线性方程组可以记为
从矢量空间的角度来看，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是一个 $N$ 维矢量空间（以下称为 $X$ 空间）中一个矢量关于某组基底的坐标，$ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是一个 $M$ 维矢量空间（以下称为 $Y$ 空间）中一个矢量关于某组基底的坐标．矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 可以将 $X$ 空间中的任意矢量映射到 $Y$ 后的坐标．
我们知道 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的第 $i$ 列代表的矢量就是 $X$ 空间中的第 $i$ 个基底映射到 $Y$ 空间的对应矢量．我们把 $A$ 的 $N$ 列对应的 $N$ 个矢量记为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$．先来看一个定理
我们知道矩阵的秩 $R$ 等于线性无关的行数或列数，下面来根据秩来分类讨论方程组的解空间结构．最简单的情况是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为满秩，即 $R = M = N$．这时由于 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 两两线性无关，它们可以作为 $Y$ 空间的一组基底，与 $X$ 空间的基底一一对应．那么这个映射既是单射又是满射．对于 $Y$ 空间的任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $，$X$ 空间都存在唯一的解 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $．特殊地，当 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 时（即方程是齐次的），唯一解就是 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $．
当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的秩等于 $M$ 且小于 $N$ 时，映射变为从 $N$ 维空间到更小的 $M$ 维空间．即非单射：虽然任意的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 仍然映射到唯一的 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $，但任意的 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 却对应无穷多个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $．
当方程是齐次的时候，零空间（thm. 2 ）$X_0$ 是 $N- M$ 维的（为什么？）．这种情况下，我们希望能解出零空间的 $N - M$ 个基底，使得这组基底的任意线性组合都是齐次方程的解．
对于非齐次方程，我们可以先求对应的齐次方程组的零空间的一组基底，再求出非齐次方程的任意一个解（特解），那么非齐次方程组的解集（所有解的集合）就等于零空间中的所有矢量与特解相加．注意非齐次方程的解集并不构成一个矢量空间，因为它不包含零矢量（$ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 总是对应 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，所以不可能是非齐次方程组的解），解集中若干矢量的线性组合也不一定仍然属于解集．
当 $R < M$ 时，$\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 中只有 $R$ 个线性无关，它们在 $Y$ 空间中张成一个 $R$ 维子空间 $Y_0$．如果 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 在 $Y_0$ 中（可以通过 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是否与 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i\}$ 线性无关来判断），方程组就存在解，如果落在子空间外，方程组就无解．