 算符，即存在 $\hat{B} \hat{A} = I$ 的时候，如果这个 Hermitian 算符的本征态维数有限，那么这个本征态是完备的。如果无限维，这件事情不一定成立。至于有人问为什么无限维会带来 bug 呢？举个简单的例子证明无限维的时候好多概念都用不了。

例 4　

　　定义³一个无限维的完备正交归一解为 $| i ⟩, i = 0, 1, \dots \infty$ ，那么考虑算符

\begin{matrix} (24) & A = \sum_{i = 0}^{\infty} | i ⟩ ⟨ i + 1 |, B = \sum_{i = 1}^{\infty} | i ⟩ ⟨ i - 1 | . \end{matrix}

那么，显然有

\begin{matrix} (25) & A B = I, B A = I - | 0 ⟩ ⟨ 0 | . \end{matrix}

也就是说，逆矩阵这件事情实际上在无限维的时候定义有一定困难。

　　以上就是关于算符的一些一般性质。

3. 特殊的算符

　　我们知道，大多数情况下，一个粒子的哈密顿量都会包含动能部分，而动能的表示又是依靠动量的。很常见的，我们就会考虑动量算符 $\hat{p}$ 。这个算符的本征态和对应的本征值为

\begin{matrix} (26) & \hat{p} | p_{0} ⟩ = p_{0} | p_{0} ⟩ . \end{matrix}

而由于是连续的谱，归一化条件将是利用 delta 函数的

\begin{matrix} (27) & ⟨ p_{1} | p_{2} ⟩ = δ (p_{1} - p_{2}), \end{matrix}

　　这种连续的谱也会发生在坐标算符 $\hat{x}$ 上。类似的有

\begin{matrix} (28) & \hat{x} | x_{0} ⟩ = x_{0} | x_{0} ⟩, \end{matrix}

\begin{matrix} (29) & ⟨ x_{1} | x_{2} ⟩ = δ (x_{1} - x_{2}) . \end{matrix}

　　我们前面介绍过的 resolution of identity，这里的形式也需要改变：

\begin{matrix} (30) & \int d p | p ⟩ ⟨ p | = I, \end{matrix}

\begin{matrix} (31) & \int d x | x ⟩ ⟨ x | = I . \end{matrix}

不过这些都是小变化，仔细想想的话，其实很容易理解。

　　我们接下来要考虑的实际上是一个非常奇怪的问题： $⟨ p | x ⟩ = ?$ 。答案很简单，形式为

\begin{matrix} (32) & ⟨ p | x ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} e^{- i p x / ℏ} . \end{matrix}

但是具体怎么做的呢？我们先看一个貌似与这个问题并不是很相关的问题：平移问题。

　　让我们考虑沿着 $x$ 方向的平移算符 $\hat{J}$ :

\begin{matrix} (33) & \hat{J} (d x^{'}) | x^{'} ⟩ = | x^{'} + d x^{'} ⟩ . \end{matrix}

有了这组性质之后我们实际上可以得到任何态

| α ⟩

是如何在这样一个平移下变换的，因为我们可以把它展开成坐标本征态的线性组合

\begin{matrix} (34) & \hat{J} (d x^{'}) | α ⟩ = \int \hat{J} (d x^{'}) | x^{'} ⟩ ⟨ x^{'} | α ⟩ d x^{'} = \int | x^{'} + d x^{'} ⟩ ⟨ x^{'} | α ⟩ d x^{'} . \end{matrix}

有几点值得注意：这个算符满足很多性质，比如它是 Unitary 的，再比如说它是非常常见的可以线性组合的

\begin{matrix} (35) & {\begin{cases} \hat{J} (d x^{'}) {\hat{J}}^{†} (d x^{'}) = 1 \\ \hat{J} (d x^{'}) \hat{J} (d x^{″}) = \hat{J} (d x^{'} + d x^{″}) \\ \hat{J} (- d x^{'}) = {\hat{J}}^{- 1} (d x^{'}) \\ \hat{J} (0) = I \end{cases} . \end{matrix}

