弹簧的串联和并联
- 本词条处于草稿阶段．
Prerequisite 胡克定律
两个劲度系数为 $k_1, k_2$ 的弹簧的串联后劲度系数为 $k$，那么
\begin{equation}
\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}
\quad \text{或} \qquad
k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}
\end{equation}
\begin{equation}
k = k_1 + k_2
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{k} = \sum_i \frac{1}{k_i}
\end{equation}
\begin{equation}
k = \sum_i k_i
\end{equation}
未完成：推导，类比电阻
弹簧的切割
如果把一根均匀弹簧切割成原长的 $\lambda$（$\lambda < 1$）倍，那么它的劲度系数变为
\begin{equation}
k' = \frac{k}{\lambda}
\end{equation}
证明：我们可以把弹簧原长分割成 $n$ 等分，由于弹簧是均匀的，每份的劲度系数都为 $k_0$，那么根据eq. 3 有
\begin{equation}
k_0 = nk
\end{equation}
\begin{equation}
k' = \frac{n}{m}k
\end{equation}
Example 1
一根弹性绳劲度系数为 $k$，固定在水平相距为 $L$ 的两点之间，绳子原长远小于 $L$．在距离绳一端 $x$ 处固定一个质点，质点受重力下沉后使其平衡静止，求下沉的深度 $h$．
Fig. 1：受力分析
假设质点左边部分的原长占总原长的比例为 $\lambda$，右边部分的原长占 $1-\lambda$，则有
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&\frac{k_1}{k_2} = \frac{1-\lambda}{\lambda}\\
&\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}
\end{aligned}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
k_1 = \frac{k}{\lambda} \qquad
k_2 = \frac{k}{1-\lambda}
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&T_1\sin\theta_1 + T_2\sin\theta_2 = mg\\
&T_1\cos\theta_1 = T_2\cos\theta_2
\end{aligned}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\tan\theta_1 = \frac{h}{x}
\qquad
\tan\theta_2 = \frac{h}{L-x}
\end{equation}
\begin{equation}
T_1 = \frac{x}{\cos\theta_1} k_1 \qquad
T_2 = \frac{L-x}{\cos\theta_2} k_2
\end{equation}
\begin{equation}
h = \frac{mg}{Lk \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{L-x} \right) }
\end{equation}