单摆（大摆角）
令最大摆角为 $\theta_0$，能量守恒，机械能为
\begin{equation}
E = \frac{1}{2} m l^2 \dot \theta^2 - mg l \cos\theta = - mg l \cos\theta_0
\end{equation}
所以 $\theta$ 处的角速度为
\begin{equation}
\dot{\theta} = \sqrt{\frac{2g}{l} (\cos\theta - \cos\theta_0) }
\end{equation}
令 $t = 0$ 时 $\theta = 0$ 且 $\dot{\theta} > 0$，该微分方程的解可以用椭圆积分
eq. 3 表示
\begin{equation}
t(\alpha) = \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\alpha} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0}}
= \sqrt{\frac{l}{g}} \csc\frac{\theta_0}{2} F \left(\frac{\alpha}{2}, \csc\frac{\theta_0}{2} \right)
\qquad (0 \leqslant \alpha \leqslant \theta_0)
\end{equation}
周期可以表示为从最低点第一次摆到最高点所需时间的 4 倍
\begin{equation}
T = 4t(\theta_0) = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \csc\frac{\theta_0}{2} F \left(\frac{\theta_0}{2}, \csc\frac{\theta_0}{2} \right)
\end{equation}
Wikipedia 给出的公式为
\begin{equation}
T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} F \left(\frac{\pi}{2}, \sin\frac{\theta_0}{2} \right)
\end{equation}
已使用数值验证二者相等．
（图未完成）（未完成：周期的级数展开，$\theta(t)$ 级数解）