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求和公式（从 1 开始 $n$ 项求和）
\begin{equation}
1 + q + q^2 + \dots + q^{n-1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}
\end{equation}
证明
使用数学归纳法，当 $n = 1$ 时
\begin{equation}
\frac{q^n - 1}{q - 1} = 1
\end{equation}
恰好是第 1 项．第 $n + 1$ 项为
\begin{equation}
\frac{q^{n+1} - 1}{q - 1} - \frac{q^n - 1}{q - 1} = q^n
\end{equation}
证毕．