克拉默法则
1克拉默法则（Kramer's rule）是一种直接用行列式解线性方程组的方法．把线性方程组记为矩阵乘法的形式
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为系数矩阵．当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为 $N\times N$ 的方阵且行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \ne 0$ 时（即满秩矩阵
），方程有唯一解（见 “线性方程组解的结构
”）．该解可以用克拉默法则直接写出：
\begin{equation}
x_i = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _i \right\rvert }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert } \qquad (i = 1, \dots, N)
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _i$ 是把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的第 $i$ 列替换为 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 而来．
Example 1 解方程组
令eq. 1 中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix} $，$ \boldsymbol{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix} $，求解方程组．
解：$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert = 7$，$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _1 \right\rvert = \begin{vmatrix}4 & 1\\ 5 & 3\end{vmatrix} = 7$，$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _2 \right\rvert = \begin{vmatrix}2 & 4\\ -1 & 5\end{vmatrix} = 14$．代入eq. 2 得 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} $．
在数值计算时，克拉默法则解方程组效率较低，直接用高斯消元法求逆矩阵高斯消元法求逆矩阵会更快．
证明
证明需要代数余子式 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^*$（未完成）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^*}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert }
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* \boldsymbol{\mathbf{b}} }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert }
\end{equation}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面．