考虑到量子力学的基本假设⁴，

[x, p] = i ℏ

，我们注意到

\begin{matrix} (36) & \hat{x} \hat{J} (d x^{'}) | x^{'} ⟩ = (x^{'} + d x^{'}) | x^{'} + d x^{'} ⟩, \end{matrix}

\begin{matrix} (37) & \hat{J} (d x^{'}) \hat{x} | x^{'} ⟩ = x^{'} | x^{'} + d x^{'} ⟩ . \end{matrix}

也就是说

\begin{matrix} (38) & [\hat{x}, \hat{J} (d x^{'})] \sim d x^{'}, \end{matrix}

这里面的约等于号是考虑到

| x^{'} + d x^{'} ⟩ \sim | x^{'} ⟩

。利用在

d x^{'} \to 0

的时候

\hat{J} (d x^{'}) \to 1

，我们得到

\begin{matrix} (39) & \hat{J} (d x^{'}) \sim 1 - \frac{i}{ℏ} \hat{p} d x^{'} . \end{matrix}

例 5　

　　可以证明 $\hat{P}$ 是 Hermitian 的。一般这种问题的做法是看矩阵元，比如我有一套本征态 $| i ⟩$ ，定义 $P_{i j} \equiv ⟨ i | P | j ⟩$ 。如果他是 Hermitian 的，那么 $P_{i j} = P_{j i}^{*}$ 。但是这里的话，我们没有办法选取离散的本征态，不过即使只是连续本征态，也是可以的。最直觉的做法就是选取坐标本征态，我们规定 $P (x, x^{'}) = ⟨ x | P | x^{'} ⟩$ 。我们只需要证明 $P (x, x^{'}) = P (x^{'}, x)^{*}$ 。这里简要地给出一个 “令人信服” 但不那么严格的说法。

　　我们有一个最方便的办法来计算，就是利用 $d x^{'}$ 很小的时候的 $\hat{J} (d x^{'})$ 。

\begin{matrix} (40) & ⟨ x | \hat{J} (a) | x^{'} ⟩ \sim ⟨ x | x^{'} ⟩ - \frac{i}{ℏ} a ⟨ x | P | x^{'} ⟩ . \end{matrix}

也就是说

\begin{matrix} (41) & P (x, x^{'}) \sim i \frac{ℏ}{a} [⟨ x | \hat{J} (a) | x^{'} ⟩ - ⟨ x | x^{'} ⟩] = i \frac{ℏ}{a} [⟨ x | x^{'} + a ⟩ - ⟨ x | x^{'} ⟩], \end{matrix}

而很类似的

\begin{matrix} (42) & P (x^{'}, x) \sim i \frac{ℏ}{a} [⟨ x^{'} | x + a ⟩ - ⟨ x^{'} | x ⟩], \end{matrix}

\begin{matrix} (43) & P (x, x^{'})^{*} \sim - i \frac{ℏ}{a} [⟨ x^{'} + a | x ⟩ - ⟨ x^{'} | x ⟩] = i \frac{ℏ}{a} [⟨ x^{'} | x ⟩ - ⟨ x^{'} + a | x ⟩] . \end{matrix}

取

a \to 0

，上面的式子严格等于，而且两者的关系更一目了然。

4. 投影算符

　　这是一个概念，看起来并不是很有趣，但是我们在后面学习微扰理论的时候会发现它很重要。

　　它一般指这样一个算符：我们现在有一组正交完备归一的基 ${| α_{i} ⟩}$ 。我们很关心一个初始在 $| α_{j} ⟩$ 的基的行为，并且可以预料到，在其刚刚开始演化的时候，其大部分成分都还这个态上。这就有点像你把一根直线转了一个小角度，它沿原来方向的分量还是很大，如图 1 。

