理想气体的状态密度（相空间）
相空间中能量小于 $E$ 的状态数
\begin{equation}
\Omega_0 = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \frac{(2\pi mE)^{3N/2}}{\Gamma(3N/2+1)}
\end{equation}
关于能量的状态密度函数为
\begin{equation}
g(E) = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \frac{(2\pi m)^{3N/2}}{\Gamma(3N/2)} E^{3N/2 - 1}
\end{equation}
关于动量绝对值的状态密度函数为
\begin{equation}
g(p) = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \frac{2\pi^{3N/2}}{\Gamma(3N/2)} p^{3N - 1}
\end{equation}
推导
在 $N$ 个独立的，可区分粒子的相空间中，能量小于 $E$ 的状态数（体积除以 $h^{3N}$，无量纲）为
\begin{equation}
\Omega_0 = \frac{1}{N! h^{3N}} \int\limits_{\sum p^2 \leqslant 2mE} \,\mathrm{d}^{3N}{q} \,\mathrm{d}^{3N}{p} = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \int\limits_{\sum p^2 \leqslant 2mE} \,\mathrm{d}^{3N}{p}
\end{equation}
其中积分 $\int_{\dots} \,\mathrm{d}^{3N}{p} $ 可以看做 $n=3N$ 维球体的体积，半径为 $R = \sqrt{2mE}$．
$n$ 维空间中球体的体积为
\begin{equation}
V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}R^n
\end{equation}
代入 $n=3N$ 和 $R = \sqrt{2mE} $，得
\begin{equation}
\int\limits_{\sum p^2 \leqslant 2mE} \,\mathrm{d}^{3N}{p} = \frac{(2\pi mE)^{3N/2}}{\Gamma(3N/2+1)}
\end{equation}
代入
eq. 4 得
eq. 1 ．再对 $E$ 求导得
eq. 2 ．