在自由落体的基础上，若假设质点受到的空气阻力的大小与其速度成正比，比例系数为 $\alpha$，那么根据牛顿第二定律 可以列出动力学方程（假设向下为正方向）
\begin{equation}
ma = F = mg - \alpha v
\end{equation}
考虑到加速度是速度的导数，上式变为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{t}} = g - \frac{\alpha}{m} v
\end{equation}
这是速度关于时间的函数 $v(t)$ 与其一阶导数 $\dot v(t)$ 的关系式，即微分方程
．与自由落体问题不同的是，这个方程的右边含有未知函数 $v(t)$，所以不可能直接将等式两边积分解得 $v(t)$．我们可以根据微分与导数的关系，将上式两边同乘 $ \,\mathrm{d}{t} $ 并整理得
\begin{equation}
\frac{1}{g - \alpha v/m} \,\mathrm{d}{v} = \,\mathrm{d}{t}
\end{equation}
这样我们就得到了 $v$ 和 $t$ 的微分
关系，即每当 $t$ 增加一个微小量时，如何求 $v$ 对应增加的微小量．注意等式左边仅含 $v$，右边仅含 $t$，所以这一步叫做
分离变量，我们称
eq. 2 为
可分离变量的微分方程．假设 $v$ 和 $t$ 之间的关系可以表示为
\begin{equation}
F(v) = G(t)
\end{equation}
那么对等式两边微分即可得到
eq. 3 的形式．令 $f(v)$ 和 $g(t)$ 分别为 $F(v)$ 和 $G(t)$ 的导函数，有
\begin{equation}
f(v) \,\mathrm{d}{v} = g(t) \,\mathrm{d}{t}
\end{equation}
对比
eq. 3 可得 $f(v) = 1/(g - \alpha v/m)$ 和 $g(t) = 1$，把二者做不定积分
得原函数．首先显然 $G(t) = t + C_1$．对 $f(v)$ 积分可用 “积分表
” 中的
eq. 1 和
eq. 3 得
\begin{equation}
F(v) = -\frac{m}{\alpha} \ln \left\lvert g - \frac{\alpha}{m} v \right\rvert + C_2 = -\frac{m}{\alpha} \ln\left(g - \frac{\alpha}{m} v\right) + C_2
\end{equation}
上式中绝对值符号可去掉是因为在
eq. 2 中根据物理情景可知 $ \mathrm{d}{v}/\mathrm{d}{t} $ 始终大于零．把两原函数代回
eq. 4 （这时可以把 $C_1$ 和 $C_2$ 合并为一个待定常数 $C$），整理可得
\begin{equation}
v = \frac{m}{\alpha} \left(g - \mathrm{e} ^{-\alpha C/m} \mathrm{e} ^{-\alpha t/m} \right)
\end{equation}
这就是微分方程
eq. 2 的通解，可代入原微分方程以验证是否成立．以后我们把以上这种由
eq. 5 形式求
eq. 4 形式的步骤简称为 “对方程两边积分”．由于方程阶数为 1，通解仅含有一个待定常数．为了确定这个待定常数，我们用题目给出的
初值条件，即 $t = 0$ 时 $v = 0$，代入通解可解得 $C$，再把 $C$ 代回通解得满足初始条件的
特解
\begin{equation}
v(t) = \frac{mg}{\alpha} \left(1- \mathrm{e} ^{-\alpha t/m} \right)
\end{equation}
从该式可以看出，当 $t = 0$ 时，质点速度为 0，符合初始条件，而当 $t\to +\infty$ 时，$ v(t) \to mg/\alpha$．可见质点的速度会无限趋近一个最大值，而这个最大值恰好可以使阻力 $\alpha v$ 等于重力 $mg$．利用这一条件，即使不解微分方程，也可以很快算出质点的末速度．