图 1：偏移一点的矢量与投影

　　很显然的，这个投影算符就可以用 $| α_{j} ⟩ ⟨ α_{j} |$ 来表示。我们还是利用我们之前介绍过的一个例子来说明。

例 6　

　　三维空间一个矢量

\begin{matrix} (44) & v = v_{x} i + v_{y} j + v_{z} k . \end{matrix}

如果我要获得它的

x

方向的投影，我首先要保证它在

x

方向上，其次要保证它的大小。于是，最后得到

\begin{matrix} (45) & v_{x} = v_{x} i = (v \cdot i) i = ⟨ i | v ⟩ | i ⟩ = | i ⟩ ⟨ i | v . \end{matrix}

　　投影算符不仅指投影到一个方向的，还指投影到一个平面上的投影算符，或者投影到 Hilbert 空间上更 “高维度” 的空间。

　　这个投影算符虽然现在看起来没有什么用，但是后面你会看到它的作用的。几个有趣的性质读者可以作为练习

习题 4　

　　请读者证明：如果 $\hat{P}$ 是投影算符，则

　　 (1) $\hat{P} \hat{P} = \hat{P}$

　　 (2) $1 - \hat{P}$ 也是投影算符。

5. 算符的函数

　　我们很多时候可以写一些算符的函数来简化算符。大部分时候这种函数都是一目了然的，比如 ${\hat{A}}^{2} = \hat{A} \cdot \hat{A}$ ，但有的时候也存在一些很微妙的东西。值得注意的是，无论什么时候，都要记得算符不一定是可对易的。

　　一个简单的函数， $f (\hat{A}) = {\hat{A}}^{2}$ 就容易造成初学者的失误。比如

\begin{matrix} (46) & f (\hat{A} + \hat{B}) = {\hat{A}}^{2} + \hat{A} \hat{B} + \hat{B} \hat{A} + {\hat{B}}^{2} . \end{matrix}

稍微复杂点的函数，比如

\begin{matrix} (47) & \exp (\hat{A}) = I + \hat{A} + \frac{1}{2!} {\hat{A}}^{2} + \dots \end{matrix}

也是非常常见的一种算符函数。

习题 5　

　　考虑一个体系，它的 Hilbert 空间是二维的，并且计 $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = | ↑ ⟩, (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = | ↓ ⟩$ 。现在有一个算符

\begin{matrix} (48) & \hat{U} = \exp (i α (t) σ_{x}) . \end{matrix}

其中，

σ_{x}

是式 18 定义的 Pauli 矩阵，那么求

\begin{matrix} (49) & \hat{U} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = ? . \end{matrix}

显然，我们有

\begin{matrix} (50) & \hat{U} = I_{2 \times 2} + α (t) σ_{x} + \frac{1}{2!} {(α (t) σ_{x})}^{2} + \dots, \end{matrix}

由于 Pauli 矩阵有很好的性质：

\begin{matrix} (51) & σ_{x}^{2} = I_{2 \times 2} . \end{matrix}

我们有

\begin{matrix} (52) & \begin{aligned} \hat{U} & = (1 - \frac{1}{2!} α (t)^{2} + \frac{1}{4!} α (t)^{4} \dots) I_{2 \times 2} + (α (t) + \frac{1}{3!} α (t)^{3} + \dots) i σ_{x} \\ = \cos α (t) I_{2 \times 2} + \sin α (t) i σ_{x} . \end{aligned} \end{matrix}

从而，我们有

\begin{matrix} (53) & \hat{U} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos α (t) \\ i \sin α (t) \end{matrix}), \end{matrix}

