自旋角动量
未完成：简单介绍斯特恩-格拉赫实验
自旋是量子力学中的基本粒子特有的性质，描述粒子的波函数不包含自旋的信息，自旋处于单独的有限维希尔伯特空间中，和波函数的空间做张量积以后用于描述粒子的状态．
- 自旋角动量三个分量算符 $S_x, S_y, S_z$ 的互相对易关系以及自旋模长平方算符 $S^2$ 的对易关系
- 与轨道角动量同理，存在一组本征态 $ \left\lvert s,m \right\rangle $
（$s = 0, 1/2, 1, 3/2\dots$，$m = -s, -s+1\dots ,s-1, s$ 但是每种粒子都有固有的 $s$）满足
\begin{equation}
S^2 \left\lvert s, m \right\rangle = \hbar^2 s(s+1) \left\lvert s, m \right\rangle \quad \text{和} \quad
S_z \left\lvert s, m \right\rangle = \hbar m \left\lvert s, m \right\rangle
\end{equation}
- 存在升降算符 $S_\pm = S_x \pm \mathrm{i} S_y$，且（根号项是归一化系数）
\begin{equation}
S_\pm \left\lvert s,m \right\rangle = \hbar \sqrt{s(s + 1) - m(m \pm 1)} \left\lvert s, m+1 \right\rangle
\end{equation}
- 对于 $s = 1/2$ 的粒子，一共有 2 个本征态，分别是 $ \left\lvert 1/2, 1/2 \right\rangle $， $ \left\lvert 1/2, -1/2 \right\rangle $．它们的角动量模长平方都是 $3\hbar^2/4$，角动量 $z$ 分量都是 $\hbar/2$．以这两个本征态为基底，令第一个为 $\chi_+ =(1, 0) ^{\mathrm{T}} $，第二个为 $\chi_- = (0, 1) ^{\mathrm{T}} $．可以得出角动量平方算符的矩阵为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{S}} ^2 = \frac{3\hbar^2}{4} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \qquad
\boldsymbol{\mathbf{S}} _z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
S_x = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}0&1\\1& 0\end{pmatrix} \qquad
S_y = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}0&- \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1& 0\end{pmatrix} \qquad
\sigma_y = \begin{pmatrix}0&- \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0\end{pmatrix} \qquad
\sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}
\end{equation}