投影算符
本词条只介绍有限维或可数维矢量空间的投影算符．
Theorem 1 正交分解
令 $M$ 为 $N$ 维矢量空间 $X$ 的子空间．那么任意 $u\in X$ 有唯一的分解
\begin{equation}
u = v + w \qquad (v\in M, w\in M^\bot)
\end{equation}
其中 $M^\bot$ 是 $M$ 在 $X$ 中的正交补．
对每个子空间 $M\subseteq X$，我们定义对应的投影算符 $P$，根据eq. 1 将每个 $u\in X$ 映射到 $v$．
Theorem 2
令投影算符将 $N$ 维空间 $X$ 中的矢量投影到其子空间 $A$ 中，$ \left\{a_i \right\} $ 是 $A$ 的一组正交归一基底．那么投影算符可以表示为
\begin{equation}
P = \sum_i \left\lvert a_i \right\rangle \left\langle a_i \right\rvert
\end{equation}
由该定理易证thm. 1 （将 $u$ 分别分解到 $M$ 和 $M^\bot$ 的正交归一基底上，这个投影存在且唯一）．
投影算符是厄米算符
投影算符 $P$ 是厄米算符（也叫自伴算符），即对任意 $u, v\in X$ 满足 $ \left\langle u \middle| Pv \right\rangle = \left\langle Pu \middle| v \right\rangle $．
投影算符有 $0$ 和 $1$ 两个本征值．对应的本征矢分别是 $M$ 和 $M^\bot$ 空间中的所有矢量．
证明
对任意 $u, v\in X$，有
\begin{equation}
\left\langle u \middle| Pv \right\rangle = \sum_i \ \left\langle u \middle| a_i \right\rangle \left\langle a_i \middle| v \right\rangle
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle Pu \middle| v \right\rangle = \overline { \left\langle v \middle| Pu \right\rangle } = \sum_i \overline{\ \left\langle v \middle| a_i \right\rangle }\overline{ \left\langle a_i \middle| u \right\rangle } = \sum_i \ \left\langle u \middle| a_i \right\rangle \left\langle a_i \middle| v \right\rangle = \left\langle u \middle| Pv \right\rangle
\end{equation}
证毕．