直线和平面的交点
Prerequisite 高中解析立体几何，几何矢量
若平面上任意一点为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = (p_x, p_y, p_z)$，法向量为 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} = (n_x, n_y, n_z)$．直线上一点为 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} = (s_x, s_y, s_z)$，方向为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = (v_x, v_y, v_z)$，求射线与平面的交点．注意 $ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 不必是单位矢量．
平面方程为
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} = 0
\end{equation}
直线的参数方程为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} = \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{s}}
\end{equation}
代入
eq. 1 解得
\begin{equation}
\lambda = \frac{( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{s}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} }{ \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} }
\end{equation}
再代入
eq. 2 得交点为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} = \frac{( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{s}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} }{ \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{n}} } \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{s}}
\end{equation}
（未完成：给出 Matlab 代码）