　　这个例子实际上在我们后面看到动力学分析中是一个很常见的``量子演化问题''的基本处理。以后我们会再次看到这个问题的。

　　以上是一个带答案的练习，现在我们出一个证明性的练习。

习题 6　

　　求证：

\begin{matrix} (54) & e^{\hat{A}} \hat{B} e^{- \hat{A}} = \hat{B} + [\hat{A}, \hat{B}] + \frac{1}{2!} [\hat{A}, [\hat{A}, \hat{B}]] + \dots . \end{matrix}

这个等式叫做 Baker-Hausdorff formula，我们可能会经常地遇到这个式子。

6. $^{⋆}$ 密度矩阵，与量子信息基本概念

　　量子信息可以说是只要具备完善的量子力学知识就能够入门，但是入的好不好得看初等数学功力的一个方向。

　　量子信息里面一个重要的概念就是密度矩阵。对于纯态（Pure State），即一个可以被用态矢量描述的态，归一态矢量为 $| ψ ⟩$ ，其密度矩阵可以用

\begin{matrix} (55) & {\hat{ρ}}_{ψ} = | ψ ⟩ ⟨ ψ | \end{matrix}

来描述。这样的描述可以略去态矢量的相位，是自由度更小的更 “好” 的描述。

　　纯态密度矩阵有很多性质，比如

\begin{matrix} (56) & \hat{ρ} = {\hat{ρ}}^{†}, Tr (\hat{ρ}) = 1, Tr ({\hat{ρ}}^{2}) = 1 . \end{matrix}

这是由于

\begin{matrix} (57) & ρ^{2} = | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ ⟨ ψ | = | ψ ⟩ ⟨ ψ | = ρ, \end{matrix}

一个算符在这个态下的平均值

\begin{matrix} (58) & ⟨ \hat{O} ⟩ = ⟨ ψ | \hat{O} | ψ ⟩ = Tr (\hat{O} \hat{ρ}) \end{matrix}

与纯态相对的是混态（Mixed State）。我们来想这么一个问题：纯态就是一个态，按照统计的观点，它的熵就是

\ln 1 = 0

。而如果我们这个体系描述的东西内部很复杂，各个态之间自发的跳动，我们不能简单的用一个态来描述，怎么办呢？我们仍然能用密度矩阵来描述。一个最基本的要求就是这个密度矩阵的性质得和纯态一致，即

\begin{matrix} (59) & \hat{ρ} = {\hat{ρ}}^{†}, Tr (\hat{ρ}) = 1 . \end{matrix}

一个算符在这个态下的平均值

\begin{matrix} (60) & ⟨ \hat{O} ⟩ = ⟨ ψ | \hat{O} | ψ ⟩ = Tr (\hat{O} \hat{ρ}), \end{matrix}

　　我们再来看看密度矩阵的一些行为。由于它是 Hermitian，我们通过某种对角化，显然可以把密度矩阵写成

\begin{matrix} (61) & ρ = \sum_{i} λ_{i} | i ⟩ ⟨ i |, \sum_{i} λ_{i} = 1, \forall i λ_{i} > 0 . \end{matrix}

这部分有点数学，而且有的时候并不有趣，我们来看一个练习。

习题 7　

　　假设存在一系列的密度矩阵 $ρ_{j}$ ，和一些复数 $c_{j}, \sum c_{j} = 1 & \forall j, c_{j} > 0$ 。证明：

\begin{matrix} (62) & \sum_{j} c_{j} ρ_{j} \end{matrix}

也是一个密度矩阵。

　　一个系统处于某个态的时候可以求它的熵，其中，目前广泛接受并应用的熵是 von Neumann 熵，其定义为

\begin{matrix} (63) & S = - Tr (\hat{ρ} \ln \hat{ρ}) = - \sum_{i} λ_{i} \ln λ_{i} . \end{matrix}

