1我们讨论含有 $N$ 个元素的任意集合，由于集合中元素的名称不重要，我们以下将它记为 $ \left\{1,2,\dots, N \right\} $．注意集合的是没有顺序的，例如 $ \left\{1,2,3 \right\} $ 和 $ \left\{1,3,2 \right\} $ 是同一个集合．当我们把集合 $S$ 中的的元素按照某种顺序排列成一个序列时，就称为它是集合 $S$ 的一种排列（permutation）．
那么 $N$ 个元素的集合一共有几种不同的排列呢？第 1 个位置有 $N$ 种不同的可能，确定之后第 2 个位置有 $N-1$ 种不同的可能，第 3 个位置有 $N-2$ 种……最后一个位置只有 1 种．所以可能性的种数可以用阶乘 表示，记为 $A_N$
我们可以把第 $i$ 种排列记为 $p_i$，该排列的元素按照顺序分别记为 $p_{i,1}, p_{i,2}, \dots, p_{i,N}$．