唯一析因环
唯一析因环，又称唯一分解整环，顾名思义，就是每个元素都有唯一的不可约因式分解．这个定义用真因子树的语言来描述颇为方便．
Definition 1 唯一析因环
对于整环 $R$，如果它具有有限析因性和唯一析因性1，那么称其为一个唯一析因环（unique factorization domain），常简称 UFD．
唯一析因环的好处显而易见，每个元素都可以唯一对应一种素元素分解，比如每个非平凡整数都可以表示为素数的乘积，且这种乘积是唯一的．
Example 1 正面例子
- 整数环 $\mathbb{Z}$ 是唯一析因环．
- 域 $\mathbb{F}$ 上的多项式环 $\mathbb{F}[x]$ 是唯一析因环．
唯一析因环的概念脱胎于一个经典的错误．柯西等人曾以为自己证明了费马大定理，而事实上他们的证明依赖了一个直觉上成立的假设，用现代语言来说就是 “所有的环都是唯一析因环”．然而很可惜，存在不唯一析因的环，这也成了此类证明中的命门．
Example 2 反面例子
我们给出一些不是唯一析因环的例子．
- 对于素数 $p > 1$，环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-p}]=\{a+b \mathrm{i} \sqrt{p}|a, b\in\mathbb{Z}\}$ 存在有多种因式分解方式的元素．比如说，在环 $\mathbb{Z}[2]$ 上，$6$ 可以分解为 $2\times (1+ \mathrm{i} \sqrt{2})\times(1- \mathrm{i} \sqrt{2})$，也可以分解为 $(2+ \mathrm{i} \sqrt{2})\times(2- \mathrm{i} \sqrt{2})$．
- 复数域上的全体整函数构成的环不是 UFD，因为存在可以无限析因的元素2：$\sin{\pi z=\pi z\prod\limits_{i=1}^\infty(1-\frac{z^2}{i^2})}$．
未完成：关于整函数的概念，缺少 “全纯函数” 词条作为预备知识．
1. ^ 见真因子树词条的def. 5 ．
2. ^ 本例取自维基百科相关页面．