当然，对于纯态，

S = 0

，但是对于混态则不然。会想热力学，我们知道熵有一个很有趣的结论，我们这里留作练习。

习题 8　

　　 von Neumann 熵满足两个系统的混杂会增大熵，数学上讲也就是

\begin{matrix} (64) & S [λ {\hat{ρ}}_{1} + (1 - λ) {\hat{ρ}}_{2}] \geq λ S [{\hat{ρ}}_{1}] + (1 - λ) S [{\hat{ρ}}_{2}], \forall {\hat{ρ}}_{1}, ρ_{2}, 0 < λ < 1 . \end{matrix}

试证明这点（答案：Nielsen⁵, section 11.3.5）。

　　有的时候，我们要考虑多粒子的问题。当然真正的量子多粒子问题我们在 “全同粒子的统计” 中再仔细考虑，我们这里先看一些简单的情况，比如定域的（从而就不需要考虑全同性了）。有两个粒子 $a, b$ ，其各自 Hilbert 空间为 $H_{a}, H_{b}$ 。那么，整体 Hilbert 空间，代数的讲，就变成了两个粒子各自 Hilbert 空间的张量积⁶： $H = H_{a} \otimes H_{b}$ 。这时候我们定义约化密度矩阵”（reduced density matrix），来得到单粒子的信息。比如，我们如果想了解 $a$ 粒子，那么就可以写它的对 $a$ 的约化密度矩阵 ${\hat{ρ}}_{a} = {Tr}_{b} (\hat{ρ})$ ，其是通过对 $H_{b}$ 做部分取迹做到的。技术上讲，这是通过用一组完备的基 $| ϕ_{i} ⟩ \in H_{b}$ 来做到的：

\begin{matrix} (65) & ⟨ ψ_{1} {\hat{ρ}}_{a} | ψ_{2} ⟩ = \sum_{i} ⟨ ψ_{1} \otimes ϕ_{i} | \hat{ρ} | ψ_{2} \otimes ϕ_{i} ⟩, \end{matrix}

　　我们用一个练习来结束这一部分。

习题 9　

　　求 trace 自然会发生很多事情，一个显然的事情就是两体关联的失去：

\begin{matrix} (66) & \begin{aligned} S_{a \otimes b} [\hat{ρ}] & = {Tr}_{a \otimes b} (- \hat{ρ} \ln \hat{ρ}) \leq S_{a} [{\hat{ρ}}_{a}] + S_{b} [{\hat{ρ}}_{b}] \\ = {Tr}_{a} (- {\hat{ρ}}_{a} \ln {\hat{ρ}}_{a}) + {Tr}_{b} (- {\hat{ρ}}_{b} \ln {\hat{ρ}}_{b}) = S_{a \otimes b} [{\hat{ρ}}_{a} \otimes {\hat{ρ}}_{b}] . \end{aligned} \end{matrix}

试证明这一点（答案：Trace⁷），并验证对于 Bell 基，比如

\begin{matrix} (67) & | ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ | 1 ⟩ - | 1 ⟩ | 0 ⟩), \end{matrix}

这个不等式是成立的。

　　这是量子信息论的一个经常需要考虑的事情，很多量子信息相关的书，比如 XiaoGang Wen 的书⁸ 都介绍了这点，在此不再赘述。

　　我们这里再讲有关密度矩阵的一个知识：在有限温度的时候，密度矩阵如何表示（一般我们处理的时候都是处理零温问题，不考虑统计分布）。其实很简单：

\begin{matrix} (68) & ρ = \exp (- \hat{H} / k_{B} T) / Z . \end{matrix}

其中，

Z = Tr \exp (- \hat{H} / k_{B} T)

