轨道角动量升降算符归一化
首先要提醒，一般来说，算符满足的一个条件是 $ \langle{g}|{ \hat{Q} f}\rangle = \langle{ \hat{Q} ^*g}|{f}\rangle $．但是对于厄米算符，$ \hat{Q} ^* = \hat{Q} $，所以有 $ \langle{g}|{ \hat{Q} f}\rangle = \langle{ \hat{Q} g}|{f}\rangle $．
对于角动量升算符
\begin{equation}
L_+ L_- = (L_x + \mathrm{i} L_y)(L_x - \mathrm{i} L_y) = L_x^2 + L_y^2 - \mathrm{i} \left[L_x, L_y\right] = L^2 - L_z^2 + \hbar L_z
\end{equation}
所以
\begin{equation} \begin{aligned}
L_+ L_- \psi_{l,m} &= \hbar^2 l(l + 1) \psi_{l,m} - \hbar^2 m^2 \psi_{l,m} + m\hbar^2 \psi_{l,m}\\
&= \hbar^2 [l(l + 1) - m(m - 1)] \psi_{l,m}
\end{aligned} \end{equation}
所以
\begin{equation}
\langle{L_- \psi_{l,m}}|{L_- \psi_{l,m}}\rangle = \langle{\psi_{l,m}}|{L_+L_-\psi_{l,m}}\rangle = \hbar^2 [l(l + 1) - m(m - 1)]
\end{equation}
所以
\begin{equation}
L_- \psi_{l,m} = \hbar \sqrt{l(l + 1) - m(m - 1)} \psi_{l, m-1}
\end{equation}
同理可证
\begin{equation}
L_+ \psi_{l,m} = \hbar\sqrt{l(l + 1) - m(m + 1)} \psi_{l, m+1}
\end{equation}
严格来说，归一化系数后面加上任意相位因子 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}$ 后仍能满足
eq. 3 ，但一般省略．