。更多的关于密度矩阵，量子信息的内容就不在此赘述了。

7. 测量，不确定性原理

　　测量发生于一个 Hermitian 算符 $\hat{A}$ 在纯态或者混态 $\hat{ρ}$ 上。最终得到的结果是算符 $\hat{A}$ 的本征值 $λ$ ，而测量得到这个本征值 $λ$ 的概率是 $P_{λ} = Tr ({\hat{P}}_{λ} \hat{ρ})$ ，而这里 ${\hat{P}}_{λ} = \sum | \hat{A} = λ ⟩ ⟨ \hat{A} = λ |$ 是投影算符。可以想象，统计上来说，平均的测量值是 $\hat{A}$ 在态 $\hat{ρ}$ 上的期待值，也就是 $Tr (\hat{A} \hat{ρ}) = \sum_{λ} λ P_{λ}$ 。其中，对于纯态，就是简单的 $⟨ ψ | \hat{A} | ψ ⟩, \hat{ρ} = | ψ ⟩ ⟨ ψ |$ 。

　　量子力学有几个假设，其中比较有名的（你们或许在此前就听说过）就是``塌缩''假设：如果测量的结果是 $λ$ ，那么这个量子态就会塌缩到 ${\hat{P}}_{λ} \hat{ρ} {\hat{P}}_{λ} / Tr ({\hat{P}}_{λ} \hat{ρ})$ 。特例就是当本征值为 $λ$ 的态只有一个的话，系统就会塌缩到 $| \hat{A} = λ ⟩$ 上。下面一个练习是对这一点的直接应用。

习题 10　

　　考虑一个系统，它的态可以用角动量 $l$ 、角动量 $z$ 分量 $m$ 的共同本征态展开为

\begin{matrix} (69) & \begin{aligned} | ψ ⟩ = & \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{1}{2} | l = 1, m = 1 ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} | l = 1, m = 0 ⟩ + \frac{1}{2} | l = 1, m = - 1 ⟩) \\ + \frac{1}{\sqrt{2}} | l = 0, m = 0 ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

现在测它的角动量

z

分量，测到

m = 0

。求测量完的体系处于什么态（用密度矩阵和态矢分别写出）。

　　量子信息学的一个很重要的（也看起来很平庸的）结论是：通过测量，我们得到了信息。而得到了信息也就是说，熵见笑了。这换成数学语言就是说

\begin{matrix} (70) & S [\hat{ρ}] \geq \sum_{λ} P_{λ} S [{\hat{ρ}}_{λ}] . \end{matrix}

其中，

{\hat{ρ}}_{λ}

表示测量到塌缩到的

λ

态。我们看一个例子。

习题 11　

　　考虑一个密度矩阵

\begin{matrix} (71) & \hat{ρ} = \frac{1}{4} [I - σ_{1} \otimes σ_{2}] . \end{matrix}

　　 1. 求验算：它是否是一个纯态？

　　 2. 定义算符 $\hat{A} = σ_{1} \otimes σ_{0}$ ，求它的本征值，并定义投影到这些本征值的投影算符，计算进行该算符的测量后得到各个本征值的概率，并验证我们之前对于测量得到信息的结论。

　　接下来，也就是本章的最后，我们来看不确定性原理。

　　对于 Hermitian 算符 $\hat{A} & \hat{B}$ ，不确定原理告诉我们

\begin{matrix} (72) & (⟨ {\hat{A}}^{2} ⟩ - ⟨ \hat{A} ⟩^{2}) (⟨ {\hat{B}}^{2} ⟩ - ⟨ \hat{B} ⟩^{2}) \geq \frac{1}{4} | ⟨ [\hat{A}, \hat{B}] ⟩ |^{2} . \end{matrix}

其中，

⟨ \cdot ⟩

是其在某个量子态

\hat{ρ}

下的期待值。

　　证明如下：首先，定义所谓两个算符（不一定是 Hermitian）的内积：

\begin{matrix} (73) & (\hat{A}, \hat{B}) = ⟨ {\hat{A}}^{†} \hat{B} ⟩ = Tr ({\hat{A}}^{†} \hat{B} \hat{ρ}) . \end{matrix}

不难看出，它是满足内积的性质的（线性、共轭）。现在考虑两个新的算符

{\hat{A}}^{'} = \hat{A} - ⟨ \hat{A} ⟩, {\hat{B}}^{'} = \hat{B} - ⟨ \hat{B} ⟩

，此时

\begin{matrix} (74) & \begin{aligned} \frac{1}{4} | ⟨ [\hat{A}, \hat{B}] ⟩ |^{2} & = \frac{1}{4} | ⟨ [{\hat{A}}^{'}, {\hat{B}}^{'}] ⟩ |^{2} \\ = \frac{1}{2} ({\hat{A}}^{'}, {\hat{B}}^{'}) ({\hat{B}}^{'}, {\hat{A}}^{'}) - \frac{1}{4} ({\hat{A}}^{'}, {\hat{B}}^{'})^{2} - \frac{1}{4} ({\hat{B}}^{'}, {\hat{A}}^{'})^{2} \\ = [Im ({\hat{A}}^{'}, {\hat{B}}^{'})]^{2} \\ \leq | ({\hat{A}}^{'}, {\hat{B}}^{'}) |^{2} \leq ({\hat{A}}^{'}, {\hat{A}}^{'}) ({\hat{B}}^{'}, {\hat{B}}^{'}) \\ = (⟨ {\hat{A}}^{2} ⟩ - | ⟨ \hat{A} ⟩ |^{2}) (⟨ {\hat{B}}^{2} ⟩ - | ⟨ \hat{B} ⟩ |^{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　补充几个练习题

习题 12　

　　如果 $[\hat{A}, \hat{B}] = {\hat{B}}^{2}$ ，用 $\hat{B}$ 表示 $e^{\hat{A}} \hat{B} e^{\hat{A}}$ 。

习题 13　

　　矢量 $A, B$ 为三维矢量，而 $σ$ 则是 Pauli 矩阵的矢量，计算 $[A \cdot σ, B \cdot σ]$

习题 14　

　　矢量 $n$ 为三维实数矢量，而 $σ$ 则是 Pauli 矩阵的矢量，计算 $\exp (i θ n \cdot σ)$ ，并计算 $\exp (i θ n \cdot σ) (A \cdot σ) \exp (- i θ n \cdot σ)$

1. ^ 其实这有约定俗成的翻译：厄米；然而，这个翻译实在是不能达意，我并不打算使用它。
2. ^ 实际上有不可数无穷个态，而且归一的办法和我们之前说的不完全一样，但是这里就先不管数学上这样会不会带来问题了
3. ^ 从这里开始，后面很可能有的时候算符不写它的那个 “帽子” $\hat{}$ 了。
4. ^ 我后面可能会总结一下基本假设，但也可能不总结了 orz
5. ^ M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press, 2010).
6. ^ 张量积的矩阵表达： $A \otimes B$ 就是把 $A$ 中的每个元素 $A_{i j}$ 变成一个矩阵 $A_{i j} \cdot B$ 。
7. ^ H. Araki and E. H. Lieb, Communications in Mathematical Physics 18, 160 (1970).
8. ^ B. Zeng, X. Chen, D. Zhou, and X. Wen, ArXiv e-prints (2015), arXiv:1508.02595 [cond-mat.str-el].

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基本概念

1. 描述一个态

例 1

例 2

2. 算符

例 3

习题 1

习题 2

习题 3

例 4

3. 特殊的算符

例 5

4. 投影算符

例 6

习题 4

5. 算符的函数

习题 5

习题 6

6. ⋆ 密度矩阵，与量子信息基本概念

习题 7

习题 8

习题 9

7. 测量，不确定性原理

习题 10

习题 11

习题 12

习题 13

习题 14

例 1　

例 2　

例 3　

习题 1　

习题 2　

习题 3　

例 4　

例 5　

例 6　

习题 4　

习题 5　

习题 6　

6. $^{⋆}$ 密度矩阵，与量子信息基本概念

习题 7　

习题 8　

习题 9　

习题 10　

习题 11　

习题 12　

习题 13　

习题 14　